Η αναζήτηση βρήκε 6002 εγγραφές

από matha
Πέμ Ιούλ 04, 2019 2:06 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Η σαραντάρα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 426

Re: Η σαραντάρα

Ας παρατηρήσουμε ακόμα ότι η ζητούμενη είναι ισοδύναμη με την γνωστότατη σχέση $\displaystyle{\sin 20^o \sin 40^o \sin 80^o =\frac{\sqrt{3}}{8}.}$ ($\displaystyle{\color{red}\bigstar}$) Πράγματι, επειδή ισχύει $\displaystyle{1-\tan ^2 10^o=\frac{\cos 20^o}{\cos ^2 10^o}}$, η αποδεικτέα γράφεται $\di...
από matha
Τρί Ιούλ 02, 2019 8:27 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Τριγωνομετρική ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 288

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Η ανισότητα αυτή σίγουρα δεν είναι κατάλληλη για το επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη. Ουσιαστικά πρόκειται για μια μορφή της ανισότητας Walker, σύμφωνα με την οποία σε κάθε μη αμβλυγώνιο τρίγωνο ισχύει $\displaystyle{s^2\geq 2R^2+8Rr+3r^2.}$ ($\displaystyle{\color{red}\bigstar}$) Αυτό γίνεται φανερό αν πρώτα ...
από matha
Δευ Ιουν 17, 2019 4:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: Κυρτότητα ευθείας
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 231

Re: Κυρτότητα ευθείας

Ναι, αλλά όχι σύμφωνα με τον σχολικό ορισμό. Σύμφωνα με τον γενικό ορισμό της κυρτότητας, η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη.
από matha
Παρ Ιουν 14, 2019 9:45 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 57
Προβολές: 7030

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Εχω την εντύπωση οτι η ισοδυναμία $f(x)(f(x)-x_{0}))=0\Leftrightarrow f(x))=0$ η $f(x))=x_{0}$ δεν ισχύει Συνεπώς θα πρέπει ο μαθητής να μην προχωρήσει στην γραφή αυτής της ισοδυναμίας αλλα να δικαιολογήσει την θετικότητα της f(x)καθώς και το αδύνατο της $f(x))=x_{0}$ πριν το ισοδυναμεί Γιατί δεν ε...
από matha
Δευ Ιουν 10, 2019 10:56 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 57
Προβολές: 7030

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)

Δ3i)

Είναι

\displaystyle{f'(x)=\ln (x^2-2x+2)+(x-1)\cdot \frac{2x-2}{x^2-2x+2}-1=\ln ((x-1)^2+1)+\frac{2(x-1)^2}{(x-1)^2+1}-1\geq -1}

γιατί ο λογάριθμος είναι μη αρνητικός και το κλάσμα επίσης.
από matha
Σάβ Ιουν 08, 2019 8:22 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Σύστημα με μοναδική λύση!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 412

Σύστημα με μοναδική λύση!

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι \displaystyle{n}, ώστε το σύστημα

\displaystyle{\begin{cases}x+y+z=3, \\ x^2+y^2+z^2 =3, \\ x^n+y^n+z^n =3\end{cases}}

να έχει μοναδική λύση στο \displaystyle{\mathbb{C}^3} την \displaystyle{(1,1,1).}
από matha
Σάβ Ιουν 08, 2019 7:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Περιοδικό Μελέτη
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 430

Re: Περιοδικό Μελέτη

Παρατηρήστε ότι

\displaystyle{\frac{k-1}{k!}=\frac{k}{k!}-\frac{1}{k!}.}

Αν και τετριμμένο, είναι η ουσία της λύσης.
από matha
Σάβ Ιουν 08, 2019 11:19 am
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Περιοδικό Μελέτη
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 430

Re: Περιοδικό Μελέτη

Αν αναφέρεστε σε θέματα που προτάθηκαν σε άρθρο που υπογράφω εγώ, όχι. Οι λύσεις δεν είναι δημοσιευμένες. Αν χρειάζεστε κάτι συγκεκριμένο, μπορείτε να το γράψετε και να το απαντήσουμε.
από matha
Τετ Μάιος 22, 2019 12:17 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κωνσταντίνου - Ελένης
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 534

Re: Κωνσταντίνου - Ελένης

Θερμές ευχές στους φίλους που γιορτάζουν σήμερα. Δόρτσιος, Βήττας, Ρεκούμης, πάντα με υγεία!
από matha
Παρ Μάιος 17, 2019 12:31 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 318

Re: J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS

Όντως, είναι γνωστότατη και απλή. Είναι άμεση συνέπεια της γνωστής

\displaystyle{\ell _a \leq \sqrt{s(s-a)}.}
από matha
Παρ Μάιος 10, 2019 11:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μια διαιρετότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 342

Μια διαιρετότητα!

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι \displaystyle{n}, ώστε ο αριθμός

\displaystyle{\frac{10^n}{n^3+n^2+n+1}}

να είναι ακέραιος.
από matha
Πέμ Μάιος 09, 2019 10:18 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Μια εξίσωση.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 394

Re: Μια εξίσωση.

Η συνάρτηση \displaystyle{5^x-3^x-8\sqrt{2x}, x\geq 0} είναι κυρτή, οπότε έχει το πολύ δύο ρίζες. Αυτές είναι οι \displaystyle{0,2.}
από matha
Τετ Απρ 24, 2019 11:08 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 463

Re: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

Η ζητούμενη γράφεται ως $\displaystyle{x^2y\leq 1.}$ Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει αυτή, οπότε θα είναι $\displaystyle{y>\frac{1}{x^2}.}$ Από Cauchy-Schwarz έχουμε $\displaystyle{x^2+y^2+x\geq x^4+y^4+x^3\geq \frac{(x^2+y^2+x)^2}{2+\frac{1}{x}}\implies 2+\frac{1}{x}\geq x^2+y^2+x.}$ Τότε, λόγω της υπόθε...
από matha
Τρί Απρ 23, 2019 12:25 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 366

Re: Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου

Η σχέση γράφεται $\displaystyle{(x+7)P(2x)=8xP(x+1)}$ και επειδή ισχύει για άπειρες τιμές του $\displaystyle{x}$, ισχύει για κάθε $\displaystyle{x.}$ Θέτοντας $\displaystyle{x=0,x=-7, x=-1}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{P(0)=P(-6)=P(-2)=0.}$ Άρα $\displaystyle{P(x)=x(x+2)(x+6)Q(x).}$ Τότε η σχέση γράφε...
από matha
Τρί Απρ 16, 2019 9:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΥΘΕΝΑ...
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 371

Re: ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΟΥΘΕΝΑ...

Μια απλούστερη απόδειξη βασίζεται στο ότι ισχύει $\displaystyle{1+\frac{r}{R}=\cos A+\cos B+\cos C,}$ οπότε, επειδή είναι, $\displaystyle{\cos A+\cos B=2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{B-C}{2}\leq 2\sin \frac{C}{2}}$ προκύπτει $\displaystyle{\cos A+\cos B+\cos C\leq \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin...
από matha
Κυρ Απρ 07, 2019 1:20 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σε κανονικό επτάγωνο!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 398

Σε κανονικό επτάγωνο!

Δίνεται κανονικό επτάγωνο πλευράς $\displaystyle{a}$ και ας είναι $\displaystyle{b,c}$ τα μήκη των διαγωνίων του ($\displaystyle{b<c}$). Να υπολογίσετε τις παραστάσεις $\displaystyle{K=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}}$ και $\displaystyle{L=\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c...
από matha
Τετ Απρ 03, 2019 5:01 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Εύρεση συναρτήσεων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 283

Re: Εύρεση συναρτήσεων

Είναι $\displaystyle{f(0)=0.}$ Στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ είναι $\displaystyle{f'(x)=\frac{2f(x)-x}{x}}$, άρα η $\displaystyle{f}$ είναι δις και τρις παραραγωγίσιμη,οπότε από την αρχική έχουμε $\displaystyle{2f'(x)=1+f'(x)+xf''(x)\implies f'(x)=1+xf''(x)\implies f''(x)=f''(x)+xf'''(x)\implies ...
από matha
Τετ Απρ 03, 2019 2:40 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συστηματική ομοιοκαταληξία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 227

Re: Συστηματική ομοιοκαταληξία

Υποθέτω ζητούμενοι είναι οι $\displaystyle{x,y}$ (αν και μπορούμε να βρούμε και τα $\displaystyle{a,b}$). Ισχύει $\displaystyle{(ax^3+by^3)(x+y)=ax^4+by^4+xy(ax^2+by^2)\implies 96(x+y)=256+16xy ~~\color{red}(1)}$ και $\displaystyle{(ax^2+by^2)(x+y)=ax^3+by^3+xy(ax+by)\implies 16(x+y)=96+6xy ~~\color...
από matha
Κυρ Μαρ 31, 2019 1:27 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Πεπλεγμένη συνάρτηση!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 657

Πεπλεγμένη συνάρτηση!

Ένα θέμα που ετοίμασα στις αρχικές έννοιες. Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{y=f(x)}$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R},}$ ώστε $\displaystyle{\sin x+\sin y=x-y^3.}$ $\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης. $\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να αποδείξετε ...
από matha
Παρ Μαρ 29, 2019 3:55 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: "Δύσκολη" ανισότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 285

Re: "Δύσκολη" ανισότητα

Από την ανισότητα λογαριθμικού μέσου-αριθμητικού μέσου έχουμε

\displaystyle{\frac{5-3}{\ln 5-\ln 3}<\frac{5+3}{2}}

δηλαδή τη ζητούμενη.

:D

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση