Καλησπέρα. Έχουμε: $x+y+z=\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}\times \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}\times (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})+\overrightarrow{OC}\times \overrightarrow{OA}=$ $\overrightarrow{OB}...

Καλό. Λόγω έλλειψης χρόνου, γράφω μόνο την κεντρική ιδέα της απόδειξης. Αν χρειαστεί, θα επανέλθω. Θέτοντας $w,x,y,z$ με τη σειρά τα διανύσματα που είναι στις νόρμες στο δεξί μέλος, μπορούμε να αποδείξουμε ότι $w=x+y+z$ και ότι τα διανύσματα στις νόρμες στο αριστερό μέλος είναι $x+y,y+z,z+x$. Οπότε,...

Θέτουμε $x=\dfrac{e^{y}-e^{-y}}{2}=sinhy$ (κάθε πραγματικός αριθμός αναπαρίσταται με αυτή τη μορφή, διότι η αντίστοιχη συνάρτηση είναι επί στο $\mathbb{R}$), και μετά τις πράξεις η συνάρτηση γράφεται: $\dfrac{e^{2y}+3e^{-2y}}{4}$, που είναι $\geq \dfrac{2\sqrt{3}}{4}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}.$ Ισότητα γ...

Καλησπέρα κύριε Γιώργο! Μια σκέψη είναι η εξής: Το όριο γράφεται $\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{log\binom{2n}{n}}{n}$ και συνεπώς αρκεί να υπολογίσουμε το όριο της αντίστοιχης συνεχούς: $\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{log\Gamma (2x+1)-2log\Gamma (x+1)}{x}$, που ,επειδή αριθμητής και παρονομασ...

Καλημέρα. Θέτω $x=\dfrac{a^2}{bc}, y=\dfrac{b^2}{ca},z=\dfrac{c^2}{ab}.$ Τότε: (1) $x+y+z=2$ (μετά από διαίρεση της δοσμένης σχέσης με $abc$) (2) $xy+yz+zx=2$ (μετά από διαίρεση της σχέσης $(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3=2(abc)^2$, από το ποστ του κυρίου Λάμπρου, με $(abc)^2$) (3)$xyz=1$ Από Vieta, τα $x,y,z$...

Καλημέρα.

Διέγραψα εσφαλμένη απάντηση.

Λίγο διαφορετικά, θεωρώντας γνωστή τη θεωρία των πολυωνύμων Chebychev. Έχουμε $4\left | x^2-ax+b \right |\leq \dfrac{1}{2}\Rightarrow \left | (2x)^2-2a(2x) +4b \right |\leq \dfrac{1}{2},\forall x\in [1,2]$ και άρα $\left | y^2-2ay+4b \right |\leq \dfrac{1}{2},\forall y\in [2,4]$. Θέτω $y=z+3$ και πα...

Τροποποιώ το σχήμα του θεματοθέτη κυρίου Μιχάλη.
Τα τρίγωνα όμοια. Από αναλογίες .

Καλή Χρονιά!

Καλησπέρα.

Ευτυχισμένο το !

Μια πιθανή απάντηση το , καθώς κάθε τριάδα υπακούει στον κανόνα .

Στα παρακάτω γίνεται λόγος για ακτίνα σύγκλισης, διότι, θεωρώντας ότι και το μονοσύνολο $0$ είναι εκφυλισμένο διάστημα με ακτίνα $0$, υπάρχει πάντα ακτίνα σύγκλισης. Για την ακτίνα σύγκλισης αρκεί να βρούμε το $limsup\sqrt[n]{\left | a_{n} \right |}=l$. Είναι $a_{n}\rightarrow 0$, όπως προκύπτει αν ...

Καλησπέρα.

Ας παρατηρηθεί ότι από το συνεχές κλάσμα που αναφέρεται στην παραπομπή, μπορούμε να πάρουμε και την από πάνω προσέγγιση

.

Το αναφέρω, για να υπάρχει σαν πληροφορία.

Βάζω τη γεωμετρική λύση σε απόκρυψη, για να μη χαλάσω την προσπάθεια κανενός. Έστω $T(a,b,c)$ το τρίγωνο με πλευρές $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$. Τότε, το τρίγωνο $T(P(a,b,c))$ είναι το τρίγωνο που έχει πλευρές τα διπλάσια των διαμέσων του τριγώνου $T(a,b,c)$, από θεώρημα διαμέσων. Επομένως, από μετ...

Ας αναφερθεί ότι μπορούμε να πάρουμε λύση φυσιολογικά (χωρίς τρικ), μελετώντας τον πίνακα μετασχηματισμού $A=\begin{bmatrix} 2 &2 &-1 \\ 2& -1 &2 \\ -1&2 &2 \end{bmatrix}$, ο οποίος έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο $x_{A}(\lambda )=(\lambda +3)(\lambda -3)^2$ κι ελάχιστο πολυώνυμο $m_{A}(\lambda )=\lam...

Κύριε Λάμπρου, σας ευχαριστώ για τη λύση. Δεν την ήξερα. Η λύση που έχω είναι γεωμετρική και χρησιμοποιεί την άσκηση στο λινκ που παρέθεσα στην εκφώνηση. Θα αφήσω λίγο χρόνο, πριν τη γράψω, για να ασχοληθεί όποιος ενδιαφέρεται.

Με αφορμή το θέμα εδώ , προτείνω μια ιδιοκατασκευή: Στην τριάδα ακεραίων $(a,b,c)$ επενεργούμε το μετασχηματισμό $P(a,b,c)=(2a+2b-c,2c+2a-b,2b+2c-a)$. Είναι δυνατόν να ξεκινήσουμε από την τριάδα $(5,10,13)$ και με διαδοχικούς μετασχηματισμούς να φτάσουμε σε μια κατάσταση $(x,y,z)$, όπου ο ένας από τ...

Καλημέρα.

Αν επιτρέπεται, ένα συμπληρωματικό ερώτημα:

Ας βρεθεί στοιχείο του τριγώνου με ακέραια τιμή.

Ο γρίφος προέκυψε από την παρατήρηση ότι το $2024$ είναι ο δεύτερος μικρότερος φυσικός αριθμός με την ιδιότητα $gcd(n,\varphi (n))=88$. Ο μικρότερος με αυτήν την ιδιότητα είναι ο $968$. Επομένως, είναι και: $2024=min\left \{ n\in \mathbb{N}\mid (gcd(n,\varphi (n))=88)\wedge (n\neq 968) \right \}$. Σ...

Ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις!

Δίνω ακόμα τρόπους. Εννοείται ότι το θέμα παραμένει ανοικτό για περισσότερες λύσεις.



και

.

Χρόνια πολλά με υγεία!

Χρησιμοποιώντας τα ψηφία από μία φορά το καθένα και οποιαδήποτε μαθηματικά σύμβολα, σχηματίστε τον αριθμό .

Στόχος η εύρεση πολλαπλών αναπαραστάσεων.

Απειροελάχιστη τροποποίηση της λύσης του κυρίου Γιώργου:

.

Παρεμπιπτόντως, .