Η αναζήτηση βρήκε 191 εγγραφές

από ksofsa
Κυρ Αύγ 09, 2020 1:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισοτικές σχέσεις
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 132

Re: Ανισοτικές σχέσεις

Καλησπέρα! Έστω ότι οι $a,b,c$ θετικοί. Ειδάλλως, το ζητούμενο είναι προφανές. Αφού $ab\leq \dfrac{1}{4}, ac\leq \dfrac{1}{4}$, μπορώ να θεωρήσω ότι $ab=\dfrac{sin^2x}{4}, ac=\dfrac{sin^2y}{4}$, με $x,y\epsilon [0, \dfrac{\pi }{2}]$. Η δεδομένη ανισοτική σχέση γράφεται $cosx+cosy> 4a$. Διακρίνω δύο ...
από ksofsa
Δευ Αύγ 03, 2020 12:22 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Για την ισότητα των λόγων
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 341

Re: Για την ισότητα των λόγων

Καλησπέρα! Έστω $O$ το κέντρο του τετραγώνου. Το τρίγωνο $DEP$ ορθογώνιο ισοσκελές (προκύπτει από την εγγραψιμότητα του $ADEP$). Τα τρίγωνα $ADP, ODE$ όμοια , διότι ορθογώνια και $\angle ADP=\angle ODE=45^{\circ}-\angle PDB$ Τελικά: $\dfrac{OE}{OC}=\dfrac{OE}{OD}=\dfrac{AP}{AD}=\dfrac{1}{3}\Rightarr...
από ksofsa
Τετ Ιούλ 22, 2020 10:09 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Τριγωνομετρικό σύστημα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 292

Re: Τριγωνομετρικό σύστημα

Ακόμα μία λύση: Έχω : $cos^2(a+x)+sin^2(a+x)=1$ $[cosa+cos(a+y)]^2+[sina+sin(a+y)]^2=1$ $2+2[cos(a+y)cosa+sin(a+y)sina]=1$ $cosy=-\dfrac{1}{2}$ Όμοια, $cosx=-\dfrac{1}{2}$. Αναλύοντας τις αρχικές εξισώσεις και αντικαθιστώντας, παίρνω: $sina(sinx+siny)=cosa(sinx+siny)=0$ Άρα, $sinx+siny=0$. Ισχύουν $...
από ksofsa
Σάβ Ιουν 27, 2020 11:09 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Ρυθμός μεταβολής τεταγμένης
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 743

Re: Ρυθμός μεταβολής τεταγμένης

Καλημέρα σε όλους! Γράφω μια λύση με τριγωνομετρικά μέσα: Θέτω $\angle OAB=x$ Είναι : $tan\dfrac{x}{2}=\dfrac{2}{a(t)-2}$, σχέση που προκύπτει αν σκεφτούμε ότι η $AK$ διχοτόμος της $\angle A$. Επίσης: $\dfrac{b(t)}{a(t)}=tanx=\dfrac{2tan\dfrac{x}{2}}{1-tan^2\dfrac{x}{2}}=\dfrac{4a(t)-8}{a^2(t)-4a(t)...
από ksofsa
Κυρ Απρ 26, 2020 12:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Παραπληρωματικές γωνίες
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 704

Re: Παραπληρωματικές γωνίες

Ακόμα μία λύση: Προεκτείνω την $AM$ κατά τμήμα $MD=AM$. Αρκεί να δειχθεί ότι το $EBDC$ εγγράψιμο ή ισοδύναμα από θεώρημα τεμνομένων χορδών ότι $BM^2=MA\cdot ME$ Όμως, από θ. διαμέσων και ν. συνημιτόνου έχω: $\dfrac{AB^2}{EB^2}=\dfrac{AC^2}{EC^2}=\dfrac{2AB^2+2AC^2}{2EB^2+2EC^2}=\dfrac{4AM^2+BC^2}{4E...
από ksofsa
Πέμ Απρ 16, 2020 11:56 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Υπερανισότητα
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 1844

Re: Υπερανισότητα

Καλημέρα σε όλους! Έχω: $(8a^2+b^2)^2=(\dfrac{8}{3}a^2+\dfrac{8}{3}a^2+\dfrac{8}{3}a^2+b^2)^2\geq (4\sqrt[4]{\dfrac{8^3}{3^3}a^6b^2})^2=16\sqrt{\dfrac{8^3}{3^3}}a^3b$ με ισότητα για $\dfrac{8}{3}a^2=b^2$. Δεδομένου ότι πιάνεται η ισότητα, δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι η μέγιστη τιμή του $M$ είναι $...
από ksofsa
Τετ Απρ 15, 2020 2:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Υπερανισότητα
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 1844

Re: Υπερανισότητα

Καλησπέρα!

Θα χρησιμοποιήσω τις ανισότητες x+y\geq 2\sqrt{xy} και (x+y)^2\geq 4xy

Εχω λοιπόν:

(8a^2+b^2)^2=(4a^2+4a^2+b^2)^2\geq (4a^2+4ab)^2=16(a^2+ab)^2\geq 64a^3b> 16a^3b,

ό.έ.δ.
από ksofsa
Σάβ Απρ 11, 2020 12:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1013

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

Καλησπέρα!

Μια λύση για το θέμα 3:


\sum \dfrac{a}{a^2+7}=\sum \dfrac{a}{(a+b)(a+c)+4}\leq \dfrac{1}{4}\sum \dfrac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq

\leq \dfrac{1}{8}\sum (\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c})=\dfrac{3}{8}
από ksofsa
Κυρ Μαρ 15, 2020 9:52 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Γνησίως φθίνουσα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1298

Re: Γνησίως φθίνουσα

Καλημέρα σε όλους! Μια προσπάθεια: Εστω $t_{1}<t_{2}$ Αρκεί ν.δ.ό.: $f(t_{1})>f(t_{2})$ $\dfrac{k^{t_{2}}}{(k+x^{t_{1}}-1)^{t_{2}}}> \dfrac{k^{t_{1}}}{(k+x^{t_{2}}-1)^{t_{1}}}$ $(\dfrac{k+x^0-1}{k+x^{t_{1}}-1})^{\dfrac{1}{t_{1}}}> (\dfrac{k+x^{t_{1}}-1}{k+x^{t_{2}}-1})^{\dfrac{1}{t_{2}-t_{1}}}$ $\df...
από ksofsa
Πέμ Μαρ 12, 2020 3:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (9), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 610

Re: Τεστ Εξάσκησης (9), Μεγάλοι

Καλησπέρα! Για το 1ο θέμα: Εστω $(a,b)= d>1$ Τότε $a=xd,b=yd, (x,y)=1,$ και $(d,c)=1$ Αρα $xd/(yd-c)^2\rightarrow d/c^2$ κι επειδή $(d,c)=1$ έχω $d=1$ Δηλαδή $(a,b)=1$ και όμοια $(b,c)=(c,a)=1$ Εχω $ab/(c-b)^2(c-a)^2\Rightarrow ab/(ab+c^2-ca-bc)^2\Rightarrow ab/(c^2-ab-bc)^2$ $\Rightarrow ab/c^2(a+b...
από ksofsa
Τετ Μαρ 04, 2020 6:26 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (10), Μικροί
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 447

Re: Τεστ Εξάσκησης (10), Μικροί

Καλησπέρα! Άλλη μια λύση για το θέμα 3: Από Cauchy Schwartz έχω: $(x^4+y)(y^2z^2+y^3)\geq (x+y^2)^2$ $y^2(x^4+y)(y+z^2)\geq (x+y^2)^2$ Ομοια $z^2(y^4+z)(z+x^2)\geq (y+z^2)^2$ $x^2(z^4+x)(x+y^2)\geq (z+x^2)^2$ Πολλαπλασιάζοντας τις τρεις ανισότητες κι επειδή $xyz=1$ παίρνω τελικά $(x^4+y)(y^4+z)(z^4+...
από ksofsa
Σάβ Φεβ 08, 2020 6:41 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σχέση πλευρών
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 432

Re: Σχέση πλευρών

Καλημέρα! Και αλλιώς: Εστω $I_{a}$ παράκεντρο και $C$ ο κύκλος $(BIGCI_{a})$. Εστω ότι η διάμεσος $AM$ τέμνει τον κύκλο ξανά στο $K$. Τα τρίγωνα $AIB, AI_{a}C$ όμοια και άρα $AI\cdot AI_{a}=bc$. Από θ. δύναμης σημείου έχω $MB\cdot MC=MG\cdot MK\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{4}=\dfrac{m_{a}}{3}\cdot MK\...
από ksofsa
Παρ Φεβ 07, 2020 8:05 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σχέση πλευρών
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 432

Re: Σχέση πλευρών

Ακόμα μία λύση: Εστω $I_{a}$ παράκεντρο . Το πεντάγωνο $BIGCI_{a}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο $K$. Με βάση το θεώρημα του Leibniz για το κέντρο του κύκλου έχω: $3KG^2+\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)=KA^2+KB^2+KC^2\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)=KA^2-KI^2\Leftrightarrow $ $\dfrac{1}{3}...
από ksofsa
Παρ Φεβ 07, 2020 6:15 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Επιδίωξη παραλληλίας
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 299

Re: Επιδίωξη παραλληλίας

Καλησπέρα! Είναι $\angle FDE=180^{\circ}-2A$ $\angle FED=180^{\circ}-2B$ $\angle DFE=180^{\circ}-2C$ Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του $FDE$, τότε $2FE=DE+EF\Leftrightarrow 4Rsin2A=2Rsin2B+2Rsin2C\Leftrightarrow 2sin2A=sin2B+sin2C$ $\Leftrightarrow 2sinAcosA=sinBcosB+sinCcosC\Leftrighta...
από ksofsa
Παρ Φεβ 07, 2020 12:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σχέση πλευρών
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 432

Re: Σχέση πλευρών

Καλησπέρα! Ισχύει $\angle BGC=\angle BIC=90^{\circ}+\dfrac{\angle A}{2}$ Από ν. συνημιτόνων $a^2=BG^2+CG^2-2BG\cdot CGcos(90^{\circ}+\dfrac{A}{2})\Leftrightarrow 9a^2=4m_{b}^2+4m_{c}^2+8m_{b}m_{c}sin\dfrac{A}{2}$. ΕίναI $(BGC)=\dfrac{(ABC)}{3}\Leftrightarrow BG\cdot CG\cdot sin(90^{\circ}+\dfrac{A}{...
από ksofsa
Παρ Ιαν 31, 2020 5:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σχετικό και απόλυτο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 299

Re: Σχετικό και απόλυτο

Αλλιώς για το β ερώτημα:

Έστω BK η διχοτόμος της \angle B.

Τότε BKC'B' εγγράψιμο.

Από θ. διχοτόμων έχω AK=\dfrac{15}{7}, CK=\dfrac{20}{7}.

Από θ. δύναμης σημείου έχω

AB\cdot AB'=AK\cdot AC'\Leftrightarrow 3(d+3)=\dfrac{15}{7}(d+5)\Leftrightarrow d=2
από ksofsa
Παρ Ιαν 31, 2020 3:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σχετικό και απόλυτο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 299

Re: Σχετικό και απόλυτο

Εναλλακτικά (με διανύσματα): $\vec{BB'}\cdot \vec{CC'}=d^2cosA=\dfrac{3d^2}{5}$ Ακόμη, ισχύει: $\vec{MB'}=\vec{MB}+\vec{BB'}, \vec{MC'}=\vec{MC}+\vec{CC'}$ και $\vec{MN}=\dfrac{\vec{MB'}+\vec{MC'}}{2}=\dfrac{\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{BB'}+\vec{CC'}}{2}=\dfrac{\vec{BB'}+\vec{CC'}}{2}$ Τελικά $m^2=\left ...
από ksofsa
Σάβ Δεκ 28, 2019 2:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μία γωνία, δύο διχοτόμοι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 754

Re: Μία γωνία, δύο διχοτόμοι

Χρόνια πολλά σε όλους! Η λύση που ακολουθεί έχει λάθος. Συγκεκριμένα , θεώρησα εσφαλμένα ότι ένα τετράπλευρο καθορίζεται πλήρως από τις 4 γωνίες του και μία διαγώνιο.Παρ' όλ' αυτά, αφήνω την προσπάθεια μήπως και μπορέσει κάποιος να καλύψει το κενό.Ευχαριστώ τον κύριο Μπαλόγλου για την επισήμανση του...
από ksofsa
Δευ Δεκ 23, 2019 6:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Αντίλογος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 147

Re: Αντίλογος

Καλησπέρα!

Άλλη μια λύση:

Εστω D το σημείο τομής των AB,CA'

και E το σημείο τομής των CA, BA'

Τότε τα τρίγωνα DAC,DBA',EAB,ECA' όμοια με γωνίες 30^{\circ},60^{\circ},90^{\circ}

Αρα

\dfrac{A'B}{A'C}=\dfrac{BD}{CE}=\dfrac{b+DA}{c+EA}=\dfrac{b+2c}{c+2b}
από ksofsa
Κυρ Δεκ 22, 2019 12:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Η βάση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 289

Re: Η βάση

Καλησπέρα! Μία λύση με θεώρημα διχοτόμων και 2ο θεώρημα διαμέσων: Εστω $AE$ ύψος και $M,N$ μέσα των $BD, CD$ αντίστοιχα. Από θεώρημα διχοτόμων $BD=\dfrac{a(d+1)}{2d+3}, CD=\dfrac{a(d+2)}{2d+3}$ Από 2ο θεώρημα διαμέσων για τα τρίγωνα $ADB, ADC$ έχω $2BD\cdot ME=(d+1)^2-d^2=2d+1\Leftrightarrow \dfrac{...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση