Η αναζήτηση βρήκε 220 εγγραφές

από ksofsa
Σάβ Ιαν 16, 2021 10:57 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Απαντήσεις: 26
Προβολές: 1068

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Καλημέρα! Άλλη μια προσέγγιση: Αρχικά, θεωρώ την περίπτωση $AB\neq AC$. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρώ ότι $AB< AC$. Θεωρώ σημείο $K$ στην $AC$, ώστε $AB=AK$. Τότε $\angle BKC=90^{\circ}+\dfrac{A}{2}$. Έστω $I$ το σημείο τομής των διχοτόμων των $B,C$. Τότε $\angle BIC=\angle BKC=90^{\circ}+\dfrac...
από ksofsa
Παρ Ιαν 15, 2021 2:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Απαντήσεις: 26
Προβολές: 1068

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Καλησπέρα! Δίνω μια ακόμη προσέγγιση: Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ABC$ και $K,M,N$ τα σημεία τομής των διχοτόμων $CD, AE, BZ$ με τον περιγεγραμμένο κύκλο. Οι ευθείες $CK, MN$ τέμνονται κάθετα , αφού η γωνία που σχηματίζουν ισούται με $\angle KAM+\angle NBC=\dfrac{A+B+C}{2}=90^{\circ}...
από ksofsa
Τρί Ιαν 05, 2021 9:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 362

Re: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!

Ακόμα μία λύση:

Έστω M το μέσο του τόξου BC του περιγεγραμμένου κύκλου.

Τότε, από θεώρημα Πτολεμαίου:

(b+c)MB=AMa\Leftrightarrow \dfrac{b+c}{a}=\dfrac{MA}{MB}\leq \dfrac{2R}{MB}=\dfrac{1}{sin\dfrac{A}2{}}\Leftrightarrow b+c\leq \dfrac{a}{sin\dfrac{A}{2}}
.
από ksofsa
Τρί Ιαν 05, 2021 7:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 362

Re: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!

Καλησπέρα και καλή χρονιά σε όλους! Μια ακόμη προσέγγιση: Θεωρώ τη διχοτόμο $AD$. Από θεώρημα διχοτόμου έχω: $x=BD=\dfrac{ac}{b+c}\Leftrightarrow \dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c}{x}$. Άρα αρκεί $c\leq \dfrac{x}{sin\dfrac{A}{2}}=2R'$, όπου $R'$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του $ABD$. Όμως, η τελευταία...
από ksofsa
Τρί Δεκ 29, 2020 9:56 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 611

Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος

Καλημέρα! Δίνω μια προσέγγιση που έχει γεωμετρικό και αλγεβρικό κομμάτι. Για το γεωμετρικό: Θα δείξω ότι αν $0< a< x< b,0< c<y< d$, τότε το $xy$ διατρέχει όλο το $(ca,bd)$. Θεωρώ σημείο $A(a,c)$ και σημείο $B(b,d)$ και σημείο $X(x,y)$ στο εσωτερικό του τμήματος $AB$. Το ορθογώνιο με κορυφές τα $O,X$...
από ksofsa
Δευ Δεκ 28, 2020 11:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 611

Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος

Μπορούμε να γενικεύσουμε: Αν $a_{1}\epsilon(b_{1},c_{1}),...,a_{n}\epsilon (b_{n},c_{n})$, τότε το $a_{1}+...+a_{n}$ μπορεί να πάρει όλες τις τιμές στο $(b_{1}+...+b_{n},c_{1}+...+c_{n})$. Πράγματι, αν $m\epsilon (b_{1}+...+b_{n},c_{1}+..+c_{n})$, τότε $m=b_{1}+...+b_{n}+t(c_{1}+...+c_{n}-b_{1}-...-...
από ksofsa
Δευ Δεκ 28, 2020 9:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 611

Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος

Δίνω μια ακόμη προσπάθεια. Έστω $m\epsilon (a+c,b+d)$. Τότε, $m=c+a+t(b+d-c-a)$,για κάποιο $t\epsilon (0,1)$. Θέτω $x=a+t(b-a), y=c+t(d-c)$. Είναι $x+y=m$ και $a< x< b, c< y< d$. Άρα, κάθε αριθμός $m\epsilon (a+c,b+d)$ μπορεί να γραφτεί στη μορφή $x+y$, και συνεπώς το $x+y$ μπορεί να πάρει όλες τις ...
από ksofsa
Δευ Δεκ 28, 2020 4:29 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 611

Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος

Καλησπέρα και χρόνια πολλά! Η παρακάτω προσπάθεια έχει σοβαρά προβλήματα. Ευχαριστώ τον κύριο Λάμπρου για τις επισημάνσεις. Βάζω μια διαφορετική προσέγγιση , η οποία ίσως να είναι κάπως ακατάλληλη για αυτό το θέμα και να κάνει τα εύκολα δύσκολα. Παρ' όλ' αυτά, την αναρτώ για λόγους μαθηματικής πολυφ...
από ksofsa
Τρί Δεκ 15, 2020 5:55 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 667

Re: Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.

Καλησπέρα! Άλλη μια γεωμετρική προσέγγιση: Θεωρώ τρίγωνο $ABC$, με $A(y,y), B(x,w), C(1,0)$. Έστω $N$ το μέσο του $AC$. Ισχύουν : $AB^2=(x-y)^2+(y-w)^2$ και $BC^2=(1-x)^2+w^2$ και άρα $AB^2+BC^2=\dfrac{1}{4}$. Από το 1ο θεώρημα διαμέσων έχω: $4BN^2=2AB^2+2BC^2-CA^2\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}-(1-y)^...
από ksofsa
Σάβ Δεκ 12, 2020 7:52 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Από ανισότητα σε ανισότητα.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 460

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα.

Καλημέρα!

Ακόμα μία λύση (με εις άτοπο απαγωγή):

Έστω ότι cosx+cosy+cosz>\sqrt{5}.

Τότε:

(sinx+siny+sinz)^2+(cosx+cosy+cosz)^2>9

3+2cos(x-y)+2cos(y-z)+2cos(z-x)>9

cos(x-y)+cos(y-z)+cos(z-x)>3, άτοπο.

Άρα cosx+cosy+cosz\leq \sqrt{5}.
από ksofsa
Τρί Δεκ 08, 2020 7:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική με εκθέτη
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 319

Re: Διοφαντική με εκθέτη

Καλησπέρα! Οι αριθμοί που έχουν επιλεγεί επιτρέπουν και λύση με διακρίνουσα! Η σχέση γράφεται: $6n^2+31n+40-77^m=0$ και τη θεωρώ ως τριώνυμο του $n$ με διακρίνουσα $\Delta =31^2-4\cdot 6\cdot 40+4\cdot 6\cdot 77^m=961-960+24\cdot 77^m=1+24\cdot 77^m$. Πρέπει: $1+24\cdot 77^m=a^2\Leftrightarrow 24\cd...
από ksofsa
Τρί Δεκ 08, 2020 11:04 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Υπολογισμός παράστασης κάτω από...συνθήκες.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 405

Re: Υπολογισμός παράστασης κάτω από...συνθήκες.

Καλημέρα! Μια ακόμα λύση (με Vieta): Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρώ ότι $y\geq 0$. Θεωρώ $f(x)=20x^3-15x$ και $g(x)=\sqrt{1-x^2}$. Κατ' αρχάς θα δείξω ότι υπάρχει $x$ , που να ικανοποιεί τις συνθήκες, δηλαδή $f(x)=3$ και $-1\leq x\leq 1$. Επειδή $f(0)=0, f(1)=5$, η ζητούμενη ύπαρξη είναι άμεση απ...
από ksofsa
Παρ Νοέμ 27, 2020 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Και γωνίες και πλευρές
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 222

Re: Και γωνίες και πλευρές

Καλησπέρα! Έχω: $cos3A+cos3B+cos3C-1=0$ $cos3A+cos3B+cos3C+cos(3A+3B+3C)=0$ $2cos\dfrac{3A+3B}{2}cos\dfrac{3A-3B}{2}+2cos\dfrac{3A+3B}{2}cos\dfrac{3A+3B+6C}{2}=0$ $cos\dfrac{3A+3B}{2}[cos\dfrac{3A-3B}{2}+cos\dfrac{3A+3B+6C}{2}]=0$ $cos\dfrac{3A+3B}{2}cos\dfrac{3B+3C}{2}cos\dfrac{3C+3A}{2}=0$ $\dfrac...
από ksofsa
Τετ Νοέμ 25, 2020 11:34 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Τιμή παράστασης
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 214

Re: Τιμή παράστασης

Καλημέρα! Θέτω $x=2A, y=2B, z=2C$ και η συνθήκη γράφεται: $cos^2x+cos^2y+cos^2z=1$ $cos^2x+cos^2y=sin^2z$ $cos^2x+cos^2y=sin^2(x+y)$ $cos^2x+cos^2y=sin^2xcos^2y+sin^2ycos^2x+2sinxsinycosxcosy$ $cos^2x(1-sin^2y)+cos^2y(1-sin^2x)=2sinxsinycosxcosy$ $2cos^2xcos^2y=2sinxsinycosxcosy$ $cosxcosy(cosxcosy-...
από ksofsa
Τρί Νοέμ 24, 2020 8:51 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 236

Re: Ολοκλήρωμα

Ακόμα μία λύση (πιο μακροσκελή): $I=\int \dfrac{sin^4x}{cos^2x}\cdot cosxdx= \int \dfrac{sin^4x}{1-sin^2x}\cdot (sinx)'dx$ Θέτω $u=sinx$ και έχω: $I=\int \dfrac{u^4}{1-u^2}du=-\int \dfrac{u^4}{u^2-1}du=-\int \dfrac{(u^4-u^2)+(u^2-1)+1}{u^2-1}du=$ $=-\int u^2du-\int 1du-\int \dfrac{1}{u^2-1}du=-\dfra...
από ksofsa
Πέμ Νοέμ 19, 2020 12:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Το πρόβλημα του Sierpinski
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 977

Re: Το πρόβλημα του Sierpinski

Καλησπέρα σε όλους! Σύμφωνα με τη Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Wacław_Sierpiński), το εν λόγω πρόβλημα ήταν αφορμή για να δείξει ενδιαφέρον ο Sierpinski για τη θεωρία συνόλων (set theory). Μεταφέρω το αντίστοιχο απόσπασμα από τον προαναφερθέντα σύνδεσμο: "In 1907 Sierpiński first became ...
από ksofsa
Τετ Νοέμ 18, 2020 10:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 339

Re: Εμβαδόν από ακτίνα εγκύκλου

Πολύ ωραίες και οι 3 προσεγγίσεις, με αναλυτική γεωμετρία, με ευκλείδεια και με τριγωνομετρία! Δε θα προσθέσω άλλη ολοκληρωμένη λύση. Θα δώσω άλλον έναν τρόπο για να καταλήξουμε ότι η $\angle A$ ορθή γωνία. Με νόμο συνημιτόνων: $cos\angle BKC=\dfrac{BK^2+CK^2-BC^2}{2BK\cdot CK}=\dfrac{5k^2+10k^2-25k...
από ksofsa
Τετ Νοέμ 18, 2020 7:14 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 437

Re: Ανισότητα

Ωραία Πρόδρομε! Μεθοδική η λύση σου με σίγουρα και σταθερά βήματα! Ας δούμε μία ακόμα λύση: Η γνώση-κλειδί για την παρακάτω λύση είναι η ταυτότητα $cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1$. Επομένως , η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα: $3-cos^2A-cos^2B-cos^2C\leq 2+16\prod sin^2\dfrac{A}{2}$ $2+2\prod cos...
από ksofsa
Πέμ Νοέμ 12, 2020 5:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Δύο σημεία
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 607

Re: Δύο σημεία

Καλησπέρα! Και αλλιώς: Έστω $P$ η προβολή του $A$ στην $BC$.Έστω $S$ στο $PC$, ώστε $AS\perp AB$ Εστω $MP=x$. Τότε $MA^2=PA^2+x^2=PB\cdot PS+x^2\Leftrightarrow MA^2-MB\cdot MC=x^2+PB\cdot PS-MB\cdot MC=f(x)$, διότι τα $MB, MC$ συναρτήσεις του $x$. 1η περίπτωση : το $M$ ανήκει στο $PB$. Τότε $f(0)=PB...
από ksofsa
Σάβ Νοέμ 07, 2020 10:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 575

Re: Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Καλησπέρα! Για το 1ο θέμα: Η παρακάτω λύση είναι εκτός φακέλου και πάει και στην Αθήνα μέσω Πεκίνου. Παρ' όλ' αυτά, την αναρτώ για λόγους πλουραλισμού. Αν $-t$ ριζα της εξίσωσης, εύκολα επαληθεύουμε ότι είναι ρίζα της εξίσωσης και η $\dfrac{t}{1-t}$. Μετά τις πράξεις: $x^4+2x^3-x^2-6x-3=0$. Έχει 4 ρ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση