Η αναζήτηση βρήκε 160 εγγραφές

από ksofsa
Παρ Σεπ 20, 2019 8:05 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Είναι ακέραιος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 380

Re: Είναι ακέραιος

Άλλη μια λύση: Έχω: $1053=3^4\cdot 13$ $392=2^3\cdot 7^2$ $378=2\cdot 3^3\cdot 7$ "Παίζοντας" με τους αριθμούς, παρατηρώ ότι: $1053+392+1134=2579$ και $1134=3\cdot 378$ Ετσι, μπορώ να εκμεταλλευτώ την ταυτότητα του Euler και έχω: $N=\dfrac{1053^3+392^3+1134^3+378^3-1134^3}{2579} \Leftrightarrow$ $N=...
από ksofsa
Τετ Σεπ 18, 2019 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα σε τρίγωνο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 376

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Από Cauchy Schwartz έχω $(a^3+b^6+c^6)(a^3+2)\geq (a^3+b^3+c^3)^2\Leftrightarrow \frac{sinA}{a^3+b^6+c^6}\leq \frac{sinA(a^3+2)}{(a^3+b^3+c^3)^2}$ Αρα αρκεί: $\frac{1}{a^3+b^3+c^3}\sum \sqrt{sinA(a^3+2)}\leq \sqrt[4]{\frac{27}{4}}\Leftrightarrow (\sum \sqrt{sinA(a^3+2)})^2\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^...
από ksofsa
Τετ Σεπ 18, 2019 7:55 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ύψη και αποστάσεις
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 203

Re: Ύψη και αποστάσεις

Ισχύει από τύπους εμβαδού τριγώνου: $2E=ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}=ax+by+cz$. Αρα $\frac{x}{h_{a}}+\frac{y}{h_{b}}+\frac{z}{h_{c}}=\frac{ax+by+cz}{2E}=1$ Οπότε , από την ανισότητα Cauchy Schwartz έχω: $(\frac{h_{a}}{x}+\frac{h_{b}}{y}+\frac{h_{c}}{z})(\frac{x}{h_{a}}+\frac{y}{h_{b}}+\frac{z}{h_{c}})\geq 9...
από ksofsa
Κυρ Σεπ 08, 2019 9:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κατασκευή ρόμβου
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 632

Re: Κατασκευή ρόμβου

Βασικά, το $K$ δεν μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο του $AB$. Η μία οριακή θέση του $K$ είναι όταν το $N$ συμπίπτει με το $A$ και η άλλη όταν το $L$ συμπίπτει με το $B$. Δηλαδή οι θέσεις του $K$ είναι στο μέσο τριτημόριο του $AB$. Αντίστοιχα , οι θέσεις του $M$ στο συμμετρικό τμήμα του μέσου τριτη...
από ksofsa
Κυρ Σεπ 08, 2019 8:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κατασκευή ρόμβου
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 632

Re: Κατασκευή ρόμβου

Λίγο διαφορετικά: Εστω $O$ το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου. Τότε από τα εγγράψιμα $ANOK, BLOK$ έχω $\angle OAB=\angle OBA=\frac{\pi }{6}$ Αρα το $O$ είναι το ορθόκεντρο του ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ Αρα σταθερό σημείο και συνάμα κατασκευάσιμο. Το $M$ είναι το συμμετρικό του $K$ ως προς $O$ ...
από ksofsa
Παρ Σεπ 06, 2019 11:51 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τριπλός λόγος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 280

Re: Τριπλός λόγος

Άλλη μια λύση: Το τετράπλευρο $ACKM$ εγγράψιμο διότι $\angle KAM=\angle KCM.$ Αρα $\angle CKA=\angle CMA=\frac{\pi }{2}$. Το τετράπλευρο $ALSN$ ρόμβος, διότι οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και τέμνονται κάθετα. Από θ.διχοτόμων $\frac{BN}{AN}=\frac{BC}{CA}=\sqrt{2}$ και $\frac{AL}{LM}=\frac{CA}{CM}=\...
από ksofsa
Πέμ Σεπ 05, 2019 2:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο ύψος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 290

Re: Μέγιστο ύψος

Εστω O το κέντρο του κύκλου και Μ το μέσο του τόξου ΑΒ.

Εστω ότι η ΟΜ τέμνει την ΤP στο D και την SP στο Ε.

Εστω ότι η ακτίνα του κύκλου είναι 1.

Εστω

ST=x και TD=y.

Ειναι από πυθαγόρειο θεώρημα
a.gif
a.gif (977 Ψηφιολέξεις) Προβλήθηκε 266 φορές
Εχω
b.gif
b.gif (2.25 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές
Όμως
c.gif
c.gif (1.77 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές
Αρα
d.gif
d.gif (721 Ψηφιολέξεις) Προβλήθηκε 266 φορές
Ισότητα για

f.gif
f.gif (335 Ψηφιολέξεις) Προβλήθηκε 266 φορές
από ksofsa
Τετ Σεπ 04, 2019 3:20 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ώρα για εφαπτόμενες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 433

Re: Ώρα για εφαπτόμενες

Καλησπέρα σε όλους! Στη διαμόρφωση του μηνύματός μου έκανα κάτι που δεν ξέρω αν επιτρέπεται από τον κανονισμό του mathematica. Επειδή δεν εμφανίζεται ο κώδικας latex με το συμβατικό τρόπο, αποθήκευσα τον κώδικα latex ως εικόνα και μετά έκανα επισύναψη. Αν υπάρχει πρόβλημα , θα αποσύρω το μήνυμά μου ...
από ksofsa
Τετ Σεπ 04, 2019 3:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ώρα για εφαπτόμενες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 433

Re: Ώρα για εφαπτόμενες

Αλλιώς για το 2ο:

Εστω D το σημείο τομής των AT,OK

Θετω

OA=R, OK=R/2=r

Ο κύκλος (O,r) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ADB

Εστω x=AD=BD

Από τύπους εμβαδού τριγώνου και το πυθαγόρειο θεώρημα:

5.gif
5.gif (5.08 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές
από ksofsa
Κυρ Σεπ 01, 2019 6:46 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 517

Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

Λίγο διαφορετικά:

Θεωρώ

x+y=1

Τότε

(x^3+1)(y^3+1)-4=x^3y^3+x^3+y^3-3=x^3y^3+x^3+y^3+(-1)^3-2=x^3y^3-3xy-2=

(xy+1)^2(xy-2)\leq 0,

που ισχύει διότι xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}<2
από ksofsa
Παρ Αύγ 30, 2019 4:34 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισοϊσότητα
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 827

Re: Ανισοϊσότητα

Μια ακόμα λύση: Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις: 1) Οι $x,y$ είναι ομόσημοι. Τότε, δεδομένης της μορφής της ανισότητας , μπορώ να υποθέσω ότι $x,y$ θετικοί, χωρίς βλάβη της γενικότητας. Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου έχω $\frac{27}{4}x^2y^2(x+y)^2=27xy\cdot \frac{x(x+y)}{2}\cdot \frac{y(x...
από ksofsa
Πέμ Ιούλ 04, 2019 2:55 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Κριτήριο ισοπλεύρου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 342

Re: Κριτήριο ισοπλεύρου

Θα δείξω αρχικά ότι κάθε ισόπλευρο τρίγωνο έχει αυτήν την ιδιότητα. Τα τρίγωνα $ABD, BFD$ όμοια. Αρα $\dfrac{DF}{AD}=\dfrac{BD}{AB}$ Επίσης, $\dfrac{DE}{AD}=\dfrac{CD}{AC}$ Οπότε $\dfrac{DF}{AD}+\dfrac{DE}{AD}=1\Leftrightarrow AD=DF+DE$ Θα δείξω τώρα ότι κάθε τρίγωνο με αυτήν την ιδιότητα είναι ισόπ...
από ksofsa
Τρί Ιούλ 02, 2019 9:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λόγος εμβαδών από συμμετρία
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 565

Re: Λόγος εμβαδών από συμμετρία

$BC=x, CE=y, EB=z$ Το Μ έγκεντρο του EBC $BD=s-y, CD=s-z$ $AD=\sqrt{(s-y)(s-z)}$ $(EBC)=sr=\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}\Leftrightarrow \dfrac{s\sqrt{(s-z)(s-y)}}{2}=\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}\Leftrightarrow \sqrt{s}=2\sqrt{s-x}\Leftrightarrow s=4s-4x\Leftrightarrow \dfrac{x}{s}=\dfrac{3}{4}$ Εχω $\dfrac{(AB...
από ksofsa
Τρί Ιούλ 02, 2019 8:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολύπλοκη συνθήκη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 219

Re: Πολύπλοκη συνθήκη

Είναι $MT=CT-CM=s-c-\dfrac{a}{2}=\dfrac{b-c}{2}$ και $MS=\dfrac{atanC}{2}=\dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{sinC}{cosC}=\dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{\dfrac{2E}{ab}}{\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}=\dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{4E}{a^2+b^2-c^2}=\dfrac{2a\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a^2+b^2-c^2}$ Αρα $MS=MT\Leftrightarrow (b-c)(...
από ksofsa
Πέμ Ιουν 27, 2019 3:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τρεις ανισότητες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 492

Re: Τρεις ανισότητες

Αφού

f(x)\geq f(\frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}

ισχύει η διπλή ανισότητα

\frac{b}{6}< SD< \frac{b}{3+2\sqrt{2}}

και η απόρροιά της , η λιγότερο σφιχτή αλλά πιο κομψή ανισότητα

\frac{b}{6}< SD< \frac{b}{5}
από ksofsa
Πέμ Ιουν 27, 2019 3:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τρεις ανισότητες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 492

Re: Τρεις ανισότητες

Θεωρώ $Q\equiv BD\cap AT, P\equiv ST\cap BD$ Για την 1η ανισότητα: Από θ. διχοτόμων έχω: $\frac{CD}{DA}=\frac{BC}{AB}>1\Rightarrow CD>DA\Rightarrow 2CD>CD+DA\Rightarrow CD>\frac{b}{2}$ Για τη 2η ανισότητα: Εχω $<STD=<ATD=<B/2$ Αρα , η $TD$ διχοτόμος στο τρίγωνο $STA$ και η $TC$ εξωτερική διχοτόμος ω...
από ksofsa
Τετ Ιουν 26, 2019 11:49 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τρεις ανισότητες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 492

Re: Τρεις ανισότητες

Μήπως χρειάζεται κάποιος περιορισμός στην εκφώνηση;

Γιατί για <B=60, <C=30 είναι CS=\frac{b}{2}.
από ksofsa
Πέμ Ιουν 20, 2019 1:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Σχέση πλευρών τριγώνου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 405

Re: Σχέση πλευρών τριγώνου

Άλλη μια λύση για το 1ο ερώτημα: Θεωρώ το σημείο K όπως το όρισε ο Ορέστης. Τότε, τα τρίγωνα $ABD, AKC$ όμοια, αφού $< ABD=< AKC, < BAD=< KAC$. Οπότε, $\frac{AD}{CA}=\frac{AB}{AK}\Leftrightarrow AD\cdot AK=AB\cdot CA\Leftrightarrow 2AD^2=AB\cdot CA$ Tα τρίγωνα $ABC, BKC$ έχουν το ίδο εμβαδόν ως τρίγ...
από ksofsa
Σάβ Ιουν 15, 2019 7:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 823

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1

Άλλη μια λύση για το 3ο θέμα: Η ανισότητα ισοδυναμα γράφεται: $\frac{3x^3}{3z^3+3x^2y}+\frac{3y^3}{3x^3+3y^2z}+\frac{3z^3}{3y^3+3z^2x}\geq \frac{3}{2}$ Από ΑΜ-ΓΜ έχω $3x^2y\leq 2x^3+y^3$ Οπότε $\frac{3x^3}{3z^3+3x^2y}+\frac{3y^3}{3x^3+3y^2z}+\frac{3z^3}{3y^3+3z^2x}\geq \frac{3x^3}{2x^3+3z^3+y^3}+\fr...
από ksofsa
Τρί Μάιος 07, 2019 9:21 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1226

Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία

Για το G3: Εστω αρχικά σταθεό τρίγωνο $ABC$ ,$I$ το έγκεντρο και $D,E,Z$ οι προβολές του $I$ στις $a,b,c$. Τότε $AE=AZ=p-a, BD=BZ=p-b, CA=CE=p-c$ Εστω ότι οι απολλώνιοι κύκλοι των τμημάτων $AB, BC$ με λόγους $\frac{p-a}{p-b}, \frac{p-b}{p-c}$ αντίστοιχα τέμνονται σε σημείο $Q$ εντός του $ABC$. Τότε ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση