Με μαθηματική επαγωγή. Είναι $\alpha _{1}=\alpha _{0}+1=2$ Για $n=1$ : $\frac{1}{\alpha _{1}}+\frac{1}{\alpha _{2}-1}=\frac{1}{\alpha _{1}}+\frac{1}{\alpha _{0}\alpha _{1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ Έστω ότι ισχύει για $n=k$ , δηλαδή ισχύει $\frac{1}{a_{1}}+...+\frac{1}{\alpha _{k}}+\frac{1}{\alpha...

Χρόνια πολλά σε όλους τους εορτάζοντες .

Αθ. Μπεληγιάννης

Λύσεις για τα θέματα των Εσπερινών.

Φέρνω την $ZK$ κάθετη στην $B\Delta$ που είναι και διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα , άρα $ZK=BK=A\Delta$. Τα τρίγωνα $AE\Delta$ , $BKZ$ είναι ίσα , άρα $BZ//=\Delta E$ , άρα το $\Delta EZB$ παραλληλόγραμμο. Οπότε η $\widehat{\Delta EZ}=45^{\circ}$ άρα το ορθογώνιο είναι τετράγωνο. Αθ. Μπελ...

Ή λίγο διαφορετικά : $\left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}\leq 2\Leftrightarrow sin^{2}\theta +2sin\theta cos\theta +cos^{2}\theta \leq2\left (sin^{2}\theta +cos^{2}\theta \right )\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow\sin^{2}\theta+cos^{2}\theta-2sin\theta cos\theta \geq0\Leftrightarrow \left ( sin...

Τα απόλυτα , που δυσκολεύουν στη Γ΄ γυμνασίου, τα διώχνουμε κι έτσι : [tex]$\frac{\left | cosx \right |}{\sqrt{1+tan^{2}x}}+\frac{\left | sinx \right |}{\sqrt{1+\frac{1}{tan^{2}x}}}=\sqrt{\frac{cos^{2}x}{1+tan^{2}x}}+\sqrt{\frac{sin^{2}x}{1+\frac{1}{tan^{2}x}}}=$ $=\sqrt{\frac{cos^{2}x}{1+\frac{sin^...

Χρόνια πολλά στο Γρηγόρη Κωστάκο και σε όλους τους εορτάζοντες του .

Αθ. Μπεληγιάννης

Χρόνια πολλά με υγεία σε όλα τα μέλη του που έχουν την ονοματική τους εορτή σήμερα.

Χρόνια πολλά με υγεία στη Φωτεινή Καλδή , στο Φώτη Μαραντίδη και στα μέλη του που εορτάζουν.

Χρόνια πολλά στο Λευτέρη Πρωτοπαπά για την ονομαστική του εορτή και ευχές για καλή σταδιοδρομία στο ΕΜΠ.

Αθ. Μπεληγιάννης

Α΄ Λυκείου Πρόβλημα 2 Έστω $\displaystyle{\nu}$ ένας θετικός ακέραιος. Να αποδείξετε ότι: (α) Το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma}$ των άρτιων αριθμών που βρίσκονται μεταξύ των θετικών ακεραίων $\displaystyle{\nu^2-\nu+1}$ και $\displaystyle{\nu^2+\nu+1}$ είναι: $\displaystyle{\Sigma=\nu^3+\nu}$ (β) ...

$\left ( x^{2}+2x-5 \right )^{2}+2x^{2}+3x-15=0\Leftrightarrow$ $\left ( x^{2}+2x-5 \right )^{2}-x^{2}+3x^{2}+3x-15=0\Leftrightarrow$ $\left ( x^{2}+2x-5-x \right )\left ( x^{2}+2x-5+x \right )+3\left ( x^{2}+x-5 \right )=0\Leftrightarrow$ $\left ( x^{2}+x-5 \right )\left (x^{2}+3x-5 \right )+3\left...

Για την (3) : Για $x\leq -4$ ή $x\geq 4$ έχουμε : $\sqrt{x^{2}-16}+\sqrt{x^{2}+2x}=2\sqrt{x^{2}+x-8}\Rightarrow$ $\Rightarrow \sqrt{x^{2}+2x}-\sqrt{x^{2}+x-8}=\sqrt{x^{2}+x-8}-\sqrt{x^{2}-16}\Rightarrow$ $\Rightarrow \frac{\left (x^{2}+2x \right )-\left ( x^{2}+x-8 \right )}{\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{x...

Πολλά μπράβο και συγχαρητήρια για τη μεγάλη επιτυχία σε όλη τη "dream team" .

Αθ. Μπεληγιάννης

Για το

οπότε για :

[/tex]

Χρόνια πολλά κι ευτυχισμένα σε όλους τους εορτάζοντες .

Αθ. Μπεληγιάννης

Χρόνια πολλά στο Μπάμπη Στεργίου για την ονομαστική του εορτή .Ευχές και σε όλους τους εορτάζοντες του .

Αθ. Μπεληγιάννης

Μπορείτε παρακαλώ να αναρτήσετε τη λύση του 4ου θέματος της Β' γυμνασίου? Λύση χωρίς εξίσωση. Ο πεζοπόρος την πρώτη ώρα διανύει απόσταση $4km$. Στη συνέχεια επιταχύνει και φτάνει στο σταθμό $1,5$ώρα νωρίτερα. Στη μιάμιση αυτή ώρα αντιστοιχεί σε απόσταση $9km$ . Επειδή με τη νέα του ταχύτητα κάνει $...

Χρόνια πολλά σε όλο το και τις καλύτερες ευχές σε όσες και όσους γιορτάζουν .

Αθ. Μπεληγιάννης

Χρόνια πολλά στο Νίκο Μαυρογιάννη και σε όλα τα μέλη του που εορτάζουν σήμερα .

Αθ. Μπεληγιάννης