Αποδείξτε ότι το γινόμενο οποιονδήποτε πέντε διαδοχικών φυσικών αριθμών διαιρείται με το .

Γειά σας κύριε Δημήτρη και κύριε Μιχάλη καθώς έχω την αγγλική έκδοση του βιβλίου, ορίστε και το δείγμα. mathematical circles.png mathematical circles solution.png Είχα διαβάσει σε σχόλια ότι το βιβλίο απευθύνεται σε μικρές ηλικίες, ήταν άσκηση που βρήκα καθώς ξεφύλλιζα το βιβλίο, καθώς έχω τελειώσει...

ΛΥΣΗ: Αν συμβολίσουμε τον αριθμό στον αριθμητή κάθε κλάσματος με $\large x$. Το κλάσματα που προκύπτουν είναι της μορφής έστω $\large c=\large \frac{x}{10x-9}$ Εάν βρω το αντίστροφο του δηλαδή το $\large \frac{1}{c}=10-\frac{9}{x}$ θα παρατηρήσω ότι καθώς το $\large x$ αυξάνεται το $\large c$ μικραί...

Αποδείξτε ότι ο αριθμός $\large a=\large 30^{239} + 239^{30}$ δεν είναι πρώτος. Θα τρυπήσω την μύτη μου αν η άσκηση βγαίνει με γνώσεις Α Γυμνασίου. Ας το δούμε με πιο προχωρημένα Μαθηματικά. $A= (30^{239} +1)+ (239^{30}-1)$ Το $30^{239} +1 $ είναι πολλαπλάσιο του $31$ από την ταυτότητα $a^{2n+1}+b^...

Μας δίνονται δύο κλάσματα έστω $\large a=\large \frac{10...01}{10...001}$ και $\large b=\frac{10...01}{10...001}$. Σε κάθε κλάσμα ο αριθμός στον παρονομαστή έχει ένα μηδενικό παραπάνω από τον αριθμό στον αριθμητή. Αν ο αριθμητής στον αριθμό $\large a$ έχει $\large 1984$ μηδενικά, και ο αριθμητής στο...

Αποδείξτε ότι ο αριθμός δεν είναι πρώτος.

Έστω ότι στην εκδρομή είχαμε συνταξιούχους, τότε αυτοί που δεν ήταν συνταξιούχοι ήταν .
Καθώς τα χρήματα του εισπράχθηκαν ήταν , τότε προκύπτει η εξίσωση
, άρα συνταξιούχοι.

Κανένας. Τυπικό παράδειγμα το παρακάτω (γράφω το συγκεκριμένο παράδειγμα για τυπογραφική ευκολία). Για τον $1112111$ ή οποιονδήποτε ανάλογο, είναι ισχύει $\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ + & & & 1 & 1 & 1 & 1\\ -& - & - & - &- &- &- \\ 1& 1& 1 & 2 & 1&1 & 1 \end{matrix}$ Δηλαδή $1112111=...

Πόσοι από τους δέκα πρώτους αριθμούς της ακολουθίας είναι πρώτοι αριθμοί;

Κατέβηκαν και από τα $\large 3$ βαγόνια $\large 6+8+2=16$ επιβάτες. Οπότε έμειναν $\large 70-16=54$ επιβάτες και στα $\large 3$ βαγόνια. Καθώς, μετά την 1η στάση κάθε βαγόνι είχε τον ίδιο αριθμό επιβατών, τότε κάθε βαγόνι είχε από $\large \frac{54}{3}=18$ επιβάτες. Επομένως στο πρώτο βαγόνι έχουμε $...

Ο συγκεκριμένος διαγωνισμός διεξάγετε στην Αμερική και είναι πολλαπλής επιλογής κάτι τον " Καγκουρό" , το όνομα του είναι American Mathematics Competitions η σε συντομογραφία AMC. Έχει διάφορα επίπεδα βάση ηλικίας π.χ. AMC 8, AMC 10 , AMC 12. Τα θέματα τα βρίσκω από το γνωστό site Art of Problem So...

Έστω $\large b$ ένας $\large n-$ ψήφιος φυσικός αριθμός, $\large n\geq 2$ , και το άθροισμα των ψηφίων του $\large b$ είναι έστω $\large a=x1+x2+x3+....+xn$, όπου $\large x1,x2,x3,...,xn$ τα ψηφία του αριθμού. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\large b-a$ μπορεί να πάρει την μορφή $\large 9k$, $\large k...

αυτές δείχνει και το site του διαγωνισμού, αν και η δεύτερη είναι για την Α΄ Λυκείου. Από περιέργεια, ποιος διαγωνισμός είναι αυτός; Ο συγκεκριμένος διαγωνισμός διεξάγετε στην Αμερική και είναι πολλαπλής επιλογής κάτι τον " Καγκουρό" , το όνομα του είναι American Mathematics Competitions η σε συντο...

Πολύ όμορφες λύσεις κύριε Λάμπρου, αυτές δείχνει και το site του διαγωνισμού, αν και η δεύτερη είναι για την Α΄ Λυκείου.

Ποιο είναι το υπόλοιπο όταν το διαιρείται με το ;

Έστω $\large b$ ένας $\large n-$ ψήφιος φυσικός αριθμός, $\large n\geq 2$ , και το άθροισμα των ψηφίων του $\large b$ είναι έστω $\large a=x1+x2+x3+....+xn$, όπου $\large x1,x2,x3,...,xn$ τα ψηφία του αριθμού. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\large b-a$ μπορεί να πάρει την μορφή $\large 9k$, $\large k\...

Ολόσωστο.

Εάν το $n$ είναι ένας άρτιος θετικός ακέραιος, ο συμβολισμός για το διπλό παραγοντικό είναι $n!!$ και αντιπροσωπεύει το γινόμενο όλων των άρτιων ακεραίων από $2$ έως $n$. Για παράδειγμα, $8!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8$. Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του παρακάτω αθροίσματος ; $\displaystyle 2!! + ...

Έλα ντε...
Μου φάνηκε ότι μοιάζει με μία παρόμοια άσκηση που είχα λύση, αλλά εκεί είχε και ως δεδομένα και αύξουσα και ζητούσε την απόδειξη ότι η είναι .

Ναι κύριε Λάμπρου, το κατάλαβα καθώς το έγραφα...άλλα για κάποιο λόγο συνέχιζα να το γράφω.
Προσπαθώ να θυμηθώ τον τρόπο λύσης του συγκεκριμένου ερωτήματος.