Η αναζήτηση βρήκε 867 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Κυρ Δεκ 10, 2023 3:51 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
- Θέμα: Ζητείται η συνάρτηση
- Απαντήσεις: 26
- Προβολές: 2359
Re: Ζητείται η συνάρτηση
Καλησπέρα, έλειψα για μέρες. Ορέστη, επίτρεψέ μου να σου πω ότι οι συνάδελφοι έχουν δίκιο. Τι ψάχνεις ακριβώς;
- Κυρ Νοέμ 26, 2023 8:15 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
- Θέμα: Τριγωνομετρία
- Απαντήσεις: 23
- Προβολές: 3272
Re: Τριγωνομετρία
Παιδιά, σορυ, παρεξήγηση. Εγώ νόμιζα ότι ο Λάμπρος έβαλε αυτό το θέμα στο ChatGPT και το ChatGPT δεν μπόρεσε να το λύσει.
- Σάβ Νοέμ 25, 2023 7:24 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
- Θέμα: Τριγωνομετρία
- Απαντήσεις: 23
- Προβολές: 3272
Re: Τριγωνομετρία
Δεν μπορεί να το λύσει;;; Κόλλησε ;
- Σάβ Νοέμ 25, 2023 2:24 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
- Θέμα: Τριγωνομετρία
- Απαντήσεις: 23
- Προβολές: 3272
Re: Τριγωνομετρία
Έχουμε $\displaystyle{ \begin{aligned} & 3 \sin B+4 \cos C=6 \ \text {(1) } \\ & 4 \sin C+3 \cos B=1 \ \text { (2) } \end{aligned} }$ Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε: $\displaystyle{ \begin{aligned} & 9 \sin ^2 B+16 \cos ^2 C+24 \sin B \cdot \cos C=36 \ (3) \\ & 16 \sin ^2 C+9 \co...
- Σάβ Νοέμ 25, 2023 1:59 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
- Θέμα: Τριγωνομετρία
- Απαντήσεις: 23
- Προβολές: 3272
Re: Τριγωνομετρία
Έχουμε $\displaystyle{ \begin{aligned} & 3 \sin B+4 \cos C=6 \ \text {(1) } \\ & 4 \sin C+3 \cos B=1 \ \text { (2) } \end{aligned} }$ Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε: $\displaystyle{ \begin{aligned} & 9 \sin ^2 B+16 \cos ^2 C+24 \sin B \cdot \cos C=36 \ (3) \\ & 16 \sin ^2 C+9 \co...
- Παρ Νοέμ 24, 2023 8:05 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Γωνία από εμβαδά τριγώνων.
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 443
Re: Γωνία από εμβαδά τριγώνων.
Τα τρίγωνα $AEB\sim DEC$ με λόγο εμβαδών $\displaystyle \frac{\left ( AEB \right )}{\left ( DEC \right )}=2$, άρα $\displaystyle \frac{AB}{CD}=\sqrt{2}\Longleftrightarrow CD=R\sqrt{2}=\lambda _{4}\Longrightarrow \angle DAC=45^\circ\wedge \boxed{\theta =45^\circ}$ ($\angle ADB=90^\circ$ ως εγγεγραμμέ...
- Πέμ Νοέμ 23, 2023 9:13 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ένα οξυγώνιο τρίγωνο
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 635
Re: Ένα οξυγώνιο τρίγωνο
Έστω $Q$ η προβολή του $I$ στην $MP.$ Το $PAIQ$ είναι εγγράψιμο ($\angle PAI=\angle PQI=90^\circ$), οπότε $\angle AIP=\angle AQP$, οπότε αρκεί νδο $\angle IMP=\angle AQP\Longleftrightarrow AQ\parallel MI\Longleftrightarrow AQ\perp QD.$ Θα αποδείξουμε τον παρακάτω ισχυρισμό: Η ευθεία $MI$ περνάει από...
Re: Αλυτεία
$\angle OAB=45^\circ\wedge \angle PSA=90^\circ\Longrightarrow PS=SA=x$ και $\displaystyle TS=\sqrt{OT^{2}-OS^{2}}=\sqrt{R^{2}-\left ( R-x \right )^{2}}=\sqrt{x\left ( 2R-x \right )}.$ Επομένως $\displaystyle TP\cdot TS=\sqrt{x\left ( 2R-x \right )}\cdot \left ( \sqrt{x\left ( 2R-x \right )}-x \right...
- Δευ Νοέμ 20, 2023 3:29 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μία στριφνή ανισότητα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 664
- Δευ Νοέμ 13, 2023 3:39 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία.
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 536
Re: Ομοκυκλικά σημεία.
Αλλιώς. Έστω $M$ μέσο του $AD$, τότε $O,E,M$ συνευθειακά και συνεπώς $\displaystyle OM=OE+EM=R+\frac{a}{2}\left ( 1 \right )$. Εξάλλου, $\widehat{OZD}=\widehat{OHD}=\widehat{ZDH}=90^\circ$ και αφού $OH=OZ=R$, έπεται ότι το $OZDH$ είναι τετράγωνο, επομένως $\displaystyle OM^{2}=R^{2}+\left ( R-\frac{...
- Δευ Νοέμ 13, 2023 3:20 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Έχει και τριγωνομετρία.
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 476
Re: Έχει και τριγωνομετρία.
Αλλιώς. Είναι $\displaystyle \frac{DB+EC}{DI}=\frac{DB}{DI}+\frac{EC}{DI}$ και $\widehat{IDE}=\widehat{IAE}=\widehat{IAD}=\widehat{IED}$ από το εγγράψιμο $AEID$ και συνεπώς $\displaystyle EI=DI\Longrightarrow\frac{DB+EC}{DI}=\frac{DB}{DI}+\frac{EC}{EI}\left ( 1 \right )$. Εξάλλου, $\widehat{DBI}=30^...
- Κυρ Νοέμ 12, 2023 10:22 am
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Τρίγωνο ισεμβαδικό με τετράπλευρο
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 602
Re: Τρίγωνο ισεμβαδικό με τετράπλευρο
$\displaystyle A\overset{\bigtriangleup }EC\sim A\overset{\bigtriangleup }BD:\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{AD}$ $\left ( 1 \right )$ $\left ( AZEK \right )=2\left ( AEK \right )=AE\cdot AK\cdot \sin \angle EAK\left ( 2 \right )$ Οπότε $\displaystyle \left ( AZEK \right )=\frac{AB\cdot AC}{AD}\cdot AK\cdot...
- Σάβ Νοέμ 11, 2023 10:35 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ανισότητα υπό συνθήκες
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 524
Re: Ανισότητα υπό συνθήκες
Η δεύτερη συνθήκη τι ρόλο παίζει; Οι είναι θετικοί πραγματικοί, άρα από AM-GM και αφού , προκύπτει η ζητούμενη.
- Σάβ Νοέμ 11, 2023 11:25 am
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Οι γωνίες που λείπουν
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 368
Re: Οι γωνίες που λείπουν
Θεωρώ το περίκεντρο $Q$ του $A\overset{\bigtriangleup }BD$, τότε $\displaystyle \widehat{QAD}=90^\circ-\widehat{ABD}=\widehat{CAD}$, άρα τα $A,Q,C$ είναι συνευθειακά. Είναι $\widehat{BQD}+\widehat{BCD}=2\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180^\circ$, οπότε $\displaystyle BCDQ$ εγγράψιμο και συνεπώς $\omega ...
- Πέμ Νοέμ 09, 2023 8:54 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Γωνία διαμέσου
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 751
Re: Γωνία διαμέσου
Νομίζω ότι στο δεύτερο μέλος έχουν μπει ανάποδα οι συνεφαπτομενες.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Νοέμ 09, 2023 8:44 pmΣωστά, αλλά θέλει δουλειά ακόμη. Τουλάχιστον αυτό αντιλαμβάνομαι από καθεμία από τις δύο αποδείξεις που γνωρίζω.
- Πέμ Νοέμ 09, 2023 8:41 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Γωνία διαμέσου
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 751
- Πέμ Νοέμ 09, 2023 6:12 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Συναρτησιακή!
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 915
- Πέμ Νοέμ 09, 2023 1:22 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Το ορθόκεντρο είναι και έγκεντρο...
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1186
Re: Το ορθόκεντρο είναι και έγκεντρο...
Μπορούμε να αποδείξουμε κι αλλιώς ότι τα τρίγωνα $A_{2}HD$ και $A_{1}OM$ είναι ομοιόθετα και τότε παίρνουμε το ζητούμενο. Θέτω $\angle BA_{1}C=\angle A,\angle A_{1}BC=\angle B$ και $\angle A_{1}CB=\angle C.$ Από την ισογωνιότητα $\displaystyle \angle A_{2}HA_{1}=180^\circ-\angle C-\left ( 180^\circ-...
- Τρί Νοέμ 07, 2023 9:22 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Το ορθόκεντρο είναι και έγκεντρο...
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1186
Re: Το ορθόκεντρο είναι και έγκεντρο...
Στάθη, που είσαι; Δεν έχω λόγια για τη λύση που έδωσες, κανείς δεν έχει λόγια .
Πιο συχνά να σε βλέπουμε !
Πιο συχνά να σε βλέπουμε !
- Κυρ Νοέμ 05, 2023 8:58 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 743
Re: Ομοκυκλικά σημεία
Το είχα πει έμμεσα σε μια ανάρτηση μου στο άλλο topic. Έτσι όπως είναι, νομίζω κάνει με λίγο σπρώξιμο και για σχολική.