Η αναζήτηση βρήκε 70 εγγραφές

από vgreco
Δευ Απρ 22, 2024 11:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Παραμετρική ανίσωση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 200

Re: Παραμετρική ανίσωση

Επειδή η $f$ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, η εξίσωση $f(x) < a$ αποκλείεται να έχει ακριβώς μία λύση για οποιαδήποτε τιμή του $a$. Να ευχαριστήσω τον vgreco για την λύση. Σε αυτό το φάκελο υποτίθεται, ότι ακόμα δεν ξέρουμε την έννοια της συνέχειας. Αλλά και αν την ξέρουμε, νομίζω θέλει λίγο ...
από vgreco
Δευ Απρ 22, 2024 6:14 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Παραμετρική ανίσωση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 200

Re: Παραμετρική ανίσωση

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$, για τις οποίες η ανίσωση $2\sqrt{x^2+324} -f(x) \geq \dfrac{x^2+324}{f(x)-a} -a$ έχει μοναδική λύση, όπου $f(x)=\sqrt{g^2(x)-400}$, $ g(x)= 19+2\cos 2x +4\cos x$. Είναι: $\displaystyle{\bullet \ g(x) = 19+2\cos 2x +4\cos x = 4 \cos^2 x + 4\cos x + 17 = \...
από vgreco
Δευ Μαρ 25, 2024 4:23 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Συζήτηση για τη μελλοντική κατεύθυνση του φόρουμ.
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 943

Re: Συζήτηση για τη μελλοντική κατεύθυνση του φόρουμ.

[...] Τους ενδιαφέρει πιο πολύ "πότε θα βγούν τα αποτελέσματα" και "με πόσες ασκήσεις πιάνεις την βάση", αλλά η ουσία εξαφανίζεται. Θα ήταν χρήσιμο να μην τους χάνουμε. Ίσως όσοι ασχολούνται με Διαγωνισμούς ή προπόνηση θα πρέπει να ενθαρρύνουν τους μαθητές τους να συνεισφέρουν στο φόρουμ με Μαθηματ...
από vgreco
Κυρ Φεβ 25, 2024 4:21 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με τρεις μεταβλητές
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 297

Re: Ανισότητα με τρεις μεταβλητές

Έστω $p,q,r$ θετικοί αριθμοί με $p+q+r=3$. Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\dfrac {p}{p^2+qr+1} + \dfrac {q}{q^2+rp+1}+ \dfrac {r}{r^2+pq+1}\le 1}$ Έχουμε: $\displaystyle{ \begin{aligned} \sum \dfrac{p}{p^2 + qr + 1} &\le \sum \dfrac{p}{2p + qr} \\[0.06in] &= \dfrac{1}{2} \sum \dfrac{2p}{2p + qr} ...
από vgreco
Κυρ Φεβ 11, 2024 5:16 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 2η μέρα)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 201

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 2η μέρα)

2. Η γραφική παράσταση $G_{1}$ ενός δευτεροβάθμιου πολυώνυμου $y=px^2+qx+r$ με πραγματικούς συντελεστές τέμνει την γραφική παράσταση $G_{2}$ του δευτεροβάθμιου πολυώνυμου $y=x^2$ στα σημεία $A$ και $B$. Οι εφαπτόμενες στα σημεία $A$ και $B$ της γραφικής παράστασης $G_{2}$ τέμνονται στο σημείο $C$. ...
από vgreco
Κυρ Φεβ 11, 2024 2:17 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 362

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

4. Με διάμετρο το τμήμα $XY$ κατασκευάζουμε ημικύκλιο και διαλέγουμε τυχαίο σημείο $Z$ σε αυτό το τμήμα. Εννέα ημιευθείες με αρχή το σημείο $Z$ διαιρούν την ευθεία γωνία $XZY$ σε δέκα ίσα μέρη (γωνίες) και τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία $A_{1}, A_{2}, \dots , A_{9}$ αντίστοιχα (με διάταξη από το $...
από vgreco
Σάβ Φεβ 10, 2024 9:01 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 515

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

1. Ο Κωνσταντίνος ισχυρίζεται, ότι βρήκε διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς $x,y,z$ τέτοιους, ώστε $\dfrac{1}{x^2+x+1} +\dfrac{1}{y^2+y+1} +\dfrac{1}{z^2+z+1} =4 $. Μπορεί άραγε να αληθεύει ο ισχυρισμός του Κωνσταντίνου; (Π. Κοζέβνικοβ, Άγνωστος) Ο ισχυρισμός του Κωνσταντίνου είναι ψευδής . Πράγμα...
από vgreco
Σάβ Οκτ 21, 2023 3:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με 3 μεταβλητές
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 538

Re: Ανισότητα με 3 μεταβλητές

Αν $a,b,c\ge 0$ με $a+b+c=1$, να αποδειχθεί ότι $\sqrt {9a^2+18ab+5b^2} + \sqrt {9b^2+18bc+5c^2} + \sqrt {9c^2+18ca+5a^2} \le 4\sqrt 2$ (Κάνει και για Juniors) Παρατηρώ πως $9a^2 + 18ab + 5b^2 = (3a + 3b)^2 - 4b^2 = (3a + b)(3a + 5b)$, επομένως με βάση την ανισότητα $\rm H\"older$: $\displaystyle{ ...
από vgreco
Κυρ Οκτ 15, 2023 1:33 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Από τα μικρά στα μεγάλα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 675

Re: Από τα μικρά στα μεγάλα

( Από διαγωνισμό ) : Αν : $x^3+4x=8 \quad (1)$ , υπολογίστε το : $x^7+64x^2$ $\displaystyle{ \begin{aligned} x^7 + 64x^2 & = \left( x^3 + 4x \right) \left( x^4 + 16x \right) - 4x^5 - 16x^4 \\ & \overset{(1)}{=} 128x - 4x^5 - 8x^4 \\ & \overset{(1)}{=} 128x - 4\left( 8x^2 - 4x^3 \right) - 8\left( 8x...
από vgreco
Κυρ Οκτ 01, 2023 1:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Απαντήσεις: 199
Προβολές: 61395

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Απόδειξη της Πρότασης 1α(55). Αγαπητοί φίλοι, Με το παρακάτω συνημμένο μου 351, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου απόδειξη της Πρότασης αυτής. βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα ...
από vgreco
Δευ Σεπ 18, 2023 5:30 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μικρό διακεντρικό
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 398

Re: Μικρό διακεντρικό

Μικρό διακεντρικό.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $6,7,8$ , υπολογίστε την απόσταση του εγκέντρου από το βαρύκεντρο . Είναι αρκετά εύκολη η προσέγγιση της άκησης με βαρυκεντρικές συντεταγμένες, για τις οποίες άλλωστε έχει ξαναγίνει λόγος εδώ στο :logo:. Αφού: $\displaystyle{ \bullet \; G(g_1, g_2, ...
από vgreco
Δευ Αύγ 21, 2023 11:09 am
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Μας λείπει τόπος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 527

Re: Μας λείπει τόπος

Μας λείπει τόπος.pngΤο σημείο $A$ κινείται στον κύκλο , οι χορδές $AB , AD$ έχουν κλίσεις $\dfrac{3}{4} , $ και $-\dfrac{3}{4}$ αντίστοιχα . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της τέταρτης κορυφής $C$ , του παραλληλογράμμου $ABCD$ . leipei_topos.png Πρόκειται επί της ουσίας για «διασκευή» (διαφορετική διατ...
από vgreco
Κυρ Αύγ 20, 2023 11:42 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Διχοτόμηση από το Βελοντρόμ (αστειάκι!)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 517

Re: Διχοτόμηση από το Βελοντρόμ (αστειάκι!)

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με διχοτόμο $AE$, έκκεντρο $I$ και $D$ το σημείο επαφής του έγκυκλού του με την πλευρά $BC.$Αν η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας $\angle BAC$ επανατέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου $ABC$ στο σημείο $M$ και οι ευθείες $DI$ και $AM$ τέμνονται στο σημείο $Z$, να δείξετε ότι η ευθε...
από vgreco
Σάβ Αύγ 19, 2023 10:58 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Τομή τόξων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 435

Re: Τομή τόξων

Αφιλόξενος τόπος.pngΣτο - πλευράς $4$ - τετράγωνο $ABCD$ , σχεδιάζουμε το - ακτίνας $r , r\leq4$ , τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{PQ}$ και εν συνεχεία το ημικύκλιο διαμέτρου $QC$ . Τα δύο τόξα τέμνονται στο σημείο $S$ , του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο . ( Δεκτή λύση έστω και σε παραμετρ...
από vgreco
Τρί Αύγ 08, 2023 10:41 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τραπεζιακά προβλήματα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 342

Re: Τραπεζιακά προβλήματα

Τραπεζιακά προβλήματα.pngΤο τραπέζιο $ABCD$ έχει βάσεις : $AD=3 , BC=13$ και ύψος $4$ . Οι μεσοκάθετοι των $AB , DC$ τέμνουν την βάση $BC$ στα σημεία $S , T$ αντίστοιχα , έτσι ώστε το $S$ να μην βρεθεί δεξιότερα του $T$ . α) Βρείτε το μέγιστο μήκος του $ST$ ... β) Πότε έχουμε : $ST=3$ ... γ) Πότε τ...
από vgreco
Δευ Αύγ 07, 2023 9:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Ίσες διαδρομές
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 481

Re: Ίσες διαδρομές

Σχεδόν υπερβολή.pngΦυσικά το ερώτημα είναι αν μπορούμε να φανταστούμε τον γεωμετρικό τόπο του $S$ . Περιστρέφοντας ( για ευκολία ) το σχήμα έχουμε ως σίγουρο το σημείο $(\sqrt{7},0)$ ( και το συμμετρικό του ) και - με χρήση λογισμικού - μπορούμε να βρούμε και το $T$ με τα τρία συμμετρικά του . Ο τό...
από vgreco
Δευ Αύγ 07, 2023 5:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Μαζί και ένα-ένα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 598

Re: Μαζί και ένα-ένα

Σημείο $S$ κινείται στην πλευρά $BC$ τετραγώνου $ABCT$ . Φέρουμε : $CT\perp AS$ . γ) Για ποια θέση του $S$ μεγιστοποιείται το : $(CST)$ ; δ) Για ποια θέση του $S$ μεγιστοποιείται το : $(BST)$ ; mazi_kai_ena_ena.png Εργάζομαι με τις συντεταγμένες του σχήματος. γ) Είναι σαφές ότι: $\displaystyle{ (CS...
από vgreco
Κυρ Αύγ 06, 2023 4:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Κυκλισμός τετραγώνου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 551

Re: Κυκλισμός τετραγώνου

Κυκλισμός τετραγώνου.pngΤο τετράγωνο $ABCD$ έχει πλευρά $a$ και στην $AB$ βρίσκεται σημείο $P$ , ώστε : $PB=1$ . Σχεδιάστε κύκλο διερχόμενο από τα $A , P $ και τέμνοντα την πλευρά $BC$ σε σημείο $S$ , πλησιέστερο του $C$ ώστε : $\widehat{ASP}=45^0$ . Αν ο κύκλος τέμνει την $CD$ σε σημείο $T$ , πλησ...
από vgreco
Κυρ Ιούλ 23, 2023 2:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ταυτότητα
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 3154

Re: Ταυτότητα

Αν $\alpha + \beta + \gamma =0$, να δειχθεί ότι: $\displaystyle{2 \left ( \alpha^5 + \beta^5 + \gamma^5 \right ) = 5 \alpha \beta \gamma \left ( \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 \right )}$ Δεν έχω λύση!! $\displaystyle{ \begin{aligned} \alpha + \beta + \gamma = 0 &\Rightarrow \alpha^3 + \beta^3 + \gam...
από vgreco
Δευ Ιούλ 03, 2023 7:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισότητα μη αναμενόμενη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 361

Re: Ισότητα μη αναμενόμενη

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου $BC$. Στο ημικύκλιο κινείται σημείο $A$ με προβολή στη διάμετρο , το σημείο $D$. Ας είναι $F$ το συμμετρικό του $D$ ως προς το $B$. Έστω ακόμα $M$ το μέσο του $DC$. Ο κύκλος , $\left( {B,BM} \right)$ τέμνει την $AC$ στο $E$ και η $BE$ το ημικύκλιο διαμέτρου $FD$ στο $Z$. Η ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση