Είναι:

Ας είναι: $x=\sqrt[3]{3458+a^3}$ και $y=\sqrt[3]{25991-a^3}$ Τότε, προκύπτει από τη δοθείσα ισότητα: $x+y=49$ Ταυτόχρονα, παρατηρούμε ότι: $x^3+y^3=3458+a^3+25991-a^3=29449\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)=29449\Leftrightarrow 49^2-3xy=601\Leftrightarrow xy=300$ Συνεπώς, προκύπτει το σύστημα: $\left\...

Προφανώς ισχύει: $(ABCD)=45$ Θέτουμε: $x=AS=BP=QC=DT$. Τότε, θα είναι: $BS=DQ=9-x, CP=AT=5-x$. Ισχύει: $(ATS)=(PQC)=\frac{x(5-x)}{2}, (PBS)=(QDT)=\frac{x(9-x)}{2}$ Είναι, λοιπόν: $f(x)=(SPQT)=(ABCD)-2(ATS)-2(PBS)=45+x(x-9)+x(x-5)=x^2-9x+x^2-5x+45=2x^2-14x+45$ Προφανώς, λοιπόν, είναι: $(SPQT)_{min}=\...

Αφού το $S$ ανήκει στην ευθεία $y=2x$ θα έχει συντεταγμενες $S(x_0,2x_0)$. Επομένως, ισχύει: $SA=\sqrt{(x_0+4)^2+4x_0^2}= \sqrt{x_0^2+8x_0+16+4x_0^2}=\sqrt{5x_0^2+8x_0+16}$ Αντίστοιχα, ισχύει: $SB=\sqrt{(x_0-2)^2+4x_0^2}=\sqrt{x_0^2-4x_0+4+4x_0^2}=\sqrt{5x_0^2-4x_0+4}$ Η δοθείσα σχέση δίνει: $SA=2SB...

Καλησπέρα, Ας δούμε μια τριγωνομετρική λύση: Με νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο $ABC$ έχουμε: $9^2=12^2+7^2-168 cos ACB \Leftrightarrow cos ACB=\frac{2}{3} $ Στο ορθογώνιο τρίγωνο $AOC$ ισχύει: $cosACO=\frac{OC}{AC} \Leftrightarrow \frac{OC}{12}=\frac{2}{3} \Leftrightarrow OB=1$. Επομένως, ισχύει: $sin...

Σωστά. Πρέπει, λοιπόν, ο να είναι τέλειο τετράγωνο. Έτσι: . Συνεπώς, θα είναι: . Άρα, πρέπει: και συνεχίζω ομοίως.

Άσκηση 8. Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί $N$ για τους οποίους o $\dfrac {N+9}{\sqrt {N+1}}$ είναι φυσικός. (Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας). Προφανώς πρέπει να ισχύει: $\sqrt{N+1}|N+9$. Τότε, όμως, θα είναι και: $\sqrt{N+1}|N+9-(\sqrt{N+1})^2=8$. Συνεπώς, είναι: $\sqrt{N+1} \in ...

Η συνάρτηση νομίζω θα έπρεπε να ήταν: $f(x)= \sqrt{x+100}- \sqrt{x}$. Αρκεί να αποδείξω πως η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα. Εκτός φακέλου είναι: $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+100}}-\frac{1}{2\sqrt{x}} <0$, αφού: $\sqrt{N}<\sqrt{N+1}\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{N+1}}<\frac{1}{2\sqrt{N}}$ και το ζητούμενο απο...

Έστω $N$ ο ζητούμενος αριθμός. Τότε, θα είναι: $N=\prod_{i=1}^{n}p^{a_i}_i$ η κανονική μορφή του αριθμού. Γνωρίζουμε πως το πλήθος διαιρετών του $N$ δίνεται από τον τύπο: $\prod_{i=1}^{n}(a_i+1)$, όπου: $a_i\geq 1 $. Από την υπόθεση, ισχύει: $\prod_{i=1}^{n}(a_i+1)=35=5 \cdot 7$. Συνεπώς, ο $N$ έχει...

Έχετε δίκιο. Η διαφοροποίηση των διατάξεων ουσιαστικά με οδηγεί στην: .

Επειδή την έλυσα από κινητό, μου διέφυγε η προφανής ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου. Πράγματι, προκύπτει το παραπάνω συμπέρασμα που δίνει: $abc \in {1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2, 10^2, 11^2, 12^2}$ και μετά διάκριση περιπτώσεων. (Μπορούμε να βρούμε κάτω φράγμα για διευκόλυνση ...

Λόγω συμμετρίας υποθέτω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι: $a \geq b \geq c\geq 1$. Τότε, η εξίσωση μου δίνει: $6c^3 \leq LHS \Leftrightarrow 6c^3 \leq 72 \sqrt{abc} \Leftrightarrow c^3 \leq 12 \sqrt{c^3} \Leftrightarrow c^4 \leq 12^2c \Leftrightarrow a,b,c \leq 5$. Άρα: $abc \leq 5^3=125$ Παρατηρώ π...

Από τη δοθείσα παίρνω: , καθώς: . Έτσι: , διότι: . Η παράσταση είναι ίση με:

Στο σχήμα δεν υπάρχουν περιγεγραμμένα τετράπλευρα. Μήπως εννοείς εγγράψιμα;

Έχουμε: $\ln(e^{3x}(e^x-2)) \leq 3x+1\Leftrightarrow \ln{e^{3x}}+\ln{{(e^x-2)}}\leq 3x+1\Leftrightarrow 3x+\ln(e^x-2)\leq 3x+1\Leftrightarrow \ln(e^x-2)\leq 1\Leftrightarrow e^{\ln(e^x-2)}\leq e\Leftrightarrow e^x-2\leq e\Leftrightarrow e^x\leq e+2\Leftrightarrow \ln{e^x}\leq \ln(e+2)\Leftrightarrow...

Θεωρώ πως είναι για επίπεδο Αρχιμήδης junior- Ευκλείδης senior στην καλύτερη περίπτωση.

Το τετράπλευρο $APBC$ είναι εγγεγραμμένο στον περίκυκλο του τριγώνου $ABC$. Επομένως, ισχύει: $A\widehat{P}Q=\widehat{C}$. Ας είναι $H$ το ορθόκεντρο του τριγώνου $ABC$. Τότε, το τετράπλευρο $HECD$ είναι εγγράψιμο, άρα: $B\widehat{H}D=\widehat{C}$. Ταυτόχρονα, το τετράπλευρο $FHDB$ είναι εγγράψιμο. ...

Εναλλακτική λύση με την αξιοποίηση τριγωνικών αριθμών: Η δοθείσα παράσταση γράφεται: $\frac{\frac{100 \cdot 101}{2} \cdot (\frac{101 \cdot 102}{2}-\frac{50 \cdot 49}{2})}{2 \cdot \frac{100 \cdot 101}{2}}=\frac{100 \cdot 101(101\cdot102-50\cdot49)}{4\cdot 100 \cdot 101}=\frac{101\cdot102-50\cdot49}{4...

Με πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο $BDC$ έχουμε: $BD^2=CD^2+BC^2\Leftrightarrow BD^2=625\Leftrightarrow BD=25$. Παράλληλα, με πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $ABD$ έχουμε: $BD^2=AD^2+AB^2\Leftrightarrow 625=AD^2+AB^2\Leftrightarrow AD^2=625-AB^2 (1)$. Τώρα, επειδή $\widehat{A}=\widehat{C}=90...

Καταρχάς, παρατηρούμε πως $\forall a \in \mathbb{R}$ η $x=0$ είναι λύση της εξίσωσης, αφού η βάση της δύναμης είναι άνιση του 0. Επομένως, θα βρούμε όλα τα $a \in \mathbb{R}$, για τα οποία δεν υπάρχει άλλη λύση. Θέτουμε: $x^2-3ax+6=y$. Η εξίσωση γράφεται: $\sqrt{y}+\sqrt{y+2}=\sqrt{2}\Leftrightarrow...