mathematica.gr

2nisic

Να βρεθεί αναγκαία και ικανή συνθήκη εστί ώστε αν η πολεμιστές ξεκινάνε από τα σημεία (0,a),(b,0)

να υπάρχει σημείο τέτοιοι ώστε από το σημείο αυτό πάνω ή δεξιά να μπορούν να πάνε οι πολεμιστές (στην άσκηση προηγούμενος σημείο που έχει αυτή την ιδιότητα είναι το (16,12)

)

2nisic

Θεωρούμε μία άπειρη σκακιέρα όπου κάθε τετράγωνο έχει συντεταγμένες $(m,n)$ όπου $m,n$ μη αρνητικοί ακέραιοι. Έστω ότι υπάρχει ένα πιόνι που ονομάζεται Πολεμιστής. Αν υπάρχουν δύο Πολεμιστές πάνω στη σκακιέρα, μπορούμε να κινήσουμε τον καθένα από τη θέση που βρίσκεται έστω $(a,b)$ στη θέση $(a+i,b+...

2nisic

mick7 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 15, 2021 5:51 pm
Βρείτε την πολυωνυμική συνάρτηση $\displaystyle f(x)$ εάν

$\displaystyle \mid f(x)\mid^2=x^4 − 8x^3 + 22x^2 − 24x + 9$

( όπου $\mid \mid$ δηλώνει απόλυτη τιμή)

Διορία 48 ώρες

2nisic

[ Δίνεται το σύνολο $M=\{1,2,3,...,n\}$. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του $n$ για την οποία υπάρχουν σύνολα $X,Y$ τέτοια ώστε $X\cup Y=M, \ X\cap Y=\emptyset $, και κανένα από αυτά δεν περιέχει την μέση τιμή δύο οποιονδήποτε στοιχείων του. Για την τιμή του $n$ που θα βρείτε, να προσδιορίσετε το πλήθος ...

2nisic

Από το μικρό θεώρημα του Fermat έχω:

$A=1^{p}+....+p^{p}\equiv 1+...+p\equiv \frac{p(p+1)}{2}(modp)$

Για p=odd

τότε

,

άρα

σύνθετος.

Για p=2

εχουμε

Δεκτή

2nisic

Επαναφορά.

Hit

: $a^{min(n,x)}|n^2$

2nisic

Να βρεθούν οι φυσικοί $x,y,z$ τέτοιοι ώστε: $2^{x}5^{y}=3^{z}+1$ Με $mod8$ έχουμε:$3^{z}+1\equiv 2or4(mod8)\Rightarrow x=1or2$ :santalogo: Αν $x=2$ τότε έχουμε την:$4*5^y=3^z+1$ :logo: Αν $y=0$ έχουμε την λύση $(x,y,z):(2,0,1)$ :logo: Αν $y\neq 0$ με $mod4$ έχουμε $z=odd$ αλλά με $mod5$ έχουμε$z=eve...

2nisic

Ωραία λύση Μανόλη!!!
Η δικιά μου στηριζόταν στην Holder

:

$(LHS^{k})[\sum a(a+2b)]\geq (a+b+c)^{k+1}\Leftrightarrow (LHS^{k})[(a+b+c)^{2 }]\geq (a+b+c)^{k+1}$
$\Leftrightarrow LHS\geq \sqrt[k]{(a+b+c)^{k-1}}$

2nisic

Έστω

θετικοί πραγματική αριθμοί και $k \epsilon \mathbb{N}$ $,k\neq 0$ .Να αποδειχθεί η ανησοτητας:

$\sum \frac{a}{\sqrt[k]{a+2b}}\geq\sqrt[k]{(a+b+c)^{k-1}}$

2nisic

Έστω

θετικοί ακέραιοι. Να αποδειχθεί ότι οι a,b,c

είναι διαδοχικοί (με κάποια σειρά) αν και μόνο αν ισχύει η ισότητα:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=3(a+b+c+abc)$

2nisic

Δεύτερη λύση χωρίς αφαίρεση τετράγωνον. :logo: Αν $a=0orb=0ora=1$ εύκολες περνώντας $mod8,16,8$ αντίστοιχα. :logo: Αν $b=1$($a\neq 0$)έχουμε την: $3^{a}+7=2^{c}\Leftrightarrow 9(3^{a-2}-1)=16(2^{c-4}-1)$ Όχι εύκολα αλλά όχι και δύσκολα μετά από λίγο καταλήγουμε στο: $c-4\equiv 0(mod18)\Leftrightarro...

2nisic

Με

έχουμε

μήπως μπορεί να συνεχίσει κάποιος λύνοντας την έξωση pell

:

2nisic

Δείτε και εδώ:viewtopic.php?f=44&t=68979

2nisic

Αν $a,b,c\varepsilon \mathbb{R+}$ και a+b+c=3

να αποδειχθεί ότι:

$\sum \sqrt{a(a+1)+b+c}\geq 6$

2nisic

Μία άσκηση που κατασκεύασα.Η ιδέα προέρχεται από άσκηση που είδα στο

.

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί a,b,c,x,n

τέτοιοι ώστε
a,b,c>1

,

και:

2nisic

•Αν $c=0$ είναι αδύνατη •Αν $c=1\Rightarrow a=b=0$ •Αν $a=0$ και $b\geq 2$ είναι αδύνατη από Mihailescu •Αν $a=0$ και $b=1$ τότε $c=3$ •Αν $b=0$ και $a\geq 2$ είναι αδύνατη από Mihailescu •Αν $b=0$ και $a=1$ τότε $c=2$ Στις υπόλοιπες περιπτώσεις από $mod3$ παίρνουμε $c=2z$ Από $mod4$ παίρνουμε $(-1...

2nisic

Άλλη κατασκευή:
Φέρνουμε τον περιγεγραμενο κύκλο του ABO

(

περίκεντρο του ABC

) τότε ο κύκλος αυτός τέμνει την

στο

2nisic

Manolis Petrakis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 11, 2021 12:06 pm
Αν και $b\geq 2$ είναι αδύνατη από Mihailescu
Αν και $a\geq 2$ είναι αδύνατη από Mihailescu

Γιατί να πιείς Mihailescu όταν υπάρχουν η εξής απλές λύσεις:

$7^{b}+1\equiv 2or8(mod16)\Rightarrow c=1or3..... easy$

$3^{a}+1\equiv 2or4(mod8)\Rightarrow c=1or2... easy$