Η αναζήτηση βρήκε 102 εγγραφές

από 2nisic
Σάβ Φεβ 20, 2021 2:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Θέμα προκριματικού Λευκορωσίας
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 275

Re: Θέμα προκριματικού Λευκορωσίας

Να βρεθεί αναγκαία και ικανή συνθήκη εστί ώστε αν η πολεμιστές ξεκινάνε από τα σημεία(0,a),(b,0)να υπάρχει σημείο τέτοιοι ώστε από το σημείο αυτό πάνω ή δεξιά να μπορούν να πάνε οι πολεμιστές (στην άσκηση προηγούμενος σημείο που έχει αυτή την ιδιότητα είναι το (16,12))
από 2nisic
Παρ Φεβ 19, 2021 11:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Θέμα προκριματικού Λευκορωσίας
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 275

Re: Θέμα προκριματικού Λευκορωσίας

Θεωρούμε μία άπειρη σκακιέρα όπου κάθε τετράγωνο έχει συντεταγμένες $(m,n)$ όπου $m,n$ μη αρνητικοί ακέραιοι. Έστω ότι υπάρχει ένα πιόνι που ονομάζεται Πολεμιστής. Αν υπάρχουν δύο Πολεμιστές πάνω στη σκακιέρα, μπορούμε να κινήσουμε τον καθένα από τη θέση που βρίσκεται έστω $(a,b)$ στη θέση $(a+i,b+...
από 2nisic
Δευ Φεβ 15, 2021 6:51 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Συνάρτηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 160

Re: Συνάρτηση

mick7 έγραψε:
Δευ Φεβ 15, 2021 5:51 pm
Βρείτε την πολυωνυμική συνάρτηση \displaystyle f(x) εάν

\displaystyle \mid f(x)\mid^2=x^4 − 8x^3 + 22x^2 − 24x + 9

( όπου \mid \mid δηλώνει απόλυτη τιμή)

Διορία 48 ώρες
|f(x)|^2=[(x-1)(x-3)]^2
από 2nisic
Δευ Φεβ 15, 2021 5:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1048

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

[ Δίνεται το σύνολο $M=\{1,2,3,...,n\}$. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του $n$ για την οποία υπάρχουν σύνολα $X,Y$ τέτοια ώστε $X\cup Y=M, \ X\cap Y=\emptyset $, και κανένα από αυτά δεν περιέχει την μέση τιμή δύο οποιονδήποτε στοιχείων του. Για την τιμή του $n$ που θα βρείτε, να προσδιορίσετε το πλήθος ...
από 2nisic
Δευ Φεβ 15, 2021 11:08 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πρώτος
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 230

Re: Πρώτος

Από το μικρό θεώρημα του Fermat έχω:

A=1^{p}+....+p^{p}\equiv 1+...+p\equiv \frac{p(p+1)}{2}(modp)

Για p=odd τότε p|A,A>p άρα A σύνθετος.

Για p=2εχουμε 1+4=5=prime Δεκτή
από 2nisic
Σάβ Φεβ 13, 2021 3:12 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Θεωρία Αριθμών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 185

Re: Θεωρία Αριθμών

Επαναφορά.

Hit: a^{min(n,x)}|n^2
από 2nisic
Σάβ Φεβ 13, 2021 3:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: 2*5^z=3^t+1
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1864

Re: 2*5^z=3^t+1

Να βρεθούν οι φυσικοί $x,y,z$ τέτοιοι ώστε: $2^{x}5^{y}=3^{z}+1$ Με $mod8$ έχουμε:$3^{z}+1\equiv 2or4(mod8)\Rightarrow x=1or2$ :santalogo: Αν $x=2$ τότε έχουμε την:$4*5^y=3^z+1$ :logo: Αν $y=0$ έχουμε την λύση $(x,y,z):(2,0,1)$ :logo: Αν $y\neq 0$ με $mod4$ έχουμε $z=odd$ αλλά με $mod5$ έχουμε$z=eve...
από 2nisic
Παρ Φεβ 12, 2021 1:14 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Δύσκολη (?)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 99

Re: Ανισότητα Δύσκολη (?)

Ωραία λύση Μανόλη!!!
Η δικιά μου στηριζόταν στην Holder:

(LHS^{k})[\sum a(a+2b)]\geq (a+b+c)^{k+1}\Leftrightarrow (LHS^{k})[(a+b+c)^{2 }]\geq (a+b+c)^{k+1}
   \Leftrightarrow LHS\geq \sqrt[k]{(a+b+c)^{k-1}}
από 2nisic
Παρ Φεβ 12, 2021 12:44 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Δύσκολη (?)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 99

Ανισότητα Δύσκολη (?)

Έστω a,b,c θετικοί πραγματική αριθμοί και k \epsilon \mathbb{N} ,k\neq 0.Να αποδειχθεί η ανησοτητας:


\sum \frac{a}{\sqrt[k]{a+2b}}\geq\sqrt[k]{(a+b+c)^{k-1}}
από 2nisic
Παρ Φεβ 12, 2021 10:52 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Συνθήκη για διαδοχικούς
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 128

Συνθήκη για διαδοχικούς

Έστω a,b,c θετικοί ακέραιοι. Να αποδειχθεί ότι οι a,b,c είναι διαδοχικοί (με κάποια σειρά) αν και μόνο αν ισχύει η ισότητα:

a^{3}+b^{3}+c^{3}=3(a+b+c+abc)
από 2nisic
Πέμ Φεβ 11, 2021 11:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εκθετική
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 231

Re: Εκθετική

Δεύτερη λύση χωρίς αφαίρεση τετράγωνον. :logo: Αν $a=0orb=0ora=1$ εύκολες περνώντας $mod8,16,8$ αντίστοιχα. :logo: Αν $b=1$($a\neq 0$)έχουμε την: $3^{a}+7=2^{c}\Leftrightarrow 9(3^{a-2}-1)=16(2^{c-4}-1)$ Όχι εύκολα αλλά όχι και δύσκολα μετά από λίγο καταλήγουμε στο: $c-4\equiv 0(mod18)\Leftrightarro...
από 2nisic
Πέμ Φεβ 11, 2021 9:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Εκθετική διοφαντική
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1307

Re: Εκθετική διοφαντική

Με mod4 έχουμε n=odd μήπως μπορεί να συνεχίσει κάποιος λύνοντας την έξωση pell:

x^2-3y^2=-11
από 2nisic
Πέμ Φεβ 11, 2021 8:31 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 218

Re: Ανισοτητα

:10sta10:
Δείτε και εδώ:viewtopic.php?f=44&t=68979
από 2nisic
Πέμ Φεβ 11, 2021 7:48 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 218

Ανισότητα

Αν a,b,c\varepsilon \mathbb{R+} και a+b+c=3 να αποδειχθεί ότι:

\sum \sqrt{a(a+1)+b+c}\geq 6
από 2nisic
Πέμ Φεβ 11, 2021 3:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Θεωρία Αριθμών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 185

Θεωρία Αριθμών

Μία άσκηση που κατασκεύασα.Η ιδέα προέρχεται από άσκηση που είδα στο :logo: .

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί a,b,c,x,n τέτοιοι ώστε
a,b,c>1, b>c και:

[a(b+c)]^n-(ab)^x=n^2
από 2nisic
Πέμ Φεβ 11, 2021 2:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εκθετική
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 231

Re: Εκθετική

•Αν $c=0$ είναι αδύνατη •Αν $c=1\Rightarrow a=b=0$ •Αν $a=0$ και $b\geq 2$ είναι αδύνατη από Mihailescu •Αν $a=0$ και $b=1$ τότε $c=3$ •Αν $b=0$ και $a\geq 2$ είναι αδύνατη από Mihailescu •Αν $b=0$ και $a=1$ τότε $c=2$ Στις υπόλοιπες περιπτώσεις από $mod3$ παίρνουμε $c=2z$ Από $mod4$ παίρνουμε $(-1...
από 2nisic
Πέμ Φεβ 11, 2021 1:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 274

Re: Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία

Άλλη κατασκευή:
Φέρνουμε τον περιγεγραμενο κύκλο του ABO(O περίκεντρο του ABC) τότε ο κύκλος αυτός τέμνει την AD στο P
από 2nisic
Πέμ Φεβ 11, 2021 12:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εκθετική
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 231

Re: Εκθετική

Manolis Petrakis έγραψε:
Πέμ Φεβ 11, 2021 12:06 pm
Αν a=0 και b\geq 2 είναι αδύνατη από Mihailescu
Αν b=0 και a\geq 2 είναι αδύνατη από Mihailescu

Γιατί να πιείς Mihailescu όταν υπάρχουν η εξής απλές λύσεις:

:logo: 7^{b}+1\equiv 2or8(mod16)\Rightarrow c=1or3..... easy

:logo: 3^{a}+1\equiv 2or4(mod8)\Rightarrow c=1or2... easy
από 2nisic
Πέμ Φεβ 11, 2021 12:36 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εκθετική
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 231

Re: Εκθετική

Σίγουρα έχεις κάπου λάθος γιατί έχεις χάση μια λύση3^2+7=2^4
από 2nisic
Πέμ Φεβ 11, 2021 10:00 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εκθετική
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 231

Εκθετική

Να βρεθούν οι φυσικοί a,b,c τέτοιοι ώστε:

3^a+7^b=2^c

Σημειώσει:Δεν έχω λύση μέχρι τώρα.
Edit1: Έχω αποδείξει ότι δεν έχει λύσεις για a\geq 3,b\geq 1 .
Edit2: Λύθηκε

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση