Έκτορας έγραψε: ↑

Παρ Απρ 12, 2024 12:25 am

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά.

Γνωρίζεται αν θα αναρτηθούν τα θέματα;

Όχι ακόμα καθώς τα περισσότερα ήταν από shortlist.

Από την ανισότητα (η οποία πράγματι ισχύει και για μη θετικούς), για και έχουμε:

Επιλέγουμε $2023$ πρώτους μεγαλύτρους του $3$ με $2p_i<p_{i+1}$ και $a_i=2^{2024-i}p_i$, για κάθε $i=1,2,...2021$,$a_{2022}=3\cdot 2^2 \cdot p_{2022},a_{2023}=3^2\cdot p_{2023}$ Τότε, πράγματι $a_i<a_{i+1}\Leftrightarrow 2^{2024-i}p_i<2^{2023-i}p_{i+1}\Leftrightarrow 2p_i<p_{i+1},$ και με τον ίδιο τ...

Το εμβαδόν $E$ τριγώνου $ABC$ με διαμέσους $m_a, m_b, m_c$ δίνεται από τον τύπο $E=\dfrac{\sqrt{m_a^4+m_b^4+m_c^4}}{3}.$ Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Η αντικατάσταση $m_a=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ κυκλικά θα δώσει μετά από πράξεις στην παραπάνω σχέση $E=\dfrac{\sqrt{a^4+b^4+c^4}}{4}$....

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\frac{16}{27} \left ( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right )^3 + \sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}} \geq \frac{5}{2}}$ Κατ' αρχάς από την ανισότητα Nesbitt: $\dfr...

Πρόβλημα 1. Στον πίνακα είναι γραμμένα δυο αθροίσματα $1+22+333+4444+55555+666666+7777777+88888888+999999999$ $9+98+987+9876+98765+987654+9876543+98765432+987654321$ Προσδιορίστε ποιο από τα δυο είναι μεγαλύτερο (ή αν είναι ίσα); ( [4 μόρια] Γκ. Α. Γκαλπερίν) Έχουμε $A=1+22+333+4444+55555+666666+77...

Πρόβλημα 1: Δίνεται μη σταθερή συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ όπου $\alpha, \beta, \gamma$ πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $m, n$, τέτοιοι ώστε $\displaystyle f(m) = f(6m-1) $ και $\displaystyle f(n) = f(3-15n)$...

Πρόβλημα 2 - Γ' Λυκείου Θέτουμε $\dfrac{1}{x}=a,-\dfrac{3}{y}=b,-\dfrac{1}{z}=c$ Άρα οι δύο σχέσεις γράφονται: $a+b+c=1$ $-ab-bc-ca=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow ab+bc+ca=\dfrac{1}{3}$ Όμως $(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=1^2-3\cdot \dfrac{1}{3}$ $\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)-3(ab+bc+ca)=0$ $\Lef...

Πρόβλημα 1 - Α' Λυκείου 1ος τρόπος Η αρχική γράφεται: $(5x^2-10x+5)+(3y^2-12y+12)+(20x^2-20xy+5y^2)=0$ $\Leftrightarrow 5(x^2-2x+1)+3(y^2-4y+4)+5(4x^2-4xy+y^2)=0$ $\Leftrightarrow 5(x-1)^2+3(y-2)^2+5(2x-y)^2=0$ Άρα πρέπει $x-1=0,y-2=0$ και $2x-y=0$ δηλαδή $(x,y)=(1,2)$. 2ος τρόπος $25x^2-(20y+10)x+8...

Πρόβλημα 1 - Γ' Λυκείου Αξιοποιώντας τη δοθείσα σχέση (για $n$ και $n-1$) έχουμε: $f(1)+f(2)+...+f(n)=2n^2$ $f(1)+f(2)+...+f(n-1)=2(n-1)^2=2n^2-4n+2$ Αφαιρούμε κατά μέλη και παίρνουμε $f(n)=4n-2$ για κάθε $n\in \mathbb{N}^*$. Άρα $f(n+1)=4(n+1)-2=4n+2$ Επομένως: $f(n)f(n+1)\leq 2300$ $\Leftrightarro...

Εδω θα βρείτε τα θέματα του διαγωνισμού Θαλή που ειδικά για τη Χίο και την Καστοριά έγινε στις 12 Νοεμβρίου 2022 λόγω τοπικής αργιας στις 11 Σύντομα ήρθε και μια διορθωση Στο 2ο θέμα τησ Β΄ Λυκείου πρέπει να γίνει η διόρθωση: ¨ το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ" να γίνει: ¨το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ" Πρόβλημα 1 -...

Πρόβλημα 1 - Γ' Λυκείου Είναι $f(x)=\dfrac{3x^2+x^4}{(1+x^2)^2}$ Προφανώς $f(x)\geq 0$ με την ισότητα να ισχύει για $x=0$. Για το μέγιστο θα δείξουμε ότι $f(x)\leq \dfrac{9}{8}$ $\Leftrightarrow \dfrac{3x^2+x^4}{(1+x^2)^2}\leq \dfrac{9}{8}$ $\Leftrightarrow 9(1+x^2)^2\geq 8(3x^2+x^4)$ $\Leftrightarr...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 - Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ Έχουμε $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4-2ab$ Επομένως $a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(4-2ab)^2-2a^2b^2=2a^2b^2-16ab+16$ Ακόμη $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=8-6ab$ Άρα $A=8(a^3+b^3)-3(a^4+b^4)=8(8-6ab)-3(2a^2b^2-16ab+16)=-6a^2b^2+16$ Όμως $0\leq ab\leq \dfrac{(a+b)^2}{4}=1$ $\Leftrightarrow 0...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 - Β' ΛΥΚΕΙΟΥ Θέτοντας $a=\sqrt{x-1}$ και $b=\sqrt{y-1}$ η αρχική σχέση γράφεται: $2a^2b^2-2a^2b-2ab^2+a^2+b^2\leq 0$ $\Leftrightarrow (a^2b^2-2a^2b+a^2)+(a^2b^2-2ab^2+b^2)\leq 0$ $\Leftrightarrow a^2(b-1)^2+(a-1)^2b^2\leq 0$ $\Leftrightarrow a(b-1)=0$ και $b(a-1)=0$ $\Leftrightarrow (a,b)...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 - Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ $f(6n+7)=6f(n)+7\ (1)$ $f(7n-1)=7f(n)-1\ (2)$ Εξισώνοντας τα πρώτα μέλη, δηλαδή για $n=8$ παίρνουμε: $f(55)=6f(8)+7$ $f(55)=7f(8)-1$ Αφαιρώντας τις 2 παραπάνω σχέσεις κατά μέλη, βρίσκουμε ότι $f(8)=8$ και με αντικατάσταση έχουμε ότι $f(55)=55\ (3)$. Για $n=55$ η $(1)$ δίνει $...

Να βρείτε τους ακέραιους $m,n$ για τους οποίους $\displaystyle{n^{n−1} = 4m^2+2m+3.}$ Καλημέρα σας κ. Θανάση! Αφού το 2ο μέλος είναι περιττός τότε και $n=2k+1$. Άρα: $(2k+1)^{2k}=4m^2+2m+3$ $\Leftrightarrow 4(2k+1)^{2k}=16m^2+8m+12$ $\Leftrightarrow [2(2k+1)^k]^2=(4m+1)^2+11$ $\Leftrightarrow [2(2k...

Κάνοντας τις πράξεις στο 1ο μέλος έχουμε: $a^2c^2+b^2d^2-a^2b^2-c^2d^2=2021$ $\Leftrightarrow (a^2-d^2)(c^2-b^2)=2021$ $\Leftrightarrow (a+d)(a-d)(c-b)(c+b)=43\cdot 47$ Αφού οι $a,b,c,d$ είναι θετικοί ακέραιοι ισχύει ότι $a+d>1,b+c>1$ και καθώς $a+d|2021$ και $b+c|2021$, πρέπει $a+d=43$ και $ b+c=47...

Είναι: $(x+y)^2=(1-z)^2$ $(y+z)^2=(1-x)^2$ $(z+x)^2=(1-y)^2$ Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: $2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx=x^2+y^2+z^2-2(x+y+z)+3$ $\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+2(x+y+z)-3=0$ $\Leftrightarrow (x+y+z)^2+2(x+y+z)-3=0$ $\Leftrightarrow x+y+z=1$ ή $x+y+z=-3$ (Π.χ. για $x=y=z=\dfr...

Καλησπέρα από το πανέμορφο Όσλο της Νορβηγίας, όπου πραγματοποιείται η 63η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα στις 6-16 Ιουλίου! Παραθέτω τα θέματα του διαγωνισμού: Πρόβλημα 1. Η τράπεζα του Όσλο εκδίδει δύο τύπους νομισμάτων: αλουμινίου (τύπου Α) και χαλκού (τύπου Β). Η Μαριάννα διαθέτει $n$ νομίσματα απ...

Για περιττό $k$ και φυσικό $i$ ισχύει ότι: $n | i^k+(n-i)^k\Rightarrow n | \sum_{i=0}^{n}( i^k+(n-i)^k)=2(1^k+2^k+...+n^k)$ και $n+1| i^k+(n-i+1)^k\Rightarrow n+1| \sum_{i=1}^{n}( i^k+(n-i+1)^k)=2(1^k+2^k+...+n^k)$. Αφού όμως οι $n,n+1$ είναι πρώτοι μεταξύ τους, ισχύει ότι: $n(n+1) | 2(1^k+2^k+...+n...