Η αναζήτηση βρήκε 137 εγγραφές

από Manolis Petrakis
Παρ Φεβ 19, 2021 6:24 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 154

Re: Ανισότητα

Αλλιώς αναλυτικά: $\dfrac{1}{x^2}+2x\geq 3$ $\Leftrightarrow 1+2x^3\geq 3x^2$ $\Leftrightarrow 2x^3-2x^2-x^2+1\geq 0$ $\Leftrightarrow 2x^2(x-1)-(x-1)(x+1)$ $\Leftrightarrow (x-1)(2x^2-x-1)\geq 0$ $\Leftrightarrow (x-1)(x^2-x+x^2-1)\geq 0$ $\Leftrightarrow (x-1)[x(x-1)+(x-1)(x+1)]\geq 0$ $\Leftright...
από Manolis Petrakis
Παρ Φεβ 19, 2021 6:18 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 154

Re: Ανισότητα

Με Α-Γ-Μ είναι:
\dfrac{1}{x^2}+2x=\dfrac{1}{x^2}+x+x\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}\cdot x \cdot x}=3
από Manolis Petrakis
Τετ Φεβ 17, 2021 5:21 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Απαιτεί απόδειξη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 151

Re: Απαιτεί απόδειξη

20210217_171259.jpg Όντως πρόκειται για αρκετά γνωστή πρόταση. Φέρνουμε την κοινή εφαπτομένη στο $A$ που τέμνει την $BC$ στο $D$ Τώρα: •$\widehat{DAB}=\widehat{ACB} \ (1)$ υπό χορδής και εφαπτομένης •$\widehat{DAP}=\widehat{DPA} \ (2)$ αφού $DP=DA$ ως ίσα εφαπτόμενα τμήματα Αφαιρώντας τις 2 σχέσεις...
από Manolis Petrakis
Σάβ Φεβ 13, 2021 7:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ρίζες πολυωνύμου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 113

Re: Ρίζες πολυωνύμου

Μία προφανής(;) ρίζα είναι το $\phi$ διότι αν $x=\phi$ τότε $P(x)=(\phi^3+\phi^2)-\phi^6+\phi^5=\phi^4-\phi^6+\phi^5=\phi^4(\phi^2-\phi-1)=0$ Τωρα με σχήμα $Horner$: $P(x)=[x^2+(1+\phi)x+\phi^2+\phi-\phi^5](x-\phi)$ Έτσι αρκεί να λύσουμε τη δευτεροβάθμια $x^2+(1+\phi)x+\phi^2+\phi-\phi^5=0\Leftright...
από Manolis Petrakis
Παρ Φεβ 12, 2021 10:57 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Το τετραγωνίζειν εστί φιλοσοφείν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 134

Re: Το τετραγωνίζειν εστί φιλοσοφείν

Κατασκευάζουμε τετράγωνο $ABCD$. Το ημικύκλιο με διάμετρο $AB$ τέμνει την $MC$ στο $O$, όπου $M$ το μέσο της $AB$. 20210212_223631.jpg Έστω $a$ η πλευρά του τετραγώνου Είναι από ΠΘ στο $MBC$: $CM=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\Rightarrow CO=CM-MO=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}-\dfrac{a}{2}=\dfrac{a}{\phi}$ Από γενικευμ...
από Manolis Petrakis
Παρ Φεβ 12, 2021 1:03 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Δύσκολη (?)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 99

Re: Ανισότητα Δύσκολη (?)

Έστω $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[k]{x}}=x^{-\frac{1}{k}}\Rightarrow f'(x)=-\dfrac{1}{k}\cdot x^{-\frac{1}{k}-1}\Rightarrow f''(x)=\dfrac{1}{k}(\dfrac{1}{k}+1)\cdot x^{-\frac{1}{k}-2}>0$ για $x>0, k\in \mathbb{N}^*$ Άρα η $f(x)$ είναι κυρτή για $x>0, k\in \mathbb{N}^*$ και τώρα από την γενίκευση του θεωρήμ...
από Manolis Petrakis
Παρ Φεβ 12, 2021 12:12 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Συνθήκη για διαδοχικούς
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 129

Re: Συνθήκη για διαδοχικούς

Αν είναι διαδοχικοί τότε $a^3+(a+1)^3+(a+2)^3=3[a+(a+1)+(a+2)+a(a+1)(a+2)]$ το οποίο μετά από τις πράξεις αποδεικνύεται πως ισχύει Αν $a^3+b^3+c^3-3abc=3(a+b+c)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=3(a+b+c)$ $\stackrel{a+b+c>0}{\Leftrightarrow} (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=6$ Η μον...
από Manolis Petrakis
Πέμ Φεβ 11, 2021 1:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εκθετική
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 231

Re: Εκθετική

•Αν $c=0$ είναι αδύνατη •Αν $c=1\Rightarrow a=b=0$ •Αν $a=0$ και $b\geq 2$ είναι αδύνατη από Mihailescu •Αν $a=0$ και $b=1$ τότε $c=3$ •Αν $b=0$ και $a\geq 2$ είναι αδύνατη από Mihailescu •Αν $b=0$ και $a=1$ τότε $c=2$ Στις υπόλοιπες περιπτώσεις από $mod3$ παίρνουμε $c=2z$ Από $mod4$ παίρνουμε $(-1)...
από Manolis Petrakis
Πέμ Φεβ 11, 2021 12:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εκθετική
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 231

Re: Εκθετική

Λάθος λύση
από Manolis Petrakis
Τετ Φεβ 10, 2021 5:31 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Εξίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 174

Re: Εξίσωση

Θέτω $x=2019+\dfrac{1}{2}+y$ τότε η αρχική εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: $(y+\dfrac{3}{2})(y+\dfrac{1}{2})(y-\dfrac{1}{2})(y-\dfrac{3}{2})=120$ $\Leftrightarrow (y^2-\dfrac{9}{4})(y^2-\dfrac{1}{4})=120$ $\Leftrightarrow y^4-\dfrac{5}{2}y^2+\dfrac{9}{16}=120$ $\Leftrightarrow 16y^4-40y^2-1911=0$ Τώρα $...
από Manolis Petrakis
Τρί Φεβ 09, 2021 11:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ανωτέρα δύναμη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 111

Re: Ανωτέρα δύναμη

Και για να βρούμε τα x,y παίρνουμε x=4-2y και αντικαθιστώντας στη δεύτερη σχέση:
(4-2y)^2+4y^2=10\Leftrightarrow 8y^2-16y+6=0
\Rightarrow y_1=\dfrac{3}{2},y_2=\dfrac{1}{2}
Έτσι αντικαθιστώντας στην πρώτη έχουμε τις λύσεις (x,y)=(1,\dfrac{3}{2}),(3,\dfrac{1}{2})
από Manolis Petrakis
Τρί Φεβ 09, 2021 6:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διαφορά γωνιών
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 240

Re: Διαφορά γωνιών

Καλησπέρα! Έστω $O$ το περίκεντρο, $H$ το ορθόκεντρο του $ABC$ Ακόμη έστω $Z,E,D$ τα ίχνη των υψών των $A,B,C$ Το $M$(μέσο της $OH$) είναι κέντρο του κύκλου $Euler \ (M\in BC)$ 20210209_182224.jpg Το ορθόκεντρο, το βαρύκεντρο, το περίκεντρο και το κέντρο του κύκλου $Euler$ ενός τριγώνου είναι συνευθ...
από Manolis Petrakis
Δευ Φεβ 08, 2021 10:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Διοφαντική εξίσωση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 2458

Re: Διοφαντική εξίσωση

2nisic έγραψε:
Δευ Φεβ 08, 2021 8:47 pm
(x^{3})^{2}<x^{6}+x^{2}+1<(x^{3}+1)^{2} για κάθε x διάφορο τού 0
Νομίζω θέλει μία μικρή διόρθωση
•Αν x>0 τότε (x^3)^2<x^6+x^2+1<(x^3+1)^2
•Αν x<0 τότε (-x^3)^2<x^6+x^2+1<(-x^3+1)^2
•Αν x=0 τότε y= \pm 1
από Manolis Petrakis
Κυρ Φεβ 07, 2021 6:01 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Θεωρία Αριθμών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 210

Re: Θεωρία Αριθμών

Είναι $100x+10y+z=x+y+z+xy+yz+zx+xyz$ $\Leftrightarrow 99x+9y=xy+yz+zx+xyz$ Αλλά $xyz\leq 81x$ το $=$ όταν $y=z=9$ $xy\leq 9x$ το $=$ όταν $y=9$ $xz\leq 9x$ το $=$ όταν $z=9$ $zy \leq 9y$ το $=$ όταν $z=9$ Προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε $99x+9y\geq xy+yz+zx+xyz$ με το $=$ όταν $y=z=9$ Άρα $\overli...
από Manolis Petrakis
Κυρ Φεβ 07, 2021 5:37 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 446

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Για το 1) Έστω $A$ ο αριθμός τότε: $A\equiv k(mod 5^4)$ και $A\equiv k(mod 5\cdot 2^3)$ με $k<40$ $\Rightarrow A\equiv k(mod 5^4\cdot 2^3)\equiv k(mod 5000)$ Έτσι ο αριθμός γράφεται $A=5000n+k$ όπου $k=0,1,...,39$ Για $n$: άρτιο $a=10000n_2+k$ άρα το ψηφίο των χιλιάδων του $A$ είναι το $0$ Για $n$: ...
από Manolis Petrakis
Κυρ Φεβ 07, 2021 5:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 446

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Για το 2)
•Αν x=y τότε 0>x,0>y\Rightarrow xy>0
•Αν x>y τότε προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε x+y<0\stackrel{x>y}{\Rightarrow} y<0
Ακόμη η πρώτη σχέση γράφεται: (x^2+y^2)(x+y)(x-y)>x
Αλλά x^2+y^2>0,x-y>0,x+y<0\Rightarrow x<0
Έτσι xy>0
•Αν y>x όμοια με παραπάνω
\Rightarrow xy>0
από Manolis Petrakis
Παρ Φεβ 05, 2021 3:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Νεότατο τμήμα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 113

Re: Νεότατο τμήμα

Καλησπέρα!
Είναι \cos \widehat{TOB}=\cos \widehat{TOS}=\dfrac{OT}{OS}=\dfrac{3}{8}\ (1)
Έτσι x^2=PO^2=OT^2+PT^2=36+TB^2
=36+OT^2+OB^2-2OT\cdot OB\cos \widehat{TOB}
\stackrel{(1)}{=} 36+36+36-2\cdot 6\cdot 6\cdot \dfrac{3}{8}=9^2
\Leftrightarrow x=9
από Manolis Petrakis
Παρ Φεβ 05, 2021 8:00 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Κατασκευή και ειδικό τρίγωνο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 197

Re: Κατασκευή και ειδικό τρίγωνο

Από τον τύπο
\cos A=2\cos^2 \dfrac{A}{2}-1=2(\dfrac{AD(AB+AC)}{2AB\cdot AC})^2-1
Με το συνημίτονο της A, τις AB,AC γνωστές το τρίγωνο κατασκευάζεται
από Manolis Petrakis
Πέμ Ιαν 28, 2021 12:35 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ταυτότητα με ριζικά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 229

Re: Ταυτότητα με ριζικά

Αφού όλοι οι παράγοντες είναι θετικοί οι $a,b,c$ πληρούν τις προϋποθέσεις της τριγωνικής ανισότητας. Θεωρούμε λοιπόν τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $a,b,c$ και ομοίως $ABD$ με πλευρές $c,d,e$ όπως φαίνεται στο σχήμα. Από νόμο συνημιτόνων στα $ABC,ABD:$ $\dfrac{b^2+c^2-a^2}{bc}=2\cos\widehat{ CAB}$ $\dfrac...
από Manolis Petrakis
Κυρ Ιαν 24, 2021 10:42 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τα εντελώς απαραίτητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 132

Re: Τα εντελώς απαραίτητα

Χωρίς αρμονικότητα
Με Ceva στο ABC είναι \dfrac{2}{7}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AE}{EC}\cdot\dfrac{BZ}{ZA} \ (1)
Με Μενέλαο στο ABC με διατέμνουσα EZS παίρνουμε \dfrac{x}{9+x}=\dfrac{BS}{SC}=\dfrac{AE}{EC}\cdot\dfrac{BZ}{ZA} \ (2)
Από τις (1),(2) είναι x=\dfrac{18}{5}

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση