Έστω $E$ ένα συνεκτικό σύνολο, αν $f(E)$ είναι επίσης συνεκτικό για κάθε $E$ είναι η $f$ συνεχής ? Ισχύει αυτό ? υπάρχει κάποιος περιορισμός που να μας την κάνει συνεχή ? η υπάρχει κάποιο αντιπαράδειγμα ? Η ερώτηση δεν είναι δίκια μου την έκανε ένας συμφοιτητής μου στο σημερινό μάθημα και τη βρήκα ε...

καλησπέρα, πρόσφατα ''έπεσα'' πάνω σε ένα αρκετά ενδιαφέρον εισαγωγικό βιβλίο τοπολογίας, "ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ" από τον Paul alexandroff. (Σημειώνω ότι ακόμα δεν έχω κάνει το αντίστοιχο μάθημα τοπολογίας στο πανεπιστήμιο που είμαι, όμως ήταν αρκετό για να με ενθουσιάσει.) Μου φάνηκε ...

Άσκηση για σένα: Δείξε ότι δεν υπάρχει ομοιομορφισμός μεταξύ του συνεκτικού συνόλου $[0,1]$ και της περιφέρειας κύκλου ακτίνας $1$, που είναι επίσης συνεκτικό. δεν είναι πιο απλό να πάρω το $(0,1)$ γιατί αυτό είναι ανοιχτό ενώ το το ${1}$ κλειστό και άρα η αντίστροφη θα πηγαίνει το κλειστό σε ανοιχ...

Ακριβώς. Η απόδειξη δεν είναι εύκολη όμως. Η απόδειξη που ξέρω χρησιμοποιεί ομάδες ομολογίας(homology theory). δεν γνωρίζω σε τι ακριβώς αναφαίρεστε αλλά μου ακούγεται σαν τομέας της άλγεβρας , με μια απλή αναζήτηση βρήκα οτί σχετίζεται κάπως με την αλγεβρική τοπολογία , που ούτε και αυτό ξέρω τι ε...

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Τετ Νοέμ 11, 2020 5:37 pm

Μάλλον μπερδεύεις το ικανό με το αναγκαίο των θεωρημάτων. Θα πρέπει να τα ξεκαθαρίσεις αυτά.

αυτό ακριβώς ρωτάω αν είναι ικανό και αναγκαίο δηλαδή να η συνεκτικότητα επεται τον ομοιομορφισμό, επειδή ισχυέι η συνεκτικότητα ρωτάω είναι και ομοιμορφισμός ?

αρα θα μπορούσαμε να πούμε οτι τα και για και δεν είνα ομοιομορφικά

Το με το κλπ είναι ομοιομορφικά όμως έτσι? γιατί αν αφαιρέσεις ένα σημείο εξακολουθούν να είναι συνεκτικά , η κάνω λάθος?

αλλάζει κάτι αν τα ιδεώδη είναι πρώτα ? (ασκ 2)

α κατάλαβα ωραία απλά ολοκληρώνουμε την ανισότητα μια απορία μόνο γιατι το ολοκλήρωμα της νόρμας ισούτε με αυτο $x\left \| f-g \right \|$ θεωρούμε το $\left \| f-g \right \|$ σταθερό ως προς $t$ ? επειδή η νόρμα νόμιζα είναι μεταβλητή δηλαδή $\left \| f(t)-g(t) \right \|$ απλά επειδή το sup είναι στ...

ευχαριστώ για την απάντηση ,
η νόρμα είναι το sup αρα θα είναι πάντα μεγαλύτερο απο το απόλυτο ετσι? δηλαδή αυτό το γνώριζα και πρίν αλλά πως θα το συνδέσω με το στο οποιο εχω καταλήξει?

Καλησπέρα , θα μπορούσε κάποιος να μου δώσει μια βοήθεια στην παρακάτω άσκηση. Έστω $T:(C[0,a],\left \| \cdot \right \|) \rightarrow (C[0,a],\left \| \cdot \right \|)$ με $T(f(x))=1+\int_{0}^{x}f(t)dt ,\: 0<a<1$ να δείξετε οτι $T$ είναι συστολή και συνεχής. Έχω μερικές ερωτήσεις: (1) τι ακριβώς είνα...

Εδώ αξίζει να προσθέσουμε ότι τα ταυτόχρονα ανοιχτά και κλειστά σύνολα(clopen στα αγγλικά) σχετίζονται άμεσα με την συνεκτικότητα του χώρου $X$. Μια πρόταση στην τοπολογία(αν σε μπερδεύει η τοπολογία πάρε μετρικούς χώρους) λέει ότι ο χώρος $X$ είναι συνεκτικός αν και μόνο αν τα υποσύνολα του που εί...

Σε έναν μετρικό χώρο $(X,d)$ o $X$ είναι πάντα ανοικτός (γιατι;) διότι για κάθε $x_{0}\epsilon X$ $B(x_{0},\varepsilon )=\left \{ {\color{Red} x\varepsilon X}:d(x_{0},x)<\varepsilon \right \}$ και αυτό λέει ότι για κάθε στοιχείο του $Χ$ η ανοιχτή μπάλα αυτού του στοιχείου δεν ''βγαίνει'' ποτέ έξω απ...

Το βιβλίο που έχω για το μάθημα είναι το εξής "Πραγματική Ανάλυση" των: Μιχάλη Ανούσης, Αντώνης Τσολομήτης, Βαγγέλης Φελουζής. Για τα κλειστά- ανοιχτά αναφέρει τα εξής στις σελίδες 37-38 1)Σε κάθε μετρικό χώρο ισχύουν τα παρακατω(37 σελίδα ) Το κενό και το $X$ είναι ανοιχτά σύνολα Αποδείξελη: Άμεση ...

Φαίνεται να νομίζεις ότι, εν γένει, ένα σύνολο είναι ή κλειστό ή ανοιχτό. Δεν αληθεύει. μπορείτε να εξηγήσετε τι εννοείτε ? ο $X$ δηλαδή μπορεί να μην είναι τίποτα από τα δυο ? Το ερώτημά μου είναι ΠΑΡΑ ΠΟΛΥ ΑΠΛΟ (τετριμμένο) δυστυχώς δεν βλέπω κάποια τετριμμένη απάντηση. πνίγεσαι σε μισή κουταλιά ...

Τώρα που το ξανασκέφτηκα λίγο ..., το κενό είναι εξ ορισμού ανοιχτό, το συμπλήρωμα του (το κενό έξω το κενο ) είναι πάλι το κενό σύνολο και αφού το συμπλήρωμα είναι ανοιχτό τότε το κενό είναι κλειστό. Εν γένη ο $X$ θα είναι η κλειστό η ανοιχτό σύνολο, αν είναι κλειστό τότε το συμπλήρωμα ( $\displays...

Το σκέφτηκα αλλά μετά μου ήρθε στο μυαλό αυτό το παράδειγμα ([0,1],d) και δεν μπορούσα να δείξω ότι είναι και κλειστό και ανοιχτο. (Εκτός και αν το κενό σύνολο είναι και αυτό κλειστό και ανοιχτο το ίδιο, γιατί στις σημειώσεις μου αναφέρεται εξ ορισμού ως ανοιχτό )

Ζήτω συγγνώμη για την σύνταξη, έχω δυσλεξία και παραπλήσιες μαθησιακές δυσκολίες και όταν γράφω βιαστικά πολλά δεν βγάζουν νόημα. Αυτη την στιγμή δεν μου έρχονται apriori τέτοια σύνολα η όσα μου έρχονται μοιάζουν πολύ στην διακριτή μετρική πχ ($\displaystyle{d(x,y)= \begin{cases} 3 & \text{ if } x\n...

ευχαριστώ για την απάντηση, έχετε δίκαιο απλός θέλω να σιγουρεύω τα αποτελέσματα μου στα βασικά κομμάτια για να μπορώ να συνεχίζω στα δυσκολότερα(όπως καταλαβαινετε δεν υπάρχει δια ζωσης παράδοση και δεν μπορώ να ρωτάω τους καθηγητές μου,για αυτό πολλές φόρες ρωτάω εδώ ακόμα και αυτά τα άπλα,κατανοώ...

ερώτηση : αυτό σημαίνει ότι το σύνορο του Α είναι το κενό?