Η αναζήτηση βρήκε 128 εγγραφές

από Καραδήμας
Παρ Σεπ 24, 2010 7:05 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 843

Re: Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Αυτές οι δουλειές σε μετρικούς χώρους γίνονται εύκολα με τη συνάρτηση του Urysohn f(x)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}.
από Καραδήμας
Κυρ Ιουν 06, 2010 5:53 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Προκριματικός Μαθηματικού για τον IMC
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1540

Re: Προκριματικός Μαθηματικού για τον IMC

Μήπως θέλει λίγο περισσότερη προσοχή αυτό το πέμπτο? Λείπει πρώτα-πρώτα ένα διπλό μπροστά από το ολοκλήρωμα, αλλιώς δεν πάνε στη $x^2$. Τότε, για το άνω φράγμα πρέπει μάλλον να χρησιμοποιηθεί το ότι από την $f_2$ και μετά είναι αύξουσες οι συναρτήσεις, από την $f_3$ και μετά είναι και κυρτές (από εκ...
από Καραδήμας
Παρ Ιουν 04, 2010 12:19 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία συνεχών συναρτήσεων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 382

Re: Ακολουθία συνεχών συναρτήσεων

Θα βάλουμε F_{n,m}=\{ x\in {\mathbb R}:f_n(x)=f_m(x)\} για n\neq m. Αυτά τώρα είναι κλειστά και από την υπόθεση έχουν ένωση το {\mathbb R}. Μετά θα εφαρμόσουμε το Baire: κάποιο F_{n,m} περιέχει διάστημα.
από Καραδήμας
Τετ Ιαν 27, 2010 8:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ανισότητα και ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 387

Re: Ανισότητα και ολοκλήρωμα

Μπορείς να υποθέσεις ότι η g^2=h είναι συνεχής. Πάρε την \displaystyle{G(t)=\left (\int_0^tg(x)\,dx\right )^2-2\int_0^txg^2(x)\,dx} και παραγώγισέ την. Είναι G^{\prime }\geq 0 - θα βγεί το \displaystyle{\int_0^tg(x)\,dx-tg(t)}- και G(0)=0. Μετά πάρε το t\to\infty.
από Καραδήμας
Σάβ Ιαν 23, 2010 9:44 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Παραγωγίσιμη συνάρτηση
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 638

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Όταν το πρωτοείδα το πρόβλημα, δεν μπόρεσα να φτιάξω το δεύτερο ερώτημα. Να το ξαναδούμε. Πάντως θα χρειαστεί ίσως και το πρώτο, ότι δηλαδή οι ρίζες της f είναι πεπερασμένες.

Στάθης
από Καραδήμας
Σάβ Ιαν 23, 2010 12:06 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Παραγωγίσιμη συνάρτηση
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 638

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Η f(x)=x^3-x δεν έχει κοινές ρίζες με την f^{\prime }(x)=3x^2-1 στο [-1000,1000]. Όμως η g(x)=f(x)-f^{\prime }(x)=x^3-3x^2-x+1 δεν διατηρεί πρόσημο: g(0)=1 και g(2)=-5.
από Καραδήμας
Τετ Ιαν 20, 2010 11:52 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Γνήσια αύξουσα με προκαθορισμένο σύνολο μηδενισμού της παραγ
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 391

Γνήσια αύξουσα με προκαθορισμένο σύνολο μηδενισμού της παραγ

Δίνεται κλειστό σύνολο F\subseteq {\mathbb R} που δεν έχει εσωτερικά σημεία. Να δειχτεί ότι υπάρχει γνήσια αύξουσα συνάρτηση f:{\mathbb R}\to {\mathbb R} με συνεχή παράγωγο, τέτοια που f^{\prime }(x)=0 αν και μόνο αν x\in F.
από Καραδήμας
Τετ Ιαν 20, 2010 11:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Διαφορετικές πλευρικές παράγωγοι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 411

Διαφορετικές πλευρικές παράγωγοι

Δίνεται f:{\mathbb R}\to {\mathbb R}. Αν A είναι το σύνολο των x\in {\mathbb R} για τα οποία οι πλευρικές παράγωγοι f_+^{\prime }(x) και f_-^{\prime }(x) υπάρχουν και είναι διαφορετικές (f_+^{\prime }(x)\neq f_-^{\prime }(x)) να δειχτεί ότι το A είναι αριθμήσιμο.
από Καραδήμας
Τετ Ιαν 20, 2010 10:29 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Δύσκολη σε απείρως παραγωγίσιμη
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1897

Re: Δύσκολη σε απείρως παραγωγίσιμη

Μια πιο δυσκολη άσκηση που μου ήρθε στο μυαλό όταν είδα την εκφώνηση είναι η ακόλουθη. Έστω $f:R\to R$ άπειρες φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση. Υποθέτουμε ότι για κάθε $x\in R$ υπάρχει $n=n(x)\in N$ ώστε $f^{(n)}(x)=0$. Δείξτε ότι η f είναι πολυώνυμο. Με αφορμή διπλανή συζήτηση από εδώ . Ισχύει και το...
από Καραδήμας
Τετ Ιαν 20, 2010 8:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 738

Re: άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

Στο R εντάξει, στο σύνολο των μιγαδικών; Φαντάζομαι ότι τότε ο τύπος είναι για z=0 f(0)=0 και ειδάλλως f(z)=e^(-1/z^2) Για $t\in {\mathbb R}$ με $t\to 0^+$ έχεις $f(it)=e^{\frac{1}{t^2}}\to +\infty$. Σημ.: Ναι, είναι ωραίο θέμα αυτό με το πολυώνυμο, υπάρχουν και παραλλαγές του. Με πιο ασθενείς υποθ...
από Καραδήμας
Τετ Ιαν 20, 2010 5:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 738

Re: άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

Με απλή επαγωγή δείχνεις ότι για $x>0$ ισχύει $f^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x^2}$ με το $P_n$ πολυώνυμο (βαθμού $3n$ ή κάτι τέτοιο). Μετά χρησιμοποιείς το $\lim\limits_{t\to +\infty }\frac{tP_n(t)}{e^{t^2}}=0$ και την αλλαγή μεταβλητής $t=\frac{1}{x}$ για να δεις ότι $f^{(n+1)}(0)=0$. Για $x<0$ είναι φα...
από Καραδήμας
Τετ Ιαν 20, 2010 10:02 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Υποσύνολο του Ν
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 435

Re: Υποσύνολο του Ν

Μάλλον δεν είδε την ερώτηση ο Αχιλλέας, να συμπληρώσω τη λεπτομέρεια: αν $(na_k,nb_k)\cap S=\emptyset$ για κάθε $n>n_k$ τότε $S\cap\bigcup_{n=n_k+1}^{\infty }(na_k,nb_k)=\emptyset$. Όμως το $\bigcup_{n=n_k+1}^{\infty }(na_k,nb_k)$ περιέχει ημιευθεία $(t,+\infty )$ (από κάποιο $n$ και πέρα είναι $(n+...
από Καραδήμας
Τετ Ιαν 20, 2010 9:27 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Υπεραριθμησιμότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 339

Re: Υπεραριθμησιμότητα

Αν $L$ είναι το σύνολο των $x\in {\mathbb R}$ για τα οποία το $(-\infty ,x)\cap A$ είναι αριθμήσιμο, τότε ή το $L$ είναι κενό ή είναι ημιευθεία $(-\infty ,t]$ (δεν μπορεί να είναι ολόκληρη η ευθεία, θα ήταν αριθμήσιμο το $A$). To $\sup L$ είναι μέσα στο $L$: παίρνει κανείς μια γνήσια αύξουσα $x_n\to...
από Καραδήμας
Τετ Ιαν 20, 2010 12:32 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1341

Re: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Δε νομίζω, για παράδειγμα αυτό δεν ισχύει για την f(x)=x. Η Wirtinger έχει επιπλέον υπόθεση ότι η f μηδενίζεται και στα δύο άκρα.
από Καραδήμας
Τετ Ιαν 20, 2010 12:15 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1341

Re: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Παίρνουμε αριθμήσιμα το πλήθος διαφορετικά στοιχεία $A_n\,$ της σ-άλγεβρας. Εξετάζοντας τα $A_1\cup A_2 \cup ... \cup A_n\,$ μπορούμε να υποθέσουμε ότι $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset ...$. Αυτό δεν είναι τόσο απλό, μπορεί το $A_{n+1}$ να περιέχεται στο $A_1\cup\cdots\cup A_n$. Έτσι κάποια από...
από Καραδήμας
Τετ Ιαν 20, 2010 12:06 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1341

Re: AΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Είναι πιο απλή: $\displaystyle{|f(x)|=|f(x)-f(0)|=\left |\int_0^xf^{\prime }(t)\,dt\right |\leq \sqrt{x}\left (\int_0^x|f^{\prime }(t)|^2dt\right )^{1/2}}$ και μετά $\displaystyle{\int_0^R|f(x)|^2dx\leq\int_0^Rx\int_0^x|f^{\prime }(t)|^2dt\,dx\leq \int_0^R|f^{\prime }(t)|^2dt\cdot \int_0^Rx\,dx=\fra...
από Καραδήμας
Δευ Ιαν 18, 2010 10:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Παντού τοπικό μέγιστο - Αριθμήσιμη εικόνα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 387

Re: Παντού τοπικό μέγιστο - Αριθμήσιμη εικόνα

1. Για σταθερό $\delta >0$ βάλε $A_{\delta }=\{ x\in {\mathbb R}:\forall y\in (x-\delta ,x+\delta ), \;f(y)\leq f(x)\}$. Τότε ${\mathbb R}=\bigcup_{n=1}^{\infty }A_{1/n}$. Τώρα, αν $x\in A_{\delta }$ δείχνεις ότι η $f$ είναι σταθερή στο $(x-\delta ,x+\delta )\cap A_{\delta }$ γιατί αν $|y-x|<\delta$...
από Καραδήμας
Δευ Ιαν 18, 2010 8:19 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μετρική
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 390

Re: Μετρική

Χρησιμοποιούνται, τις είδα σε κάποιες πρόσφατες εργασίες. Ας αφήσουμε λίγο να δούμε αν υπάρχει καμιά ιδέα για την τριγωνική και εδώ είμαστε. Αν μη τι άλλο, είναι εμφανίσιμες.
από Καραδήμας
Δευ Ιαν 18, 2010 8:00 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μετρική
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 390

Re: Μετρική

Άλλη μια μετρική. Να δειχτεί ότι, για κάθε $1\leq p<2$, η συνάρτηση $\displaystyle{d\big ( (x,y,z), (t,u,v)\big )=\left [ \big ( (t-x)^2+(u-y)^2\big )^2+(v-z+2xu-2yt)^2\right ]^{1/4}}$$\displaystyle{\cdot\left\{ \cos\left [\frac{p}{2}\arccos\left (\frac{(t-x)^2+(u-y)^2}{\left [((t-x)^2+(u-y)^2)^2+(v...
από Καραδήμας
Δευ Ιαν 18, 2010 5:39 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Απο το διακριτο στο συνεχες
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 270

Re: Απο το διακριτο στο συνεχες

Για $k=0,1,\ldots ,n-1$ ολοκλήρωση κατά μέρη δίνει $\displaystyle{\int_k^{k+1}(t-k)f^{\prime }(t)\,dt=(t-k)f(t)\mid_k^{k+1}-\int_k^{k+1}f(t)\,dt=f(k+1)-\int_k^{k+1}f(t)\,dt.}$ Μετά προσθέτουμε τις ισότητες. Γενικότερα, αν η $f$ έχει συνεχή παράγωγο τάξης $(k+1)$ στο $[a,b]$ για κάποιους $a,b\in {\ma...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση