Συγχαρητήρια στα παιδιά! Γνωρίζουμε που κυμάνθηκαν οι βάσεις στους μεγάλους;

$\forall x \epsilon \mathbb{R}: sinx \leq 1 \Leftrightarrow 4sinx \leq 4$ Από την άλλη: $4x^{2}-4x+5=(2x-1)^{2}+4 \geq 4$, ισότητα για $x=\frac{1}{2}$ Λόγω της δεδομένης ισότητας η μόνη πιθανή πραγματική λύση είναι η $x=\frac{1}{2}$, στην οποία περίπτωση θα έχουμε $4sinx=4 \Leftrightarrow sinx=1$. Ό...

Σταμάτη , για το πρόβλημα της Α' , η απάντηση είναι μεν σωστή , όμως λύθηκε με ύλη της Β' . Επιδιώκουμε λύση με ύλη της Α' , αλλιώς δεν θα είχε λόγο ύπαρξης το πρώτο ερώτημα ... Έχετε δίκιο. Η αλήθεια είναι ότι βιάστηκα να απαντήσω και παρεξήγησα το νόημα της άσκησης. Βέβαια, το Θ. Μενελάου δεν κατ...

Καλημέρα σας Το Θ. Μενελάου στο $\Delta ABC$, με διατέμνουσα MNS δίνει: $\frac{MC}{MB}\cdot\frac{SB}{SA}\cdot\frac{NA}{NC}=1 (1)$ $A$’ Τάξη: $MC=MB \overset{(1)}{\Rightarrow} \frac{SB}{SA}\cdot\frac{NA}{NC}=1 \Rightarrow \frac{NA}{NC}=\frac{SA}{SB} \Rightarrow \frac{NA}{NC}=\frac{1}{2} \Rightarrow N...

$\sin^{2}{x}+\tan^{2}{x}=\frac{15}{4} \Leftrightarrow \frac{tan^{2}{x}}{1+\tan^{2}{x}}+\tan^{2}{x}=\frac{15}{4} (1) $ Αν θέσουμε $\tan^{2}{x}=t$, με $t \epsilon \mathbb{R}^{+}$, τότε η $(1)$ γίνεται: $\frac{t}{t+1}+t=\frac{15}{4} \Leftrightarrow 4t^{2}-7t-15=0$ Η παραπάνω έχει ρίζες $3, -\frac{5}{4}...

Χρησιμοποιώντας την γνωστή , έχουμε:
Συνεπώς:
Η ισότητα όταν

Θεωρώ $A, B, C, D, E$ τις κορυφές της κλειστής πολυγωνικής γραμμής (με τη φορά του ρολογιού και ξεκινώντας από την κορυφή πάνω αριστερά). Έστω $F$ η τέταρτη κορυφή του ορθογωνίου παραλληλόγραμμου CDEF. Είναι: $CF=DE=3 \Rightarrow FB=8$ και $FE=CB=4$. Στο ορθογώνιο $\Delta FEB$ το Π.Θ. δίνει: $EB=\sq...

Χρόνια πολλά! Για το δεύτερο ερώτημα, έστω στο πρώτο σχήμα η διχοτόμος της $\angle ASB$, η οποία τέμνει τον κύκλο σε σημείο $B’$. Το τμήμα $SB’$ (έστω μήκους $x$) ταυτίζεται με το τμήμα που θελουμε να υπολογίσουμε (δηλαδή το προηγούμενο $B$ παραμένει $B$ και το “καινούριο” $B$ είναι $B’$) Προφανώς θ...

Έστω $\vec{BC}=\vec{a}, \vec{AC}=\vec{b}, \vec{AB}=\vec{c}$ Α. α) Είναι: $\vec{c} \cdot \vec{b} = \mid \vec{c} \mid \mid \vec{b} \mid \cos{A} = (-1,-5)(6, -9) \Rightarrow \sqrt{26} \times 3\sqrt{13}\cos{A} = -6 + 45 \Rightarrow \cos{A} = \sqrt{2}/2 \Rightarrow \angle{A} = \frac{\pi}{4}$ β) $\vec{a} ...

Για τη μια φορά της ισοδυναμίας μόνο Έστω $a=BC, b=CA, c=AB, AD=d, m=BD, n=CD$ Θα δείξουμε ότι αν η $d$ είναι διχοτόμος, τότε ισχύει: $d^{2}=(c+m)(b-n)$ Είναι: $RHS=bc-nc+mb-mn$ Όμως, από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου, λαμβάνουμε: $\frac{b}{n}=\frac{c}{m} \Leftrightarrow mb=nc$ Άρα, αρκεί ν.δ.ο. :...

Καλησπέρα, Μια λύση για το 2 Αρκεί ν.δ.ο. $\angle A_{1}AC_{1} + \angle AC_{1}B_{1}=90^{\circ}$ Είναι: $\angle AC_{1}B_{1}=\angle B_{1}BC=\frac{\angle B}{2} (1) \angle BAC_{1}= \angle BCC_{1} = \frac{\angle C}{2} (2) \angle A_{1}AB \equiv \angle IAB = \frac{\angle A}{2} (3)$ Με πρόσθεση των (1), (2),...

Μια λύση για το N3 Στην περίπτωση που $x=0$ είναι $ -y^{4}=-y^{3}p \overset{y\neq0 }{\Rightarrow} p=y$ Ομοίως, αν $y=0: p=x$ Έστω τώρα ότι $x>0, y>0$ Τότε, η εξίσωση γίνεται: $(x+y)(x^{2}+y^{2})=(x^{2}+xy+y^{2})p$ Έστω $d=(x, y)$. Τότε είναι $x=ad, y=bd$, με $(a, b)=1$ $(1)$ Έτσι, με αντικατάσταση τ...

Στο ορθογώνιο $\Delta ABD$ είναι: $\frac{AD}{AB} = \cosBAD = cos60^{\circ} =\frac{1}{2} \Rightarrow AD=\frac{AB}{2}=3,5$ Επομένως: $CD=AC-AD=8-3,5=4,5$ Τώρα, αν φέρουμε την AE, στο ορθογώνιο $\Delta ACE$ έχουμε: $DE^{2}=AD \times CD = 3,5 \times 4,5 = 15.75$ Έτσι, με Π.Θ. στο $\Delta CDE$ : $CE=\sqr...

Καταρχάς, αφού η MN είναι διάμεσος του ABCD είναι: $MN\parallel AB, CD$ και $MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{3a}{2}$ Στο $\Delta BCD$ η NT είναι παράλληλη στη CD και διέρχεται από το μέσο N της BC. Επομένως, το Τ είναι μέσο της BD και $NT\parallel =\frac{CD}{2}=a$ Άρα $NT\parallel =AB$, δηλαδή το ABNT είνα...

Φέρουμε τη BS. Από την ομοιότητα των AST, ASB έχουμε ABS=φ. Προσοχή. Τα (ορθογώνια) τρίγωνα $AST, ASB$ είναι όμοια επειδή οι γωνίες $\angle AST, \, \angle SBT$ είναι ίσες και όχι ανάποδα, όπως γράφεις. Ο λόγος της ισότητας των δύο γωνιών είναι επειδή και οι δύο είναι συμπληρωματικές της $A$. (Δεν ξ...

Φέρουμε τη BS. Από την ομοιότητα των AST, ASB έχουμε ABS=φ. Όμως, από Χορδής-Εφαπτομένης (χορδή AS) είναι ABS=θ και το ζητούμενο έπεται. (Δεν ξέρω Latex)

.