Η αναζήτηση βρήκε 49 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Τρί Μαρ 23, 2021 1:39 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
- Απαντήσεις: 41
- Προβολές: 12870
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Πρόβλημα 2(Μεγάλων) $A=\binom{4n}{2n}\frac{(2n)!}{n!}$ , όπου $\frac{(2n)!}{n!}=(n+1)*(n+2)....*2n$ Εύκολα προκύπτει λοιπόν ότι ο αριθμός $A$ είναι ακέραιος Ισχύει ότι: $\frac{(2n)!}{n!}=2(2n-1)\frac{[2(n-1)]!}{(n-1)!}$ Όμοια $\frac{[2(n-1)]!}{(n-1)!}=2(2n-3)\frac{[2(n-2)!]}{(n-2)!}$ Έτσι προκύπτει ...
- Πέμ Μαρ 11, 2021 12:11 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Αρχιμήδης 2020
- Απαντήσεις: 44
- Προβολές: 11905
Re: Αρχιμήδης 2020
Πρόβλημα 1(Μεγάλων) Έστω $degP(x)=n\geq 1$ και $degQ(x)=m\geq 1$ Θέτω $S(x)=P(Q^{3}(x))$ και $R(x)=xP(x)Q^{3}(x)$ Αφού $S(x)=R(x)$ τότε και οι βαθμοί:$3mn$ και $n+1+3m$ των πολυώνυμων $S$ και $R$ αντίστοιχα είναι ίσοι $3mn=n+1+3m \Rightarrow 3m=\frac{n+1}{n-1}$ με $n\neq 1$ Αν $n$ περιττός τότε $n+1...
- Τετ Νοέμ 25, 2020 11:43 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
- Απαντήσεις: 41
- Προβολές: 12870
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Θέματα μεγάλων 3)Θέτοντας στην αρχική σχέση (1)$x=y=0$ προκύπτει ότι $g(0)=f(-3f(0))$ Αν $x=0$ τότε $f(-3f(y))=-yf(0)+g(0)$(2) Αν $y=0$ τότε $f(x-3f(0))=xf(0)+g(x)$ Έστω $k=3f(0)$ Οποτε $f(x-k)=xf(0)+g(x)$(3) Θέτω στην αρχική $x=y$: $f(x-3f(x))=g(x)$(4) Έστω $h(x)=f(-3f(x))=-xf(0)+g(0)$ για κάθε πρ...
- Παρ Οκτ 02, 2020 2:41 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΙΜΟ 2020
- Απαντήσεις: 20
- Προβολές: 3956
Re: ΙΜΟ 2020
Πολλά,παρά πολλά,συγχαρητήρια στην ελληνική αποστολή!Παρά τις ιδιαιτερότητες της φετινής χρονιάς και της μεγάλης δυσκολίας των θεμάτων(πολλή συνδυαστική έπεσε,έλεος),τα πήγατε περίφημα.Μπράβο παιδιά,και εις ανώτερα!
- Πέμ Ιούλ 02, 2020 6:36 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)
- Απαντήσεις: 16
- Προβολές: 4986
Re: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)
2)I)Θέτω $y=x^{n}$ και $I=\int_{0}^{1}\(\frac{k}{\sqrt[n]{x}+k-1})^{n}dx$ $dy=(\sqrt[n]{x}){}'dx$ ή $dx=\frac{ndy }{y^{1-n}}$ $x=1\rightarrow y=1 /x=0\rightarrow y=0$ Οποτε $I=\int_{0}^{1}(\frac{k}{y+k-1})^{n}\frac{ndy}{y^{1-n}}dy$ ή $I=nk^{n}\int_{0}^{1}(\frac{y}{y+k-1})^{n-1}\frac{dy}{y+k-1}$ Θέτω...
- Τετ Ιουν 17, 2020 11:26 pm
- Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
- Θέμα: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020
- Απαντήσεις: 75
- Προβολές: 20445
Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020
Καλησπέρα, διαβάζω ότι πρέπει να γράψω σε Latex, δεν έχω μάθει ακόμα τι είναι αλλά θα το προσπαθήσω. Μπορεί να βοηθήσει κάποιος στην παρακάτω ερώτηση για το Γ4 στα νέα θέματα; Ποιο είναι το λάθος αν θεωρήσω το $M(a,y)$ και $B(x_b , 0)$ άρα $M(a(t),y(t))$ επομένως $y(t)=\frac{1}{1-a(t)}=>y^\prime(t)...
- Τετ Ιουν 17, 2020 2:45 pm
- Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
- Θέμα: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020
- Απαντήσεις: 75
- Προβολές: 20445
Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020
Ωραία τα φετινά θέματα και κλιμακούμενης δυσκολίας Το θέμα Α απλό(θεωρία) Θέμα Β βατό απλά είχε πολλές πράξεις και εύκολα μπορούσε κάποιος να μπερδευτεί Ήταν όντως ίδιο με το θέμα Β του 2017(με εξαίρεση το Β4) Το Θέμα Γ είχε κι αυτό πολλές πράξεις αλλά μέχρι το Γ3 τα υπο ερωτήματα έβγαιναν εύκολα Γ4...
- Κυρ Ιαν 12, 2020 11:43 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 2240
Re: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
Έστω $P(x)=a(x-r_{1})^{k_{1}}(x-r_{2})^{k_{2}}...(x-r_{s})^{k_{s}}$ ,$degP(x)=n$ Τοτε $P(P(x))=a(P(x)-r_{1})^{k_{1}}(P(x)-r_{2})^{k_{2}}...(P(x)-r_{s})^{k_{s}}$ Έστω ακόμη πολυωνυμο $Q$ με $degQ(x)=m$ τέτοιο ώστε: $P(P(x))=(b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0})^{2}\Rightarrow a_{n}P^{n}(x)+a_{...
- Σάβ Ιαν 04, 2020 9:14 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 2240
Re: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
Αφού γράψεις το $P(x)$ ως $a(x-r_{1})^{k_{1}}(x-r_{2})^{k_{2}}...(x-r_{s})^{k_{s}}$,όπου τα $k_{i}$ δηλώνουν τις πολλαπλότητες των (μιγαδικών) ριζών,η εξίσωση γίνεται $a(P(x)-r_{1})^{k_{1}}(P(x)-r_{2})^{k_{2}}...(P(x)-r_{s})^{k_{s}}=Q(x)^2$. Υπόθεσε προς άτοπο πως υπάρχει $k_{j}$ με $k_{j} \equiv 1...
- Σάβ Ιαν 04, 2020 6:35 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 2240
Re: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
Μπορεί κάποιος να δώσει μια υπόδειξη για αυτήν την άσκηση;Την προσπαθώ μερες...
- Πέμ Νοέμ 28, 2019 12:06 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Μέγιστο παράστασης
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1086
Re: Μέγιστο παράστασης
Από ανισότητα $Holder$: $S\leq (ab+bc+ca)^{\frac{1}{3}}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{\frac{2}{3}}$ ή $S\leq \sqrt[3]{(ab+bc+ca)(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}+\sqrt{b+a})^{2}}$(1) Έστω $A=(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+a}+\sqrt{a+b})^{2}$ τοτε $A=2(a+b+c)+2\sqrt{(a+c)(b+a)}+2\sqrt{(a+c)(b+c)}+2\sqrt{(b+c)(c+a)}$ ...
- Τετ Νοέμ 27, 2019 11:24 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Μέγιστο παράστασης
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1086
Re: Μέγιστο παράστασης
Από ανισότητα :
ή
(1)
Έστω
τοτε
Από ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου:
ή
(1)
Έστω
τοτε
Από ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου:
- Τρί Νοέμ 19, 2019 11:18 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Πολλαπλάσιο του 7
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 932
Re: Πολλαπλάσιο του 7
Έστω $A=abc(a^{3}-b^{3})(b^{3}-c^{3})(c^{3}-a^{3})$ Αν κάποιος από τους a,b,c διαιρείται με το $7$ τοτε προφανώς $7|A$ Αν όμως ισχύει ότι $(a,7)=1$ και $(b,7)=1$ και $(c,7)=1$ τοτε από μικρό θεώρημα του $Fermat$ προκύπτει ότι $a^{6}\equiv 1(mod7)\Rightarrow a^{3}\equiv \pm 1(mod7)$ $b^{6}\equiv 1(mo...
- Παρ Σεπ 06, 2019 12:25 am
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: IMC 2018/2/4
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 1121
Re: IMC 2018/2/4
Έστω δυο πολυωνυμα $P,Q\in \mathbb{C}$ Αν τα πολυώνυμα αυτά είναι μονικά τέτοια ώστε $P*Q|P^{2}+Q^{2}+1$ τοτε $degP=degQ$(1) Απόδειξη: Εστω ότι υπάρχουν ζεύγη πολυωνυμων $(P_{i },Q_{i })$ με $degP_{i }\neq degQ_{i }$(2) Υποθέτουμε ότι υπάρχει ζεύγος τέτοιων πολυωνυμων $(P,Q)$ με $degP+degQ<degP_{i }...
- Πέμ Αύγ 29, 2019 10:00 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Μοναδική λύση
- Απαντήσεις: 23
- Προβολές: 3001
Re: Μοναδική λύση
$x^{2}-4x+7-ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=0$ Για να έχει η εξίσωση μοναδική ρίζα πρέπει: $D=0\Rightarrow -12+4ln(\frac{ax}{x^{2}+4})=0\Rightarrow ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=3\Rightarrow e^{3}=\frac{ax }{x^{2}+4} \Rightarrow e^{3}x^{2}-ax +4e^{3}=0$(1) Πρέπει $D_{1}=0\Rightarrow a^{2}-16e^{6}=0\Rightarrow a=...
- Πέμ Αύγ 29, 2019 12:46 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Μοναδική λύση
- Απαντήσεις: 23
- Προβολές: 3001
Re: Μοναδική λύση
$x^{2}-4x+7-ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=0$ Για να έχει η εξίσωση μοναδική ρίζα πρέπει: $D=0\Rightarrow -12+4ln(\frac{ax}{x^{2}+4})=0\Rightarrow ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=3\Rightarrow e^{3}=\frac{ax }{x^{2}+4} \Rightarrow e^{3}x^{2}-ax +4e^{3}=0$(1) Πρέπει $D_{1}=0\Rightarrow a^{2}-16e^{6}=0\Rightarrow a=\...
- Τρί Αύγ 27, 2019 12:03 am
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Διαιρετότητα
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1553
Re: Διαιρετότητα
Θα δείξουμε ότι οι μοναδικές τιμές που μπορεί να πάρει το $m$ είναι $m=0$ ή $m=1$ ή $m=2$ $(2^{2m+1})^{2}+1=(2^{2m+1}+2^{m+1}+1)(2^{2m+1}-2^{m+1}+1)$ Οι δυο αυτοί παράγοντες είναι περιττοί και η διαφορά τους είναι $2^{m+2}$ Οποτε είναι μεταξύ τους πρώτοι Ισχύει ακόμη ότι $(2^{2m+1})^{2}=4^{2m+1}\equ...
- Πέμ Ιούλ 18, 2019 3:38 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: IMO 2019
- Απαντήσεις: 43
- Προβολές: 11538
Re: IMO 2019
Αν $x=0$ από την συναρτησιακη είναι: $f(f(0))=3f(0)$(1) Αν $y=0$ τοτε $f(2x)+2f(0)=f(f(x))$(2) Αν $x=0$ $f(0)=f(f(y))-2f(y)$ Με αλλαγή μεταβλητής η παραπάνω σχεση γίνεται $f(0)=f(f(x))-2f(x)$(3) Θέτοντας στην σχεση (3) όπου $f(x)=z$ προκύπτει ότι $f(0)=f(z)-2z$ Οποτε $f(x)=2x+f(0)$,για κάθε ακέραιο ...
- Δευ Ιούλ 01, 2019 1:46 pm
- Δ. Συζήτηση: Εξετάσεις Προτύπων και Πειραματικών Σχολείων
- Θέμα: Εξετάσεις πρότυπα γυμνάσια 2019
- Απαντήσεις: 44
- Προβολές: 14445
Re: Εξετάσεις πρότυπα γυμνάσια 2019
petrosqw, σκέψου και αυτό, τα παιδιά που τερμάτισαν με μισό πόντο διαφορά και δεν μπήκαν αν έμπαιναν δεν θα έμπαιναν με την αξία τους; ή και τα άλλα που είναι μερικούς πόντους πιο χαμηλά; ή ακόμα και εκείνα που κουράστηκαν ή μπλοκάρισαν ενώ είχαν τα φόντα ας πούμε; Είναι μεγάλη συζήτηση αυτή… Στη σ...
- Τετ Ιουν 26, 2019 7:01 pm
- Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
- Θέμα: Κορυφές τετραγώνου
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1562
Re: Κορυφές τετραγώνου
Καλημέρα Γιώργο, καλημέρα “christinat” - Χριστίνα (;). Η άσκηση είναι σχεδόν το Δ θέμα από τις φετινές προαγωγικές του σχολείου μου - δεν ζητούσαμε την εύρεση της ευθείας που χωρίζει το τετράγωνο σε ισοδύναμα σχήματα. Το πιο δύσκολο ερώτημα ήταν ο προσδιορισμός των δύο άλλων κορυφών του τετραγώνου....