Η αναζήτηση βρήκε 102 εγγραφές

από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δευ Ιαν 20, 2020 7:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4203

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Αν και κάπως αργοπορημένα, εύχομαι καλά αποτελέσματα σε όλους όσους έδωσαν! Η λύση μου (κάπως πιο βελτιωμένη βέβαια) στο 4o προόβλημα της Β Λυκείου. Έστω $E'$ το αντιδιαμμετρικό του $B$ στον $c(O,R)$. Αρκεί να δείξω ότι $E'\equiv E$, δηλαδή ότι $\Delta E'=D\Gamma$. Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγων...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Ιαν 12, 2020 12:03 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μεγάλες κατασκευές 30
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 87

Re: Μεγάλες κατασκευές 30

Καλησπέρα! Κατασκευάζω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $KMC$. Το ζητούμενο σημείο $A$ θα ανήκει στον περίκυκλο του $KMC$. Ο κύκλος με διάμετρο $BC$ τέμνει τον $(K,M,C)$ στο $K$, έτσι για να ισχύει $AM<a/2$ πρέπει το $A$ να κινείται στο εσωτερικο του $(M,MC)$, δηλαδή στο τόξο $\overset{\frown }{KC}$ ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Ιαν 05, 2020 1:46 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Συντομία , όχι ταχύτητα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 341

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Με πρόλαβε ο κ.Στάθης! το αφήνω για τον κόπο... Φέρω το ύψος $AD$. Θα είναι $(ABC)=\dfrac{BC\cdot AD}{2}=126\Leftrightarrow BC=\dfrac{252}{AD}(1)$ Απο 2ο θεώρημα διαμέσων έχω $AC^{2}-AB^{2}=2\cdot BC\cdot DM\Leftrightarrow 400-169=2\cdot BC\cdot DM\overset{(1)}{\Leftrightarrow} 231=2\cdot \dfrac{252...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Ιαν 01, 2020 12:04 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Έγκεντρο και βαρύκεντρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 130

Re: Έγκεντρο και βαρύκεντρο

Καλή σας χρονιά κ.Γιώργο! Φέρω την διχοτόμο $AD$. Με θ.διχοτόμου στο τρίγωνο $ABD$ έχω $BD=\dfrac{ac}{b+c}=\dfrac{ac}{2a}=\dfrac{c}{2}=\dfrac{BH}{2}$, δηλαδή η $AD$ είναι διάμεσος στο τρίγωνο $ABH$ Επειδή τώρα στο ισοσκελές τρίγωνο $ABH$ η $BI$ είναι και διάμεσος ,το $I$ θα είναι βαρύκεντρο στο τρίγ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Ιαν 01, 2020 12:08 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσα τμήματα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 216

Ίσα τμήματα

198.PNG
198.PNG (23.18 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές
Καλή χρονιά σε όλους!
Έστω τρίγωνο ABC με b+c=2a. Αν I το έκκεντρο του ABC και M το μέσο του τόξου \overset{\frown }{BC} που δεν περιέχει το A να δείξετε ότι AI=BM.
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Δεκ 29, 2019 3:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Νέο ισόπλευρο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 102

Re: Νέο ισόπλευρο

Γεια σας και καλές γιορτές! Είναι $\widehat{ADH}=\widehat{ABH}=\widehat{ACE}$. Τώρα είναι $\widehat{HDC}=\widehat{HDA}+\widehat{ADC}=\widehat{ACE}+\widehat{ACB}=90^{\circ}\Rightarrow EC\parallel HD\Rightarrow \widehat{BHD}=\widehat{BEC}=\widehat{BAC}=60^{\circ}$ οπότε το τρίγωνο $BHD$ είναι ισόπλευρο.
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Δεκ 14, 2019 5:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κυκλικός παρα-λογισμός
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 155

Re: Κυκλικός παρα-λογισμός

Γεία σας! Δουλεύω στο σχήμα του κ.Γιώργου. Έστω $\widehat{PAS}=\widehat{\omega }$ Είναι $\widehat{PAT}=\widehat{ABT}\overset{\overset{\Delta }{APS}=\overset{\Delta }{BPS}}{=}\widehat{QBS}=\widehat{SAQ}=\widehat{\omega }$ Τώρα είναι $\widehat{APQ}=2\cdot \widehat{\omega }=\widehat{PAQ}$, δηλαδή το τρ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Πέμ Δεκ 12, 2019 6:25 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εντυπωσιακές ισότητες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 203

Re: Εντυπωσιακές ισότητες

Χαιρετώ! Μία ακόμη για το β) Φέρνω την κοινή χορδή $AB$, με $AB\perp OK$. Έστω $L\equiv AT\cap BD$. Επείδη $\widehat{ALB}=\widehat{LBT}+\widehat{T}=\widehat{DAT}+\widehat{T}=90^{\circ}$ και $AD\perp PT$, το $D$ είναι ορθόκεντρο στο τρίγωνο $ABT$, άρα και $TD\perp AB$. Ακόμη $\widehat{POD}=2\widehat{...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Νοέμ 09, 2019 1:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 52
Προβολές: 5841

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

Θέμα 3 Β' Λυκείου Η λύση μου: Έστω $E'$ το συμμετρικό του $E$ ως προ το $Z$. Είναι $H,Z$ μέσα των $AE,EE'$, άρα $HZ\parallel AE'$. Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι $AE\perp AB$. Είναι $A\Gamma =\dfrac{BE}{2}$, δηλαδή το τρίγωνο $ABE'$ είναι ορθογώνιο, άρα $E'A\perp AB$, και το ζητούμενο δείχθηκε. Για την γ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Νοέμ 03, 2019 11:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τετράγωνο και εφαπτομένη
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 244

Re: Τετράγωνο και εφαπτομένη

Έστω $CS=x$ Είναι $DP^{2}=a\left ( a+x \right )\Leftrightarrow DP=\sqrt{a\left ( a+x \right )}\,\,(1)$ και $BP^{2}=a\cdot BN\,\,(2)$. Ακόμη $\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{a}{x}$ και $BN+NC=a$, απο τις οποίες προκύπτει $BN=\dfrac{a^{2}}{x+a}\,\,(3)$ Τώρα είναι: $(2)\overset{(1),\left ( 3 \right )}{\Leftright...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Νοέμ 03, 2019 4:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισότητα γωνιών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 178

Re: Ισότητα γωνιών

Έστω $K\equiv BE\cap AD$ και $N\equiv EC\cap AD$. Φέρω $AL\perp BC$ και $KL\parallel EC$. Είναι $\widehat{BAL}=\widehat{BKL}=\widehat{BEC}$ , οπότε $ABL\approx EKN$ και άρα $\widehat{ABL}=\widehat{KNE}$, δηλαδή το τετράπλευρο $ABCN$ είναι εγγράψιμο, άρα $\widehat{BAD}=\widehat{ECD}$. Ισότητα γωνιών....
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Νοέμ 03, 2019 12:26 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ισότητα ανομοίων
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 218

Re: Ισότητα ανομοίων

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Νοέμ 02, 2019 10:10 pm
...(Στην θαμάσια λύση του Θεοδόση υπάρχει μικρό τυπογραφικό σφάλμα στο τελευταίο βήμα. Κατά τα άλλα οι απαντήσεις είναι ίδιες).
Ευχαριστώ για την παρατήρηση κ.Μιχάλη, το διόρθωσα.
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Νοέμ 02, 2019 8:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ισότητα ανομοίων
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 218

Re: Ισότητα ανομοίων

Καλησπέρα. Με θ.διχοτόμου έχω $\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow4BE=3EC\Leftrightarrow 4BM-4EM=3BM+3EM\Leftrightarrow BM=7EM\Leftrightarrow BC=..14EM\,\,(1)$ Με θ.διαμέσου παίρνω $AC^{2}-AB^{2}=2BC\cdot DM\Leftrightarrow 28=4BC\cdot ME\overset{(1)}{\Leftrightarrow} 14=2BC\cdot \dfrac{BC}{14...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Νοέμ 01, 2019 10:32 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Τετράγωνο-45.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 166

Re: Τετράγωνο-45.

Καλησπέρα!
Έστω K\equiv EH\cap A\Gamma. Είναι \widehat{HEB}=\widehat{HAO}=45^{\circ}. Ακόμη \widehat{EKO}=\widehat{AEK}+\widehat{EAO}=\widehat{AZH}+\widehat{EZO} =2\vartheta +\vartheta =3\vartheta. Άρα στο τρίγωνο OKE είναι 3\vartheta =45^{\circ}\Leftrightarrow \vartheta =15^{\circ}
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Οκτ 27, 2019 10:07 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Τετράπλευρο-17.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 309

Re: Τετράπλευρο-17.

Καλησπέρα! Έστω $O\equiv AC\cap MD$. Φέρω $CT\perp AD$. H $TO$ είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου $ATC$, οπότε προκύπτει $OTC$ ισόπλευρο. Είναι $TO=TC$ και $MO=MC$ άρα η $MT$ είναι μεσοκάθετος του $OC$. Απο το εγγράψιμο τετράπλευρο $MCTD$ έχουμε $\widehat{MCD}=\widehat{MTD}\Leftrightarrow 45^{\c...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Οκτ 26, 2019 11:28 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Τρίγωνο-123.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 266

Re: Τρίγωνο-123.

Καλό βράδυ. Φαίνεται έγραφα παράλληλα με τον Ορέστη. Έστω $L\equiv AD\cap BC$ και $T\equiv BD\cap AC$. Έχουμε $\widehat{DBL}=\widehat{DCL}=40^{\circ}$, άρα το $D$ ανήκει στην μεσοκάθετο του $BC$. Το τρίγωνο $DCT$ είναι ισοσκελές, οπότε $TC=b$. Τα τρίγωνα $BCE$ και $ABT$ έχουν $BC=AB,\widehat{A}=\wid...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Οκτ 19, 2019 10:49 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: ΦυσικοΜαθηματική
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 843

Re: ΦυσικοΜαθηματική

Παναγιώτη και Ratio, καλή προσπάθεια! Μερικές παρατηρήσεις: Παναγιώτη εδώ λες Για το πρώτο χρησιμοποιώ ομοιότητα. Για το δεύτερο θεώρησα σύστημα συντεταγμένων και αφού πρέπει τα σημεία να είναι συνευθειακά πρέπει η ορίζουσα των διανυσμάτων να κάνει μηδέν. Άρα βρίσκω $u_{b}=\frac{3}{7}t$ με το χρόνο ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Οκτ 18, 2019 8:52 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: ΦυσικοΜαθηματική
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 843

Re: ΦυσικοΜαθηματική

Ratio, ευχαριστώ για την ενασχόληση σου με την άσκηση. Ενδιαφέρουσα η προσέγγιση με διανύσματα :) Υπάρχουν ωστόσο, πέρα απο κάποια τυπογραφικά μερικά ... προβληματάκια. Για παράδειγμα, οι θέσεις $A(t-2,1), B(t,0), C(t+k,-6) $ δεν ευσταθούν παρα για $t=0$ στην οποία ο πρώτος όρος της τετμημένης κάθε ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Οκτ 18, 2019 5:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: ΦυσικοΜαθηματική
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 843

Re: ΦυσικοΜαθηματική

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Πέμ Οκτ 17, 2019 6:04 am
Καλημέρα σας. Επειδή δεν ξέρω πώς να κάνω σχήμα, θα πω ότι βρίσκω: α)u_{C}=12m/sec .
Παναγιώτη σωστά!
Μπορείς να μας αναλύσεις την σκέψη σου; Επίσης εάν θέλεις ρίξε μία ματιά και στο β) όπου βρίσκεται και η ουσία της άσκησης. :)
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Οκτ 16, 2019 10:37 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: ΦυσικοΜαθηματική
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 843

Re: ΦυσικοΜαθηματική

Ratio έγραψε:
Τετ Οκτ 16, 2019 10:28 pm
Μία μικρή "ένσταση" για το σχήμα. Καλύτερα να στραφεί οριζόντια γιατί έτσι το A κάνει επιβραδυνόμενη κίνηση λόγω g
Συγγνώμη δεν το διευκρίνησα :? . Πρόκειται για την κάτοψη του συστήματος.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση