Η αναζήτηση βρήκε 138 εγγραφές

από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Ιούλ 24, 2020 7:42 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διέλευση από το μέσο 2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 150

Re: Διέλευση από το μέσο 2

Καλησπέρα,

Έστω N\equiv AT\cap DE. Απο το πλήρες τετράπλευρο ADSE.BC, η δέσμη F(A,N,S,T) είναι αρμονική. Eπειδή η TL είναι παράλληλη στην ακτίνα FS της αρμονικής δέσμης, θα διχοτομείται απο τις υπόλοιπες ακτίνες (γνωστή πρόταση), δηλαδή MT=ML.
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Ιούλ 24, 2020 1:09 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Συνευθειακά λόγω σχέσεων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 157

Re: Συνευθειακά λόγω σχέσεων

Καλό βράδυ! Για να είναι τα σημεία $B,H,N$ συνευθειακά, πρέπει και αρκεί να ισχύει ότι : $\dfrac{\sin\widehat{NBA}}{\sin\widehat{CBN}}=\dfrac{\sin\widehat{HBE}}{\sin\widehat{CBH}}$. Είναι: $\dfrac{(NEA)}{(BAC)}=\dfrac{b-a}{b+a}\Leftrightarrow \dfrac{AE\cdot AN}{cb}=\dfrac{b-a}{b+a}\Leftrightarrow \d...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Πέμ Ιούλ 23, 2020 9:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διέλευση από το μέσο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 162

Re: Διέλευση από το μέσο

Καλησπέρα, Απο γνωστή πρόταση, τα σημεία $A,S,M$ συνευθειακά, . Έστω $P\equiv ASM\cap DE$. Με θ.Μενελάου στο τρίγωνο $PKM$, διατέμνουσας $ATN$ είναι: $\dfrac{NK}{NM}\cdot \dfrac{AM}{AP}\cdot \dfrac{TP}{TK}=1\Leftrightarrow \dfrac{NK}{NM}=\dfrac{AP}{AM}\cdot \dfrac{TK}{TP}=\dfrac{DE}{BC}\cdot \dfrac{...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Πέμ Ιούλ 23, 2020 7:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2020
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1343

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2020

Βγήκαν τα αποτελέσματα!

Συγχαρητήρια στους επιτυχόντες, αλλά και σε όσους συμμετείχαν! :)
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τρί Ιούλ 21, 2020 11:31 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λόγος για γωνία
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 307

Re: Λόγος για γωνία

Καλημέρα, Φέρνω τα ύψη $AD$ και $CE$. Είναι $\sin\widehat{B}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{CE}{a}\Leftrightarrow CE=c$. Aπο την ομοιότητα των τριγώνων $CBE$ και $ABD$ έχω $\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{a}{c}\overset{ED\parallel AM }{\Leftarrow \!\Rightarrow } \dfrac{c}{a/2}=\dfrac{a}{c}\Leftrightarrow a=\sqrt{2}c$ Εί...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δευ Ιούλ 20, 2020 11:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λόγος για γωνία
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 307

Re: Λόγος για γωνία

Καλό βράδυ σε όλους! Βρίσκω, όχι με πολλές πράξεις ότι $sinB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Συνεπώς (αν το βλέπω καλά) πρέπει Θεοδόση να προσέξουμε..μην μας ξεφύγει η ''ευρύχωρη'' :) ... Φιλικά, Γιώργος. Οταν κολλήσει το μυαλό, η λύση βγάζει πόδια :lol: Μια αισθητά συντομότερη: Φαίρνω το ύψος $AD$. Είναι $\...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δευ Ιούλ 20, 2020 10:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λόγος για γωνία
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 307

Re: Λόγος για γωνία

Καλησπέρα κ.Γιώργο :) Λίγο μακροσκελής... Θέτω $\widehat{BAM}=\omega$ και $\widehat{MAC}=\vartheta$ Απο τον ν.ημιτόνων στο τρίγωνο $ABC$ έχω: $\dfrac{\sin\widehat{A}}{a}=\dfrac{\sin\widehat{C}}{c}=\dfrac{\sin\widehat{B}}{b}\Leftrightarrow \sin \widehat{A}=\dfrac{c}{b},\,\,\sin\widehat{C}=\dfrac{c^{2...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δευ Ιούλ 20, 2020 11:59 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 392

Re: Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

Καλημέρα, δεν εχω δει το θέμα οπότε πιθανό να επαναλαμβάνω την λύση: Θέτω $\widehat{OAN}=\vartheta$ και $K\equiv AB\cap OM$ Απο το ισοσκελές τρίγωνο $OAM$, έχω : $6\vartheta +45^{\circ}=180^{\circ}\Leftrightarrow 2\vartheta =45^{\circ}\Leftrightarrow 3\vartheta =45^{\circ}+\vartheta$, δηλαδή το τρίγ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Ιούλ 19, 2020 12:24 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Αύρα γεωμετρίας 1
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 377

Re: Αύρα γεωμετρίας 1

Καλημέρα, Με γενικευμένο θ.διχοτόμου στο τρίγωνο $ABC$ παίρνω: $\dfrac{\sin2\vartheta }{\cos2\vartheta }\cdot \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{12}{3}\Leftrightarrow \tan2\vartheta \cdot \tan(\vartheta +45^{\circ})=4\Leftrightarrow \dfrac{2\tan\vartheta }{1-\tan^{2}\vartheta }\cdot \dfrac{\tan\vartheta +1}{1-\t...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τρί Ιούλ 14, 2020 7:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Απρόοπτη ισότητα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 608

Re: Απρόοπτη ισότητα

Καλησπέρα, Με θ. μενελάου στο τρίγωνο $APC$, διατέμνουσας $SNT$ έχω: $\dfrac{TC}{TA}\cdot \dfrac{NP}{NC}\cdot \dfrac{SA}{SP}=1\Leftrightarrow \dfrac{TC}{TA}\cdot \dfrac{SA}{SP}=1\,\,(1)$ Με θ. μενελάου στο τρίγωνο $ABQ$ διατέμνουσας $TMS$ έχω: $\dfrac{SB}{SA}\cdot \dfrac{TA}{TQ}\cdot \dfrac{MQ}{MB}=...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Ιούλ 05, 2020 7:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 748

Re: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

Καλησπέρα! Λίγο βιαστικά... Θέτω $G$ το βαρύκεντρο του $ABC$, και $u_1,u_2,u_3$ τα ύψη των τριγώνων $BKL, GKL, GAC$. Είναι $KL\parallel AC$. Έχω τις σχέσεις: $\bullet \,\, \dfrac{(GAC)}{(KGL)}=\left (\dfrac{GA}{GK} \right )^{2}\Leftrightarrow (GAC)=16\cdot (KGL)\,\,(1)$ $\bullet \,\,\dfrac{(GKL)}{(L...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιουν 20, 2020 1:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα και ισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 512

Re: Καθετότητα και ισότητα

Καλό μεσημέρι, Όμορφη άσκηση :) Για το β) Απο το γενικευμένο θ.διχοτόμου, στο τρίγωνο $ABC$ έχω: $\dfrac{\sin \widehat{BAM}\cdot AB}{\sin \widehat{MAC}\cdot AC}=\dfrac{MB}{MC}\Leftrightarrow \dfrac{\sin \widehat{BAM}}{\cos BAM}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \tan \widehat{BAM}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \wide...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Ιουν 17, 2020 2:57 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Κλασματική ανίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 582

Re: Κλασματική ανίσωση

Καλό μεσημέρι. Αρχικά πρέπει $x^{2}\neq 1,\, x^2<1\Leftrightarrow-1< x<1\,\,(1)$. $\dfrac{1}{1-x^{2}}>\dfrac{3x}{\sqrt{1-x^{2}}}-1\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\sqrt{1-x^{2}}>3x\,(2)$. Η (2) ισχύει για κάθε $1<x\leq 0$. Για $0<x<1$, θέτω $1-x^{2}=a^{2}\,(3)$ Η $(2)$ τώρα γίνεται: $a+\dfr...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Ιουν 14, 2020 1:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη διχοτόμος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 488

Re: Μέγιστη διχοτόμος

Γεια σας κ.Γιώργο :) Για την κατασκευή του $C$: Θα είναι $\omega =\widehat{ABC}=\dfrac{\widehat{AOC}}{2}=\dfrac{\widehat{ADC}}{2}$. Όμως $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^{\circ}\Leftrightarrow 3\omega= 180^{\circ}\Leftrightarrow \omega =60^{\circ}$. Έτσι λοιπόν $C\equiv (O,R)\cap (B,BO)$. Απο το $O$...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Μάιος 23, 2020 7:20 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα επι κύκλου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 481

Re: Καθετότητα επι κύκλου

Κύριε Νίκο ευχαριστώ για την λύση σας :) Γράφω την δική μου σκέψη: Έστω $G$ και $F$ οι τομές της $SN$ με τον $(C).$ Το $N$ είναι εσωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των $(O)$ και $(C)$, έτσι τα $T$ και $F$ θα είναι αντιδιαμετρικά (ως εικόνες των $S'$ και $S$ αντίστοιχα) κι επομένως $\widehat{FGT}=90^{\circ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Μάιος 20, 2020 4:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα επι κύκλου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 481

Καθετότητα επι κύκλου

Με αφορμή την άσκηση του κ.Νίκου εδώ . Καθετότητα επι κύκλου.png Έστω oι κύκλοι $(O)$ και $(C)$, με διαμέτρους $AC=3k$ και $BD=2k$ αντίστοιχα. Θέτω $E$ την μία τομή των κύκλων και $S\equiv DE\cap(O)$. Απο το $S$ φέρω την εφαπτόμενη $ST$ του $(C)$. Aν $S'$ είναι το αντιδιαμετρικό του $S$ και $N\equiv...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Μάιος 20, 2020 1:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Διπλή Επαφή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 558

Re: Διπλή Επαφή

Καλό μεσημέρι i) Είναι $\widehat{SAC}=\widehat{CED}=\widehat{CDE}$, έτσι το τρίγωνο $SAD$ είναι ισοσκελές και η $SB$ είναι διάμεσος, άρα και ύψος, δηλαδή $SB\perp AD$. Τώρα απο τα εφαπτόμενα τμήματα $SB$ και $ST$ προκύπτει $ \widehat{CST}=\widehat{CBT}\overset{BT\parallel AS}{=\!=\!=} \widehat{CAS} ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Μάιος 01, 2020 1:34 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ο Ρενέ αμφιβάλλει..
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 357

Re: Ο Ρενέ αμφιβάλλει..

Καλό μήνα σε όλους! Έστω $A$ το σύνολο των ανθρώπων της πόλης και $B,C$ τα σύνολα αυτών που έχουν και δεν έχουν ανοσία αντίστοιχα. Έχουμε: $N(B)=\dfrac{2}{100}\cdot N(A)$, $N(C)=\dfrac{98}{100}\cdot N(a)$ Το τεστ έδειξε πως ο Ρενέ έχει ανοσία, οπότε θα ανήκει είτε στο $90$% αυτών που αληθώς έχουν αν...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Πέμ Απρ 09, 2020 2:03 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Βρείτε την υποτείνουσα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 573

Re: Βρείτε την υποτείνουσα

Καλό μεσημέρι! Έστω $L$ το μέσο του $AC$ και $D\equiv AC\cap NE$. i) Στο ισοσκελές τρίγωνο $ABL$ έχουμε $AD$ διχοτόμος, άρα και ύψος και διάμεσος, απο όπου προκύπτει ότι το τετράπλευρο $ABNL$ είναι χαρταετός και η $\widehat{BNL}$ διχοτομείται απο την $AN$. Άμεσα έπεται ότι $AB=AE$. ii) Το τετράπλευρ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Απρ 08, 2020 6:08 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ρίζες σε γινόμενα.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 422

Re: Ρίζες σε γινόμενα.

Γεια σας,
Μάλλον μπερδεύει το γεγονός ότι δεν υπάρχει παρένθεση, κι έτσι θα μπορούσε κάποιος να πει εσφαλμένα \displaystyle 9\sqrt 3  \div 3\sqrt 3=\dfrac{\displaystyle 9\sqrt 3}{ 3\sqrt 3}=3.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση