Η αναζήτηση βρήκε 69 εγγραφές

από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τρί Ιούλ 16, 2019 12:15 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μία εφαπτομένη ( Β ΛΥΚΕΙΟΥ )
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 148

Re: Μία εφαπτομένη ( Β ΛΥΚΕΙΟΥ )

Μία εφαπτομένη.pngΠροεκτείνοντας το σκέλος $AC$ , ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ , κατά τμήμα $CS=\dfrac{AC}{2}$ , προκύπτει το ορθογώνιο τρίγωνο $ABS$ . Υπολογίστε την : $\tan\hat{C}$ , μέχρι και τις $ 17/7 $ . Καλημέρα! Φέρω το ύψος στην $BC$ του ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ που τέμνει την ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δευ Ιούλ 15, 2019 9:14 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Οι δύο γωνίες τριγώνου
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 221

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

Καλησπέρα! Απο το $B$ φέρω $BL\perp AH \,\,\, \kappa \alpha \iota \,\,\,BK\perp AC$ που τέμνονται στο $H$, ενώ $P\equiv BL\cap AC$. Τώρα έχουμε τις γωνίες $\widehat{KBA}=45^{\circ}\,\,,\,\widehat{LBK}=30^{\circ}\,\,\left ( ABLK\,\, \epsilon \gamma \gamma\rho \alpha \right\psi \iota \mu o )\,\,\,\kap...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιούλ 13, 2019 12:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 236

Re: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη

Χαίρετε. Αλέξανδρε,Θεοδόση,Στάθη,Μιχάλη,Γιώργο και Γιάννη σας ευχαριστώ για τις ωραίες και ποικίλες λύσεις σας! Ας δούμε και μια γενίκευση του θέματος. Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με $\widehat{A}=90^{0}$ είναι $tanB=x$ , η $BM$ διάμεσος και $P \in BC$ ώστε $PC=yBP$. Να εκφραστεί το $y$ , ως συνάρτη...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Ιούλ 12, 2019 11:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 190

Re: Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων.

Χαίρετε! Το τετράπλευρο $OKEB$ είναι εγγράψιμο, οπότε $\widehat{OKE}=\widehat{OBK}=\widehat{A\Delta B}=\widehat{OA\Delta }$. Στο ισοσκελές τρίγωνο $OE\Gamma$ έχουμε $\widehat{KEO}=\widehat{K\Gamma O}\Leftrightarrow \widehat{KE\Gamma }=\widehat{K\Gamma E}\Leftrightarrow KE=K\Gamma$.Το τετράπλευρο $AM...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Ιούλ 12, 2019 2:00 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 236

Re: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη

Γειά σας ! Θέτω $AB=x$ , οπότε $AM=MC=2x$ και έστω $T$ η τομή των $AP$ και $MB$. Με θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο $BMC$ με διατέμνουσα την $\overline{ATP}$ , έχω $\dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{AC}{AM}\cdot \dfrac{TM}{TB}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}\cdot 2\cdot \dfrac{TM}{TB}=1\Leftrightarrow \dfrac{TM...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Ιούλ 10, 2019 8:30 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ζητούνται δύο λόγοι
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 208

Re: Ζητούνται δύο λόγοι

Καλησπέρα! α) Έστω $L$ και $P$ τα σημεία τομής της $DB$ με τις $EA$ και $CN$ αντίστοιχα. Έχουμε $ED=BN=a$ και $EC=AN=b$, με $\dfrac{a}{b}=\phi$ Φέρω το τμήμα $EB\parallel DF$ και την διαγώνιο $BD$, οπότε έχουμε $\left ( EDB \right )=\left ( EFB \right )\Leftrightarrow \left ( EDL \right )=\left ( LF...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιούλ 06, 2019 9:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γλυκιά καθετότητα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 545

Re: Γλυκιά καθετότητα

Και μία ακόμα!
Έστω K και L τα μέσα των AD και AB, θα έχω KL=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{AC}{2}=LM. Ακόμη AK=AM, οπότε στο ισοσκελές τρίγωνο KLM θα είναι LA διάμεσος, άρα και ύψος.

Γλυκιά καθετότητα 2.PNG
Γλυκιά καθετότητα 2.PNG (21.67 KiB) Προβλήθηκε 464 φορές
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιούλ 06, 2019 8:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γλυκιά καθετότητα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 545

Re: Γλυκιά καθετότητα

Καλησπέρα!
Στο τρίγωνο BDC έχουμε BM διάμεσος και AD=2AM, άρα A βαρύκεντρο. Φέρω την διάμεσο CN και έχω AN=2AC=BD, δηλαδή το τρίγωνο ABD είναι ορθογώνιο με την \widehat{A} ορθή, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Γλυκιά καθετότητα.PNG
Γλυκιά καθετότητα.PNG (18.39 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιούλ 06, 2019 3:10 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Από ισοσκελές σε ισοσκελές
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 262

Re: Από ισοσκελές σε ισοσκελές

Γειά σας! Φέρω την διαγώνιο $BD$ του ρόμβου οπότε έχω $\widehat{BDM}=\widehat{DBM}=\omega$ και $\widehat{MBP}=\widehat{MDP}=\widehat{DNM}=\vartheta$.Το τετράπλευρο $MPNB$ είναι εγγράψιμο, οπότε θα έχω $\widehat{PMN}=\widehat{PBN}$. Τώρα στα τρίγωνα $MNC$ και $PBC$ έχουμε $\widehat{CMN}=\widehat{PBN}...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τρί Ιούλ 02, 2019 9:18 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Δύο δίνονται , δύο ζητούνται
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 264

Re: Δύο δίνονται , δύο ζητούνται

Καλησπέρα και καλόν Ιούλιο . Έχει και η παρούσα την καταγωγή της. Δίνονται δύο και δύο ζητούνται.PNG Στο κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ είναι $\widehat{A}=84^{0}...\widehat{B}=150^{0}$ και $AB=BC=1...AD=\sqrt{3-\Phi }$ , όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός . Να υπολογιστούν τα μέτρα των $\widehat{C}$ και $\wide...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δευ Ιούλ 01, 2019 12:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Η ωραία εφαπτομένη
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 212

Re: Η ωραία εφαπτομένη

Θεωρώ $T$ την ορθή προβολή του $B$ στην $AM$ και $E$ , $Z$ τις τομές της $BD$ με τις $AM,AN$ αντίστοιχα. Το τετράπλευρο $AECZ$ είναι ορθογώνιο άρα $\widehat{CEA}=90^{\circ}$. Τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα $BTE$ και $AEC$ είναι ίσα, οπότε $BT=TE=AT/2$ άρα $\tan \vartheta =\dfrac{BT}{AT}=\dfrac{1}...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιουν 29, 2019 12:06 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Γωνία σε αμβλυγώνιο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 238

Re: Γωνία σε αμβλυγώνιο

Γειά σας ! Είναι $\widehat{C}=180^{\circ}-18^{\circ}-138^{\circ}=24^{\circ}$ και $\widehat{ABE}=180^{\circ}-120^{\circ}-18^{\circ}=42^{\circ}$. Ακόμη, $B_{\varepsilon \xi }=18^{\circ}+24^{\circ}=42$. Δηλαδή οι $BF$ και $EF$ είναι εξωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου $EBC$, άρα $F$ παράκεντρο, οπότε η $...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τρί Ιουν 25, 2019 12:07 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εμβαδόν ρόμβου
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 305

Re: Εμβαδόν ρόμβου

Το τρίγωνο $DMN$ είναι ισοσκελές απο την σύγκριση των τριγώνων $ADM$ και $DCN$. Έστω $T$ η ορθή προβολή του $D$ στην $MN$ που διέρχεται και απο το $B$. Είναι $DT=\sqrt{49-1}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$. Aκόμη είναι $DT=\dfrac{3}{4}BD=4\sqrt{3}\Leftrightarrow BD=16\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. Είναι $\left ( ABCD \...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δευ Ιουν 24, 2019 11:14 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ώρα για ένα ημίτονο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 297

Re: Ώρα για ένα ημίτονο

Με πρόλαβε ο κύριος Μιχάλης ! Στο τετράπλευρο $ABSO$ έχουμε $\widehat{BAO}=\widehat{BCA}=\widehat{CSO}$ ($SOC$ ισοσκελές) οπότε είναι εγγράψιμο, άρα $\widehat{\vartheta }=\widehat{BAS}$ Έχουμε $\sin \widehat{BAS}=\dfrac{BS}{AB}=\dfrac{BS}{5}$. Έστω $BS=k$, οπότε $SC=5-k$. $AS^{2}=25+k^{2}=(5-k)^{2}+...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιουν 22, 2019 8:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία με μέσον
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 428

Re: Παραλληλία με μέσον

Γειά σας ! Μία ακόμη για το α) Απο τα $A$ και $D$ φέρω κάθετες στην διχοτόμο της $\widehat{S}$ που την τέμνουν στα $Q$ και $L$ αντίστοιχα , και την $SB$ στα $T$ και $K$ αντίστοιχα. Είναι $KB=DC=TK\Rightarrow TA=KB$. Φέρω τα τμήματα $MQ$ και $NL$. Επειδή τα $Q,M$ είναι μέσα των $DT,DA$ και $L,N$ είνα...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιουν 22, 2019 5:37 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ίσα σκέλη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 159

Re: Ίσα σκέλη

Καλησπέρα ! Θέτω $AB=AC=x$ Είναι $\left ( ABD \right )+\left ( ADC \right )=\left ( ABC \right )\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}+\dfrac{x\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{2}x^2\sin75^{\circ}\Leftrightarrow \sqrt{3}+1=x\dfrac{\sqrt{2}\left ( \sqrt{3} +1\right )}{4}\Leftrightarrow 4\left ( \sqrt{3}+1 \right )=x\sqrt...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Ιουν 21, 2019 9:59 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Η περίμετρος
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 307

Re: Η περίμετρος

Γειά σας και απο εμένα! Θέτω $BD=x$ Με Θ.διχοτόμου στο $ABC$ έχουμε $\dfrac{x}{8}=\dfrac{18}{AC}\,\,\,\,\,\,(1)$ To $I$ είναι έκεντρο, οπότε $BI$ διχοτόμος της $\widehat{B}$. Με Θ.διχοτόμου στο $ABD$ έχουμε $\dfrac{ID}{AI}=\dfrac{x}{18}\Leftrightarrow ID=\dfrac{AI}{18} x \,\,\,(2)$ Τα τρίγωνα $ADC$ ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιουν 15, 2019 3:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 617

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1

Θέμα 1)
Ως γνωστόν, O_{2}M=\dfrac{AH}{2}=AO_{1}. Ακόμη AO_{1},O_{2}M\perp B\Gamma \Rightarrow AO_{1}\parallel O_{2}M, οπότε στο τετράπλευρο AO_{2}MO_{1} είναι AO_{1\parallel }=O_{2}M, δηλαδή είναι παραλληλόγρομμο.
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιουν 08, 2019 3:23 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κοινό βαρύκεντρο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 289

Re: Κοινό βαρύκεντρο

Γειά σας! Είναι $\widehat{QAP}=90^{\circ}$, οπότε $QP$ διάμετρος του κύκλου με κέντρο το μέσο του $QP$. Απο το $O$ φέρω $OM\perp BC$. Είναι $OM\parallel AP$ και $M$ μέσο $BC$. Φέρω την διάμεσο $AM$ του τριγώνου $ABC$ που τέμνει το $OH$ στο $K$. Τα τρίγωνα $OKM$ και $AKH$ είναι όμοια με λόγο $\dfrac{...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Μάιος 17, 2019 9:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Κοινά σημεία με τους άξονες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 231

Re: Κοινά σημεία με τους άξονες

Χριστός Ανέστη! Η συνάρτηση τέμνει τoυς $y'y$ και $x'x$, όταν αντιστοίχως ισχύει $x=0$ και $y=0$ . Για $x=0$ έχουμε: $f\left ( 0 \right )=3\cdot 0-\sqrt{\left ( 0+4 \right )^{3}}+12=-\sqrt{64}+12=12-8=4$ άρα θα τέμνει $y'y$ στο $\left ( 0,4 \right )$. Για $y=0$ έχουμε : $3x-\sqrt{\left ( x+4 \right ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση