Η αναζήτηση βρήκε 842 εγγραφές

από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Ιουν 10, 2021 3:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Σταθερό σημείο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 304

Re: Σταθερό σημείο

Έστω $\triangle ABC$ ένα σκαληνό τρίγωνο. Έστω $D$ ένα μεταβλητό σημείο στην ευθεία $\overset{\longleftrightarrow}{BC}$ τέτοιο ώστε $D\ne B$ και $D\ne C$. Έστω σημείο $E$ στην $\overset{\longleftrightarrow}{BC}$ ώστε η $\overset{\longleftrightarrow}{AE}$ να είναι η ανάκλαση της $\overset{\longleftr...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Ιουν 01, 2021 8:08 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 224

Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα δύο μεταβλητών P(x,y) τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση
P(ab,c^2+1)+P(bc,a^2+1)+P(ca,b^2+1)=0 για κάθε a,b,c\in \mathbb{R}.
Δεν είναι δική μου, την παραθέτω ακριβώς όπως την βρήκα, νομίζω πως διαθέτω μία λύση αλλά έχω επιφυλάξεις οπότε θα ήθελα να δω και άλλες ιδέες.
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Μάιος 23, 2021 12:55 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Χρωματισμός κύβου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 277

Re: Χρωματισμός κύβου

Μου αρέσουν πολύ τέτοιες ασκήσεις που είναι δύσκολες μεν αλλά έχουν αρκετά σύντομη λύση δε. Γράφουμε $a_i,b_i,c_i$ για το πλήθος των οριζόντιων, κάθετων και εγκάρσιων γραμμών που περιέχουν το χρώμα $i$. Έχουμε $a_ib_ic_i \geqslant n$ για κάθε $i$. Άρα από Holder $\displaystyle (a_1 + \cdots + a_{n^...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Μάιος 08, 2021 3:17 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Τύπος συνάρτησης
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 119

Re: Τύπος συνάρτησης

Έστω η $g(x) = x^2+2x+1$ και η άρτια συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{2 f \left ( x+y \right ) = f \left ( f\left ( f(x) \right ) \right ) + f \left ( f \left ( f(y) \right ) \right ) \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x , y \in \mathbb{R}}$ Οι $\mathc...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Μάιος 07, 2021 3:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνάρτηση και διαιρετότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 129

Συνάρτηση και διαιρετότητα

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f: \mathbb {N^{*}}\rightarrow \mathbb {N^{*}} τέτοιες ώστε
mf(n+1)+f(mn)|m(2f(n)+1) για κάθε m,n\in \mathbb{N^{*}}.
Από άποψη δυσκολίας θα μπορούσε να μπει και σε επίπεδο juniors αλλά επειδή δεν συνηθίζονται τέτοια θέματα εκεί προτίμησα να την βάλω εδώ.
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Μάιος 04, 2021 10:11 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Χρωματισμός κύβου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 277

Χρωματισμός κύβου

Ένας κύβος $n\times n\times n$ διαιρείται σε $n^3$ στοιχειώδη (ίσα) κυβάκια. Χρησιμοποιώντας $n^2$ διαφορετικά χρώματα βάφουμε τα στοιχειώδη κυβάκια έτσι ώστε κάθε χρώμα να χρησιμοποιείται ακριβώς $n$ φορές. Να δειχθεί ότι σε κάποιο γκρουπ $n$ συνεχόμενων κύβων (δηλαδή το αντίστοιχο με τις στήλες κα...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Μάιος 01, 2021 8:20 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Η Άννα και η μετάθεση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 250

Re: Η Άννα και η μετάθεση

Η Άννα σκέφτεται μια μετάθεση $p$ του $(1,2,..,n)$ όπου $n$ δεδομένος θετικός ακέραιος τον οποίο και γνωρίζετε. Θέλετε να την μαντέψετε. Έτσι, κάνετε ερωτήσεις όπου της δίνετε $2$ διαφορετικούς δείκτες $i,j$ και σας λέει το $p_i \mod p_j$. Μπορείτε να μαντέψετε την μετάθεση κάνοντας το πολύ $2 \cdo...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Μάιος 01, 2021 5:20 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα σε τρίγωνο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 249

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Έστω $m_a,m_b,m_c$ οι διάμεση ενός τριγώνου και $r_a,r_b,r_c$ οι ακτίνες των παραγεγραμμενων κύκλων. Να αποδειχθεί ότι:$m_am_bm_c>=r_ar_br_c$ Είναι $(ABC)=E=r_a(s-a)=r_b(s-b)=r_c(s-c)$ έτσι $r_ar_br_c=\dfrac{E^3}{(s-a)(s-b)(s-c)}$ που με χρήση του τύπου του Ήρωνα γράφεται $Es=rs^2$ οπότε μένει να δ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Μάιος 01, 2021 4:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή στο R
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 260

Συναρτησιακή στο R

Καλό Πάσχα, μία ιδιοκατασκευή
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε
\displaystyle{xyf(x)+f(y^2f(x))=xyf(x+y) για κάθε x,y\in \mathbb{R}}.
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Απρ 30, 2021 3:56 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πασχαλιάτικη Ανισοτητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 316

Re: Πασχαλιάτικη Ανισοτητα

Καλημέρα σε όλους. Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac {a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+ \frac {b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+ \frac {c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}} \ge \frac {a+b+c}{3}$, για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b,c$. Καλό μεσημέρι, ένας ακόμη τρόπος: Είναι $\sum a-LHS=\sum(a-\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Απρ 20, 2021 3:49 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση (κζ)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 793

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κζ)

Ας δούμε και το: Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(y))=f(x)+2xy^2+y^2 f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$ Συμβολίζω με $P(x,y)$ την δοσμένη σχέση. $P(1+f(x),y): f(1+f(x)+f(y))=f(1+f(x))+2(1+f(x))y^2+y^2...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Απρ 19, 2021 11:31 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μια συναρτησιακή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1637

Re: Μια συναρτησιακή

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(f(x)+y)+f(x+y)=2x+2f(y)}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$ Πολύ καλή! Συμβολίζω με $P(x,y)$ την δοσμένη σχέση. $P(y,x): f(f(y)+x)+f(y+x)=2x+2f(y)$, αφαιρώ κατά μέλη με $P(x,y)$ και παίρνω ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Απρ 12, 2021 8:28 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών
Θέμα: Ταυτότητα με γινόμενα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 566

Re: Ταυτότητα με γινόμενα

Ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις :) Παρουσιάζω το πως κατέληξα στην ταυτότητα, χωρίς επαγωγή. Παίρνουμε αρχικά όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων $(a,b)$ τέτοια ώστε $1\leq a,b\leq b$ και $a\mid b$. Από όλα συνολικά τα ζεύγη σχηματίζουμε το γινόμενο που προκύπτει από τους πρώτους όρους των ζευγών, δηλαδ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Απρ 12, 2021 4:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχεια σε τετράπλευρο!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 245

Re: Συντρέχεια σε τετράπλευρο!

Έστω τετράπλευρο $ABCD$ τέτοιο ώστε να υπάρχει κύκλος $c$ που να εφάπτεται στις προεκτάσεις των πλευρών του. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του, η ευθεία $AI_{1}$ και η ευθεία $AI_{2}$ συντρέχουν, όπου $I_{1}$, $I_{2}$ τα έγκεντρα των τριγώνων $ABD$ και $CBD$ αντίστοιχ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Απρ 10, 2021 1:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών
Θέμα: Ταυτότητα με γινόμενα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 566

Ταυτότητα με γινόμενα

Καλημέρα. Κατέληξα στην παρακάτω-ενδιαφέρουσα πιστεύω- ταυτότητα και είπα να την μοιραστώ. Ίσως βέβαια να είναι γνωστό αποτέλεσμα ή να βγαίνει πολύ γρηγορότερα από τον δικό μου τρόπο. Να δειχθεί ότι για κάθε $n\in \mathbb{N^*}$ ισχύει $\displaystyle{\displayatyle \prod_{i=1}^n \lfloor \dfrac{n}{i}\r...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τετ Απρ 07, 2021 12:25 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολύπλοκο μέσο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 370

Re: Πολύπλοκο μέσο

Πολύπλοκο μέσο.png Στο ορθογώνιο $ABCD$ , θεωρούμε σημείο $S$ της $AB$ και σημείο $T$ της προέκτασης της $BC$ , ώστε : $TD \perp DS$ . Από το $B$ , φέρω παράλληλη προς την $SD$ , η οποία τέμνει τον κύκλο $(D , C , T )$ στα σημεία $N , L$ . Οι ευθείες $LD , DN$ τέμνουν τις προεκτάσεις της βάσης $AB$...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Μαρ 18, 2021 2:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διχοτόμηση τμήματος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 383

Re: Διχοτόμηση τμήματος

Διέρχεται από το μέσο.α.png Τα ύψη $BE, CF$ οξυγώνιου τριγώνου $ABC$ τέμνονται στο $H.$ Η $AH$ επανατέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο $P$ και η $PE$ τον επανατέμνει στο $Q.$ Να δείξετε ότι η $BQ$ διέρχεται από το μέσο του $EF.$ Ωραίο 30.PNG Ορίζω $M$ την τομή της $BQ$ με την $AR$ όπου $R$ στον πε...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Μαρ 14, 2021 9:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 580

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Πρόβλημα 4: Δίνεται τρίγωνο $\triangle AB\varGamma$ με $AB \neq B\varGamma$ και $\varDelta,E,Z$ τα μέσα των πλευρών $B\varGamma,A\varGamma$ και $AB$ αντίστοιχα. Με διαμέτρους τα τμήματα $AB$ και $A\varGamma$ γράφουμε ημικύκλια εξωτερικά του τριγώνου. Οι ευθείες $\varDelta E$ και $\varDelta Z$ τέμνο...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Μαρ 14, 2021 6:57 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 580

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Πρόβλημα 3: Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:\mathbb{N}_0 \to \mathbb{R}$ με τις εξής ιδιότητες $f(0)\neq 0$ $f(1)=\frac{5}{2}$ Για κάθε $m,n \in \mathbb{N}_0$, ισχύει ότι $\displaystyle f(n)f(m) = f(n+m)+f(n-m) $ Να βρείτε τον τύπο της $f$. Σημείωση: Με $\mathbb{N}_0$ συμβολίζουμε το σύνολο $\mathbb{N}_0 ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Μαρ 09, 2021 9:51 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πόλεις και δρόμοι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 358

Re: Πόλεις και δρόμοι

Μία παρατήρηση: Θεωρώ πως θα μπορούσαμε να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα μεταφράζοντας το πρόβλημα σε όρους θεωρίας γραφημάτων . Το ζητούμενο είναι ισοδύναμο με το εξής: Ένα γράφημα $(G)$ έχει $n$ κορυφές $(v)$. Κάθε δύο κορυφές συνδέονται μεταξύ τους με το πολύ μία ακμή $(e)$. Να βρεθεί το ελάχι...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση