Η αναζήτηση βρήκε 790 εγγραφές

από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Δεκ 05, 2020 12:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 7695

Re: IMO 2018

Πρόβλημα 1 Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και έστω $\Gamma$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία $D$ και $E$ βρίσκονται στα τμήματα $AB$ και $AC$ αντίστοιχα ώστε $AD = AE$. Οι μεσοκάθετες των $BD$ και $CE$ τέμνουν τα μικρά τόξα $AB$ και $AC$ του $\Gamma$ στα σημεία $F$ και $G$ αντίστοιχα. Να αποδει...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Νοέμ 23, 2020 11:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΗΜΟΤΙΚΟ
Θέμα: Ο Χιονάνθρωπος
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 106

Ο Χιονάνθρωπος

Να υπολογιστεί το εμβαδό που καλύπτει ο χιονάνθρωπος. Οι αριθμοί μέσα στους κύκλους είναι οι ακτίνες τους. Το σχήμα θεωρείται συμμετρικό (δεξιά-αριστερά) Πρόκειται για διασκευή ενός προβλήματος που κατασκεύασε ο μικρός αδελφός μου και μου ζήτησε να το δημοσιεύσω, ελπίζω να είναι ο σωστός φάκελος. 11...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Νοέμ 21, 2020 7:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προκριματικός 2013
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 1836

Re: Προκριματικός 2013

Άσκηση 6: (μεγάλοι μάλλον) Λύστε στους ακεραίους την εξίσωση $x^3=y^2+1$. Επιτρέπεται και η αλγεβρική θεωρία αριθμών Δίνω μία λύση για αυτή που από ότι βλέπω έμεινε άλυτη Δουλεύω στο $\mathbb{Z} [ i ]$ που είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποιήσης. $x^3=(y+i)(y-i)$. Για αρχή θα δείξω ότι οι $y+i,y-i...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Νοέμ 19, 2020 9:20 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 311

Re: Ανισότητα

Σε τρίγωνο $\mathrm{ABC}$ να δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{4}{9} \sum \sin B \sin C \leq \prod \cos \frac{B-C}{2} \leq \frac{2}{3}\sum \cos A}$ Άνευ λύσης! Αρχικά είναι απλό κάνοντας τις πράξεις να επαληθεύσει κανείς ότι $\cos \dfrac{B-C}{2}=\dfrac{a+b}{c}\sin\dfrac{C}{2}$ Οπότε ο μεσαίος όρος γ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τετ Νοέμ 18, 2020 5:58 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 393

Re: Ανισότητα

Σε τρίγωνο $\mathrm{ABC}$ να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\sum \sin^2 A \leq 2 + 16 \prod \sin^2 \frac{A}{2} \leq \frac{9}{4}}$ Κάνω και το άλλο μέλος...αποδείχθηκε πολύ πιο σύνθετο: Είναι γνωστή η σχέση $\displaystyle 4\prod\sin\dfrac{A}{2}=\sum \cos A-1$ οπότε ισοδύναμα αρκεί να δείξω ότι $\displa...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Νοέμ 16, 2020 3:05 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Η συνευθειακότητα των προοπτικοτήτων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 166

Re: Η συνευθειακότητα των προοπτικοτήτων

Η συνευθειακότητα των προοπτικοτήτων.png Έστω τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ και τα ισοτομικά ζεύγη σημείων $\displaystyle{{A_1} - {A_2},{B_1} - {B_2},{C_1} - {C_2}}$ των πλευρών $\displaystyle{BC,CA,AB}$ αντίστοιχα (όπως εμφανίζονται στο σχήμα) . Αν $\displaystyle{K \equiv A{A_1} \cap B...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Νοέμ 13, 2020 5:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Η "μεταβατικότητα" της προοπτικότητας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 298

Re: Η "μεταβατικότητα" της προοπτικότητας

Η _μεταβατικότητα_ της προοπτικότητας.png Εμπνευσμένη από την υπέροχη λύση του Σωτήρη εδώ Έστω τα ζεύγη των ισοτομικών σημείων $\displaystyle{{A_1} - {A_2},{B_1} - {B_2},{C_1} - {C_2}}$ των πλευρών $\displaystyle{BC,CA,AB}$τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle ABC}$. Να δειχθεί ότι οι $\displaystyle...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:09 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 393

Re: Ανισότητα

Σε τρίγωνο $\mathrm{ABC}$ να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\sum \sin^2 A \leq 2 + 16 \prod \sin^2 \frac{A}{2} \leq \frac{9}{4}}$ Μία σκέψη για το δεξί μέλος: Είναι $\sin\dfrac{A}{2}>0$ οπότε αρκεί με τις απλοποιήσεις $\prod \sin \dfrac{A}{2}\leq \dfrac{1}{8}$ Λογαριθμίζοντας αρκεί $\sum ln(\sin\dfrac...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Νοέμ 07, 2020 11:27 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Σύγκλιση από καθετότητες
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 461

Re: Σύγκλιση από καθετότητες

σύγκλιση από καθετότητες.png Σε τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ κατασκευάζουμε εξωτερικά αυτού τα τυχαία ορθογώνια $\displaystyle{BCDE,CAFZ,ABKL}$. Να δειχθεί ότι οι εκ των $\displaystyle{A,B,C}$ κάθετες στις $\displaystyle{FL,KE,DZ}$ αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο Υ.Σ. Το θέμα ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Νοέμ 01, 2020 8:21 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2020
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 882

Re: BMO 2020

Σήμερα, διεξήχθη διαδικτυακά η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα για το 2020. Παραθέτω τα θέματα μιας και έχουν ήδη αναρτηθεί στο AOPS. Καλή επιτυχία στις ομάδες μας. Πρόβλημα 1. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με $AB = AC$, το μέσο $D$ της πλευράς $AC$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος $\gamma$ του τριγώνου $...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Οκτ 16, 2020 4:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2019 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 817

Re: JBMO Shortlist 2019 - Άλγεβρα

A7. Είναι $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)=3(a+b+c)\Leftrightarrow a+b+c\geq3$.Έστω $a+b+c=A$.Τότε $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=A^2-2A$ Από Holder είναι $\sum \sqrt[3]{\dfrac{a^3+1}{2}}\le \sqrt[3]{(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})(\sum (a+1))(\sum (a^2-a+1))}=\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}(A+3)(A^2-3A...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Οκτ 11, 2020 11:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2019 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 817

Re: JBMO Shortlist 2019 - Άλγεβρα

Ελάχιστα διαφορετικά για το A2 μπορούμε να κάνουμε \sum \dfrac{ab}{a+b}=\sum \dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\geq \dfrac{9}{2\dfrac{\sum ab}{abc}}=\dfrac{3}{\sum ab} και μετά Chebyshev.Η άσκηση ήταν και στην ΒΜΟ Shortlist 2018.
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Οκτ 08, 2020 7:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2015
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2924

Re: BMO 2015

Μια λύση για την γεωμετρία Έστω $Q_2\equiv DF\cap AB$.Είναι $DQ_2$ μεσοκάθετος $BI$ οπότε $\angle Q_2IB=\angle Q_2BI=\angle IBC$ άρα $IQ_2\parallel BC$.Όμοια τα $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4,Q_5,Q_6$ όπως στο σχήμα. Αν $X,Y,Z$ οι τομές των $ FD,FE,ED$ με $AC,BC,AB$ αντίστοιχα τότε αφού $ABC $,$DE$$F$ προοπτικά θ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Οκτ 03, 2020 9:28 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Βιετναμέζικο παραλληλόγραμμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 396

Re: Βιετναμέζικο παραλληλόγραμμο

το παραλληλόγραμμο του TRAN QUANG HUNG.png Μια πρόταση γνωστή ως το παραλληλόγραμμο TRAN QUANG HUNG (γνωστού μεγάλου Γεωμέτρη από το μακρινό Βιετνάμ) Έστω $\displaystyle{E}$ το σημείο τομής των διαγωνίων $\displaystyle{AC,BD}$ τυχόντος κυρτού τετραπλεύρου $\displaystyle{ABCD}$. Να δειχθεί ότι το τε...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Σεπ 01, 2020 11:30 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 324

Συνευθειακά

Καλημέρα,μια ιδιοκατασκευή: Έστω τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$.Ο εγγεγραμμένος κύκλος του $ABC$ εφάπτεται στις $BC,AC,AB$ στα $A',B',C'$ αντίστοιχα.Έστω $A_1$ το μέσο του τόξου $BC$ του $(O)$ που δεν περιέχει το $A$.Έστω επίσης $A_1A'\cap (O)\equiv A_2$ και $B'C'\cap AA_2\equiv A_3$. Ομ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Αύγ 25, 2020 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εγγράψιμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 200

Re: Εγγράψιμο

357.PNG
357.PNG (40.41 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
Είναι \angle KMB=2\angle C=\angle KOB άρα KOMB εγγράψιμο.
KB=KE=KC από το ορθογώνιο BCE.Επίσης \angle BKM=\angle BOM=\angle A=\angle MDE.Οπότε τα EDM,BKM είναι ίσα και MK=KD.Ομοίως ML=MD.Αφού MT=MD τα D,K,T,L ισαπέχουν από το M
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τετ Αύγ 19, 2020 5:57 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ριζικά
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 241

Re: Ριζικά

Εστω $0<a<b$ πραγματικοί. Αν $n\in \mathbb{N},n>0$ Αν $\displaystyle \sqrt[n]{x^n+\sqrt[n+1]{a^nx^{n^2}}}+\sqrt[n]{a^n+\sqrt[n+1]{a^{n^{2}}x^{n}}}=b$ και $x>0$ Να δειχθεί ότι $\displaystyle x=(b^{\frac{n}{n+1}}-a^{\frac{n}{n+1}})^{\frac{n+1}{n}}$ Σ.Γ.Κανέλλος και Α.Κουκλάδας -Π.Γεωργιακάκης Συμπλήρ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Αύγ 13, 2020 7:51 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών 2
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 298

Re: Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών 2

Θεωρούμε τα πολυώνυμα $f(x,y)=xy(x^2+xy+y^2)$ και $g(x,y)=(x+y)^n-x^n-y^n $ όπου $n>3$ φυσικός. 1)Βρείτε τα $n$ για τα οποία το $f$διαιρεί το $g$ 2)Για $n=7$ βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης Ας την δυσκολέψουμε (*) λίγο: Από τα $n$ που θα βρείτε ποια είναι εκείνα για τα οποία το $g(x,y)=(x+y)^n-x^n-y...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Αύγ 13, 2020 12:20 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών 2
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 298

Re: Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών 2

Θεωρούμε τα πολυώνυμα $f(x,y)=xy(x^2+xy+y^2)$ και $g(x,y)=(x+y)^n-x^n-y^n $ όπου $n>3$ φυσικός. 1)Βρείτε τα $n$ για τα οποία το $f$διαιρεί το $g$ 2)Για $n=7$ βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης 1)Είναι $g(0,y)=g(x,0)=0$(απλό). Γράφουμε επίσης $f(x,y)=xy(x-y(\omega +1))(x-y\omega)$ με $\omega=\dfrac{-1+i...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Αύγ 11, 2020 10:48 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα με παράμετρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 182

Re: Ανισότητα με παράμετρο

Δίνονται οι πραγματικοί $a_i$ με $i=1,2,....,n$ για τους οποίους ισχύει $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i\neq 0$ Αν είναι $M>0$ να δειχθεί ότι $\displaystyle |\sum_{i=1}^{n}a_i+\frac{M-\sum _{i\neq j}a_ia_j}{\sum_{i=1}^{n}a_i}|\geq \sqrt{2M+\frac{2M}{n}}$ Αρχικά υποθέτω πως το $\displaystyle \sum_{i...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση