Η αναζήτηση βρήκε 765 εγγραφές

από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιούλ 04, 2020 2:38 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 223

Re: Διαιρετότητα

Καλημέρα Πρόδρομε, Μια λύση στα γρήγορα. Θα επανέλθω με εκτενέστερη αιτιολόγηση αν υπάρχει κάποια ασάφεια. Καταρχάς παρατηρούμε ότι δεν γίνεται να υπάρχει πρώτος διαιρέτης ενός εκ των τριών αριθμών που να μην διαιρεί έστω και έναν από τους υπόλοιπους δύο. Οπότε αν γράψουμε τους αριθμούς στην κανονι...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιούλ 04, 2020 12:17 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 223

Διαιρετότητα

Καλησπέρα!

Έστω \rm a,b,c,n θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε \rm a\mid b^n,b\mid c^n και \rm c\mid a^n.
Να αποδείξετε ότι \rm abc\mid (a+b+c)^{n^2+n+1}
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Ιούλ 03, 2020 11:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 668

Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!

Είναι γνωστή και πολύ χρήσιμη πρόταση για τις πολικές η παρακάτω πρόταση: Αν από σημείο $\rm P $ φέρεις τυχαία τέμνουσα $\rm PAB$ σε κύκλο η οποία τέμνει την πολική του $\rm P $ στο $\rm R$ τότε τα $\rm P,A,B,R$ σχηματίζουν αρμονική τετράδα. Πολλές πληροφορίες για πολικές στο :logo: μπορείς να βρεις...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Ιούλ 03, 2020 9:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 668

Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!

Μπορεί κάποιος να ανεβάσει κάποια απόδειξη που δείχνει την παραλληλία με πολικές μόνο?(αν υπάρχει) Καλησπέρα,δεν ξέρω αν σε καλύπτω: 330.PNG Είναι $\rm FA$ συμμετροδιάμεσος στο $\rm FDE$ οπότε $\rm PEFD$ αρμονικό.Έτσι αν $\rm R\equiv KF\cap DE$ (όπου $\rm K\equiv KQ\cap (D,E,F)$) θα είναι $\rm (D,E...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Ιούλ 03, 2020 7:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 183
Προβολές: 18185

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

rek2 έγραψε:
Παρ Ιούλ 03, 2020 6:42 pm
Υπάρχουν αναπάντητες;
Με ένα κάπως πρόχειρο ψάξιμο βρήκα τις 12,13,20,25,26,29,38,39,42,43,48,49,50,55,57,58,61,63,64,71,72.
Βέβαια υπάρχει περίπτωση να ξέχασα κάποιες ή κάποιες από αυτές να λύθηκαν αλλά να μην το πρόσεξα.
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Ιουν 29, 2020 6:41 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 192

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5

Δίνονται μη αρνητικοί αριθμοί $a,b,c$. Να δειχθεί ότι $\displaystyle \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+c} \geqslant \frac{a+b+c}{2}$ Φαντάζομαι στον τρίτο όρο ο παρονομαστής είναι $\rm b+a$ Από Cauchy-Schwarz έχουμε $\displaystyle \rm \left (\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Ιουν 29, 2020 6:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 172

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 2

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$. Να δειχθεί ότι $3(a^2+b^2+c^2) \geqslant (a+b+c)^2$. Γενικεύστε σε $n$ μεταβλητές. Από Cauchy-Schwarz έχουμε $\rm (1+1+1)(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$. Γενίκευση: Χρησιμοποιώντας την Cauchy-Schwarz έχουμε $\left ( \und...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Ιουν 29, 2020 5:58 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 159

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$. Να δειχθεί ότι $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$. Από Cauchy-Schwarz έχουμε $\rm (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)\geq (ab+bc+ca)^2 \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geq(ab+bc+ca)^2 \Leftrightarrow$ $\rm \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq \left | ab+bc+ac \right |\geq ab+b...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Ιουν 28, 2020 5:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 801

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 3 Οι κύκλοι $K_1$ και $K_2$ τέμνονται στα σημεία $A$ και $B.$ Οι εφαπτόμενες στον $K_1$ στα σημεία $A$ και $B$ τέμνονται στο $T.$ Έστω $M$ σημείο του κύκλου $K_1$ διαφορετικό από τα $A$ και $B.$ Η ευθεία $MT$ τέμνει τον $K_1,$ για δεύτερη φορά, στο $C,$ η ευθεία $MA$ τέμνει τον $K_2,$ για δεύτ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Ιουν 28, 2020 1:02 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Με απλά "μέσα"
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 149

Re: Με απλά "μέσα"

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ , με $AB<AC<BC$ και έστω $(c)$ ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Φέρουμε τα ύψη $BE$ και $CZ$. Ες είναι $D$ ένα τυχαίο σημείο του μικρού τόξου $AC$. Οι ευθείες $BD$ και $CZ$ τέμνονται στο $Q$, ενώ οι $BE$ και $CD$ στο $S$. Τέλος , αν $K$ το συμμετρικό του $S$ ως προς το $...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιουν 27, 2020 10:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα λόγω ... καθετότητας
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 211

Re: Καθετότητα λόγω ... καθετότητας

Καθετότητα λόγω ... καθετότητας.pngΑπό σημείο $S$ , εξωτερικό του κύκλου $(O)$ , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $SA$ και $SB$ . Σημείο $P$ κινείται επί του $SB$ . Η κάθετη από το $B$ προς το $OP$ , τέμνει το τμήμα $SA$ στο σημείο $T$ . Δείξτε ότι και : $OT\perp AP$ . Αλλιώς με κριτήριο καθετότητας α...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιουν 27, 2020 10:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα λόγω ... καθετότητας
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 211

Re: Καθετότητα λόγω ... καθετότητας

Καθετότητα λόγω ... καθετότητας.pngΑπό σημείο $S$ , εξωτερικό του κύκλου $(O)$ , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $SA$ και $SB$ . Σημείο $P$ κινείται επί του $SB$ . Η κάθετη από το $B$ προς το $OP$ , τέμνει το τμήμα $SA$ στο σημείο $T$ . Δείξτε ότι και : $OT\perp AP$ . Θα είναι $\rm BT$ πολική του $\r...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιουν 27, 2020 12:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ριζικό κέντρο πάνω στην ευθεία Euler!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 200

Ριζικό κέντρο πάνω στην ευθεία Euler!

Έστω τρίγωνο \rm ABC και \rm A_1,B_1,C_1 τα μέσα των τμημάτων \rm BC,AC,AB αντίστοιχα.
Θεωρούμε τους κύκλους \rm (A,AA_1),(B,BB_1),(C,CC_1).
Να δείξετε ότι το ριζικό κέντρο των τριών αυτών κύκλων ανήκει στην ευθεία \rm Euler του \rm ABC.


328.PNG
328.PNG (47.48 KiB) Προβλήθηκε 200 φορές
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιουν 27, 2020 12:19 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 183
Προβολές: 18185

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

74. $x + 1 = \sqrt{2(x+1) + 2 \sqrt{2(x+1) + 2 \sqrt{4(x+1)}}}$ Απάντηση: $x=3$ ή $x = - 1$ Πρέπει $\rm x\geq -1$,θέτω $\rm x=k^2-1$ με $\rm k\geq 0$ και η εξίσωση γίνεται $\rm k^2=\sqrt{2k^2+2\sqrt{2k^2+4k}}$.Αν $\rm k>2$ τότε $\rm 2k^2+4k<2k^2+2k^2=4k^2$ οπότε $\rm RHS<\sqrt{2k^2+2\cdot 2k}=\sqrt...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Ιουν 26, 2020 11:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 183
Προβολές: 18185

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

73. $1 + 2 \sqrt{x^2 - 9x + 18} = x + \sqrt{x^2 - 14x + 53}$ Απάντηση: $x = 1$ Θέτουμε $\rm x=t+1$ οπότε γίνεται $\rm 2\sqrt{t^2-7t+10}=t+\sqrt{t^2-12t+40}$,από το πρώτο ριζικό πρέπει $\rm t\in (-\infty,2]\cup[5,+\infty)$. Υψώνουμε στο τετράγωνο $\rm 4t^2-28t+40=2t^2-12t+40+2t\sqrt{t^2-12t+40}\Left...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τετ Ιουν 24, 2020 3:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Σύστημα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 584

Re: Σύστημα

Να λυθεί το σύστημα: $\begin{cases}|x_{1}-x_{2}|=\alpha x_{3}\\ |x_{2}-x_{3}|=\alpha x_{4}\\ \ \ \ \ \ ...\\ |x_{2007}-x_{1}|=\alpha x_{2}\\ \end{cases}$ αν $\text{i)}\ \alpha >1$ $\text{ii)}\ \alpha =1.$ i)Έστω $\rm (r_1,r_2,...,r_{2007})$ μία λύση του συστήματος.Από τις συνθήκες έπεται ότι $\rm r...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Ιουν 23, 2020 10:09 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης!
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 890

Re: Τεστ Εξάσκησης!

Πρόβλημα 2 Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του θετικού ακέραιου $x$, ώστε να ικανοποιούνται οι δύο παρακάτω συνθήκες: $\bullet$ $x>2021$ $\bullet$ υπάρχει θετικός ακέραιος $y$, σχετικά πρώτος με τον $x$ , ώστε ο $x^2-4xy+5y^2$ να είναι τέλειο τετράγωνο. Με επιφυλάξεις... Έστω $\rm k^2=x^2-4xy+5y^2=(x-2...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Ιουν 23, 2020 5:01 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 7
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 1535

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 7

Πρόβλημα 3 Δίνεται τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $c(O,R)$. Οι εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται από τα $B,C$ τέμνονται στο $D$. Η $AD$ τέμνει την $BC$ στο $E$. Η $AO$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $c_1$ του τριγώνου $BOC$ στο $K$. Αν $L$ είναι η προβολή του $A$ στην $BC$ και η $DL$ τέμν...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιουν 20, 2020 12:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 413

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης Θέματα 8ης τάξης, 2020. 1. Σε κάθε κελί ενός $10 \times 10$ πίνακα βρίσκεται ένα μηδενικό. Με μια κίνηση μπορούμε να προσθέσουμε την μονάδα σε όλους τους αριθμούς μιας γραμμής ή μιας στήλης. Μετά από μερικές κινήσεις προέκυψε, ότι σε κάθε κελί της διαγώνιου, π...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιουν 20, 2020 11:02 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 174

Re: Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020

Μαθητική Ολυμπιάδα Μαθηματικών του Κρατικού Πανεπιστημίου Αγίας Πετρούπολης. Θέματα 10 και 11ης τάξης, 2020. 1. Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος φυσικών αριθμών από το $1$ έως το $2020$ που μπορούμε να βάψουμε με κυανό χρώμα έτσι, ώστε για οποιοδήποτε κυανό $n$ ο αριθμός $20n$ να μην είναι κυανός; Έ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση