Η αναζήτηση βρήκε 654 εγγραφές

από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Μαρ 30, 2020 7:24 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 130

Re: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί

ΘΕΜΑ 4 Αν $\displaystyle{\rm x,y,z>0}$ με $\displaystyle{\rm x+y+z=xy+yz+zx}$ να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\rm \mathcal{F}=\frac{xy}{x+y}+\frac{yz}{z+y}+\frac{zx}{z+x}>1}$ και να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης $\mathcal{F}.$ Θα δείξω πως $ \rm F_{max}=\dfrac{3}{2}$ (το $\dfrac{3}{2}$ δεν...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Μαρ 30, 2020 5:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 130

Re: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Ο Γιώργος λέει αλήθεια κάποιες μέρες της εβδομάδας και ψέμματα τις υπόλοιπες, ακολουθώντας το ίδιο μοτίβο κάθε εβδομάδα (λέει δηλαδή την αλήθεια τις ίδιες μέρες κάθε εβδομάδας και ψέματα τις υπόλοιπες). Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας, ο Γιώργος είπε "αύριο θα πω ψέμματα" δύο μέρες και "αύρι...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Μαρ 30, 2020 2:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 114

Re: Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 Να βρείτε όλες τις πραγματικές λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{(x^2 + 3x + 1)^{x^2−x−6} = 1.}$ Γράφω μια αναλυτική λύση Οι περιπτώσεις είναι $\rm x^2+3x+1=1 ,x^2-x-6=0$ και η $\rm x^2+3x+1=-1$ με $\rm x^2-x-6$ άρτιο. $\rm x^2+3x+1=1 \Leftrightarrow x(x+3)=0 \Leftrightarrow x=0\,\,\,or\,\,...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Μαρ 30, 2020 11:46 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 125

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με $AB <AC$. Το σημείο $E$ βρίσκεται στην πλευρά $AC$ έτσι ώστε $AB = AE$. Το τμήμα $AD$ είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$, και το σημείο $S$ είναι το μέσο του τόξου $BC$ που δεν περιέχει το $A.$ Αν $F$ είναι το συμμετρικό του $D$ ω...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Μαρ 30, 2020 12:49 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 125

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 Αν $ a^3+b^3+c^3=4abc$ και $a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc+1$ να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{\left(\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}\right)-(ab+ac+bc).}$ Από $\rm Euler $ είναι $\rm \sum a^3-3abc=\sum a\cdot (\sum a^2-\sum ab)=\sum a\Leftrightarrow abc=a+b+c$ Οπότε $\rm ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Μαρ 29, 2020 7:36 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πρωτοχρονιάτικο Μέγιστο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 774

Re: Πρωτοχρονιάτικο Μέγιστο

Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b,c$ ισχύει $(a+b^{2}+1)(b+c^{2}+1)(c+a^{2}+1)=27$ Να βρείτε την μέγιστη τιμή της $A=(a^2b^2+a^2b + ab^2+a^2+ab+b^2+a+b+1)(c^2+c+1)$. Είναι $\rm a^2b^2+a^2b + ab^2+a^2+ab+b^2+a+b+1=a^2(b^2+b+1)+a(b^2+b+1)+(b^2+b+1)=$ $\rm =(a^2+a+1)(b^2+b+1)$. Άρα ζητού...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Μαρ 29, 2020 2:06 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνάρτηση στα σημεία του επιπέδου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 93

Re: Συνάρτηση στα σημεία του επιπέδου

Μία συνάρτηση $f$ ορίζεται σε όλα τα σημεία του επιπέδου και παίρνει πραγματικές τιμές. Αν για κάθε παραλληλόγραμμο $ABCD$ ικανοποιεί $f(A)+f(C)=f(B)+f(D)$ δείξτε α) Αν $M$ το μέσον ευθυγράμμου τμήματος $AB$, τότε $f(M)= \frac {1}{2}(f(A)+f(B)) $ β) Αν $G$ το κέντρο βάρους τριγώνου $ABC$, τότε $f(G...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Μαρ 28, 2020 3:17 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Με διαιρέτες
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 159

Re: Με διαιρέτες

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $n$ που έχουν $16$ θετικούς διαιρέτες $d_1, d_2, . . ., d_{16}$ για τους οποίους ισχύει $1 = d_1 < d_2 < ... < d_{16} = n, \ \ \ d_6 = 18 \ $ και $ \ d_9 − d_8 = 17.$ Επειδή οι $\left \{ 1,2,3,6,9,18 \right \}$ είναι διαιρέτες του $18$ που διαιρεί τον $\rm n$...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Μαρ 27, 2020 4:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 265

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.

Δίνεται κύκλος $(O)$ χορδής $BC$ και έστω $AD$ η διάμετρός του, μεσοκάθετη του $BC$ και ας είναι $AM>MD$, όπου $M\equiv BC\cap AD$. Έστω $E$, τυχόν σημείο του ελάσσονος τόξου $\overset\frown {AB}$ και $P\in AD$, τυχόν σημείο μεταξύ των $M,\ D$. Έστω $Q$, η προβολή του $P$ επί της $ED$ και $Z$, το σ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Μαρ 26, 2020 8:57 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισόπλευρο από τριχοτομήσεις
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 102

Re: Ισόπλευρο από τριχοτομήσεις

Ισόπλευρο από τριχοτομήσεις.png $D, E$ είναι σημεία των καθέτων πλευρών $AC, AB$ αντίστοιχα, ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ έτσι ώστε $\displaystyle A\widehat BD = \frac{{\widehat B}}{3},A\widehat CE = \frac{C}{3}$ $(*).$ Οι $BD, CE$ τέμνονται στο $F$ και έστω $K$ το έγκεντρο του $FBC.$ Να δείξετε ότι τ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Μαρ 26, 2020 6:30 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Αντιπαραβολή
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 90

Re: Αντιπαραβολή

Αντιπαραβολή.png$\bigstar$ Η παραβολή με εξίσωση : $f(x)=x^2+bx+c$ , διέρχεται για κάθε τιμή του $b$ , από το σημείο $(1,0)$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής $K$ , της παραβολής . Η άσκηση είναι αυξημένης δυσκολίας , ας την αφήσουμε όμως στους μαθητές ... Πρέπει $\rm f(1)=0\Leftrightarrow 1...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Μαρ 26, 2020 11:11 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Σύστημα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 115

Re: Σύστημα

Λυθήτω στο $\Bbb{R}^2$ $\displaystyle{\begin{cases} y^2 = (x + 8)(x^2 + 2) \\ y^2 = (8 + 4x)y + 5x^2 − 16x − 16 \end{cases}}$ Η δεύτερη σχέση γράφεται $\rm y^2-2(2x+4)y+(2x+4)^2=5x^2-16x-16+(2x+4)^2 \Leftrightarrow $ $\Leftrightarrow (y-(2x+4))^2=5x^2-16x-16+4x^2+16x+16\Leftrightarrow$ $\Leftrighta...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Μαρ 26, 2020 10:38 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Ανίσωση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 91

Re: Ανίσωση

Λυθήτω στο $\Bbb{R}$ $\displaystyle{\frac{x^2}{(x+1-\sqrt{x+1})^2}<\frac{x^2+3x+18}{(x + 1)^2}}$ Καλημέρα! Πρέπει $\rm x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1$.Επίσης $\rm x+1\neq 0\Leftrightarrow x\neq -1$ και $\rm x+1\neq \sqrt{x+1}\Leftrightarrow x\neq 0,x\neq -1$. Θέτω $\rm x+1=y>0$ και η ανίσωση γίν...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τετ Μαρ 25, 2020 10:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Εξίσωση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 135

Re: Εξίσωση

Λυθήτω στο $\Bbb{R}$ $\displaystyle{(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6) = 720}$ Καλησπέρα! Παρατηρώ πως $720=6!$. Αν $\rm x> 6$ τότε η $\rm f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)$ είναι αύξουσα και αφού $720=6!$ λύση η $\rm x-6=1$ δηλαδή $\rm x=7$.Προφανώς οι $1,2,3,4,5,6$ δεν μπορεί να είναι λ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τετ Μαρ 25, 2020 5:24 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 290
Προβολές: 39375

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 112 Βάφουμε τους αριθμούς 1, 2, 3, ...,20 με δύο χρώματα άσπρο και μαύρο έτσι, ώστε να χρησιμοποιούνται και τα δύο χρώματα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει ο χρωματισμός ώστε το γινόμενο των άσπρων αριθμών και το γινόμενο των μαύρων αριθμών να έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη ίσο με 1; Έστω $\...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τετ Μαρ 25, 2020 12:09 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κάθετες κι' αυτές!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 124

Re: Κάθετες κι' αυτές!

Καλό βράδυ. Κάθετες κι' αυτές!.PNG Το τραπέζιο $ABCD$ έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=90^\circ$ και $AD=CD$ ενώ είναι $AB=75$ και $BC=100$. Έστω $M$ το μέσον της $BC$ και σημείο $E \in AD$ ώστε $ME=86$. Αν $P \in ME$ ώστε να είναι $CP \perp DM$ τότε: Να εξεταστεί αν είναι και $BP \perp AM$ . Σας ευχα...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Μαρ 24, 2020 11:53 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Σύγκλιση καθέτων
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 232

Re: Σύγκλιση καθέτων

Σύγκλιση καθέτων.png Σε κάθε δισορθογώνιο τραπέζιο $ABCD\left( \angle A=\angle B={{90}^{0}} \right)$ να δειχθεί ότι οι εκ των $A,M,B$ κάθετες στις $MD,DC,CM$ αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω $S$ στο σχήμα), όπου $M$ το μέσο της $AB$ Στάθης Υ.Σ. Ο Γιώργος (Μήτσιος) ξέρει ... Καλησπέρα!...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Μαρ 24, 2020 11:34 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ορθογωνιακές σκέψεις
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 117

Re: Ορθογωνιακές σκέψεις

Ορθογωνιακές σκέψεις.png$\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με : $AB=AC\sqrt{2}$ , οι διάμεσοι $AM$ και $CN$ τέμνονται στο $E$ . α) Δείξτε ότι : $CN \perp AM$ ... β) Δείξτε ότι : $(AEC)=(MENB)$ α) Από κριτήριο καθετότητας αρκεί $\rm NA^2-NM^2=CA^2-CM^2\Leftrightarrow \dfrac{c^2}{4}-\dfrac{b^2}{4...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Μαρ 24, 2020 12:24 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Τρίγωνο και ...πανσέληνος
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 180

Re: Τρίγωνο και ...πανσέληνος

Γεια σας. $$ Τρίγωνο και ..πανσέληνος.PNG Το τρίγωνο $ABC$ με $BC=2$ και $AC=1+\sqrt{3}$ , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν ισχύει $widehat{C_{\varepsilon \xi }}=2\widehat{B_{\varepsilon \xi }}$ τότε: Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. Επειδή ενδέχεται το παρόν να δυσκολέψει (προσωρινά π...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Μαρ 23, 2020 9:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 578

Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 3 Έστω $I$ το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου και $AD$ διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου $ABC.$ Τα σημεία $E$ και $F$ ανήκουν στις ευθείες $BA$ και $CA$ ώστε $\displaystyle{BE = CF =\frac{AB + BC + CA}{2}.}$ Δείξτε ότι οι ευθείες $EF$ και $DI$ είναι κάθετες. 290.PNG Έστω $\rm P,Q$ ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση