Η αναζήτηση βρήκε 394 εγγραφές

από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τετ Νοέμ 20, 2019 9:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
Απαντήσεις: 25
Προβολές: 2486

Re: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο

Καλησπέρα σας, είμαι γονιός ενός μαθητή που συμμετείχε φέτος στην JBMO (του Θάνου Παπαλέξη) . Mε αφορμή αυτή τη δημοσίευση στο mathematica και τους προβληματισμούς που τέθηκαν από κάποιους μαθητές, γονείς και καθηγητές αλλά και τις δικές μου ανησυχίες, θέλω να σας αναφέρω κάτι. Στις 3-9-2019 έγινε ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Νοέμ 19, 2019 7:38 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολλαπλάσιο του 7
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 220

Re: Πολλαπλάσιο του 7

Δείξτε ότι αν $a,\,b,\, c$ είναι ακέραιοι, τότε ο $abc(a^3-b^3)(b^3-c^3)(c^3-a^3)$ είναι πολλαπλάσιο του $7$. Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας. Θα την έλεγα κατάλληλη για επίπεδο Θαλή ή, έστω, εύκολη επιπέδου Ευκλείδη. Τα κυβικά υπόλοιπα $\pmod 7$ είναι $-1,0,1$.Αν κάποιος εκ των $a,b...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Νοέμ 19, 2019 7:39 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άθροισμα λόγων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 285

Re: Άθροισμα λόγων

f(R,r).png΄ Αν $I$ είναι το έγκεντρο τριγώνου $ABC$ και οι $AI, BI, CI$ τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου στα $D, E, F$ αντίστοιχα, να εκφράστε το άθροισμα $\displaystyle \frac{{ID}}{{IA}} + \frac{{IE}}{{IB}} + \frac{{IF}}{{IC}}$ συναρτήσει των ακτίνων του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Νοέμ 14, 2019 10:15 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Εξίσωση με σύνθεση συναρτήσεων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 235

Re: Εξίσωση με σύνθεση συναρτήσεων

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb N \to \mathbb N$ με τύπο $\displaystyle{f(n) = \left\{\begin{matrix} n+5 & \alpha \nu \,\, n\,\,\pi \epsilon \rho \iota \tau \tau o s \\ \frac {1}{2} n& \alpha \nu \,\, n \,\,\alpha \rho \tau \iota o s \end{matrix}\right.}$ Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{f(f(f(n)))...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τετ Νοέμ 13, 2019 11:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρετότητα με το 1989
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 311

Re: Διαιρετότητα με το 1989

Καλησπέρα! Δεν είμαι σίγουρος για την ορθότητα της λύσης: Γράφουμε $k=n^{n^{n^{n}}}-n^{n^{n}}=n^{n^{n}}\left ( n^{\left (n^{n^n}-n^n \right )} -1\right )$ Είναι $1989=3^2\cdot 13\cdot 17$,αρκεί $9,13,17 \mid k$ Δουλεύουμε για κάθε ένα ξεχωριστά: Αν $ n \not\equiv 0 (\mod 13)$ αρκεί $n^{\left (n^{n^n...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Νοέμ 09, 2019 2:12 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 42
Προβολές: 3829

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

Πρόβλημα 4 γ' γυμνασίου α)Τα τρίγωνα $\overset{\Delta }{\textrm{AB}\Gamma },\overset{\Delta }{B\Gamma \Delta },\overset{\Delta }{\Gamma \Delta E},\overset{\Delta }{\Gamma EZ}$ είναι ορθογώνια και ισοσκελή άρα:$AB=B\Gamma \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\Gamma \Delta \left (\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )^2=\Gamma...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Νοέμ 09, 2019 1:57 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 42
Προβολές: 3829

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

Πρόβλημα 2 γ' γυμνασίου Έστω ότι απάντησε σε $x$ ερωτήσεις σωστά.Τότε σε $12-x$ θα απάντησε λανθασμένα. Έχουμε λοιπόν $1320=600+\left ( 80x-40\left ( 12-x \right ) \right )\Leftrightarrow 720=120x-480\Leftrightarrow \boxed{x=10}$ *Kύριε Νίκο η λύση είναι του Θεοδόση :) **Μήπως θα έπρεπε η συζήτηση ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Νοέμ 04, 2019 12:10 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισόπλευρα και μέσα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 337

Re: Ισόπλευρα και μέσα

Ισόπλευρα και μέσα.pngΣτην πλευρά $AB$ ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε τυχόν σημείο $S$ . Με βάση την $BS$ και εκτός του τριγώνου σχεδιάζουμε το επίσης ισόπλευρο τρίγωνο $BST$ . Ονομάζω $M , N$ τα μέσα των $BC , BT$ αντίστοιχα και με βάση την $MN$ σχεδιάζω τρίτο ισόπλευρο $LMN$ ,...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Νοέμ 02, 2019 2:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 275

Re: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας

Μία λύση για την αρχική με λιγότερες πράξεις και χρήση του αρμονικού τετράπλευρου, Έστω $O$ το κέντρο του $(S,T,R)$ και $X$ ο πόλος του $ST$ ως προς τον ίδιο κύκλο. Λόγω του αρμονικού οι $XT,XU$ είναι εφαπτόμενες και το $X$ ανήκει στη $RS$. Από λήμμα είναι $\left ( X,S,L,R \right )=-1$ και από $Mac\...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Νοέμ 02, 2019 12:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 275

Re: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας

Μπράβο, Πρόδρομε! κοίταξε τώρα κάτι άλλο: Αν στο σχήμα σου $S\equiv TC' \cap RM$, $L\equiv (P, PC) \cap RM$ και $U\equiv (STR) \cap TL$, δείξε οτι το $TSUR$ είναι αρμονικό τετράπλευρο Αρκεί $TL$ συμμετροδιάμεσος στο $TSR$ : Το τμήμα $CQ$ είναι συμμετρικό του $C'L$ ως προς την $AD$ ,δηλαδή $D$ μέσον...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Νοέμ 01, 2019 11:05 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 275

Re: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας

GEOMETRIA238=FB3712.jpg Εστω ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD, \hat{A}=\hat{D}=90^o, AB>CD$. Ο περίκυκλος $ABC$ τέμνει την $AD$ στο $P$. Ο κύκλος $(P, PC)$ τέμνει την μεσοπαράλληλο του τραπεζίου $MN$, στο $Q$ και την $QD$ στο $T$. Αν η $TC$ συναντά την $MN$ στο $R$, δείξτε ότι $QR=2\cdot MN$ Καλησπέρα! Έστ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Νοέμ 01, 2019 9:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εγκυκλος εφαπτόμενος στη μεσοκάθετο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 108

Re: Εγκυκλος εφαπτόμενος στη μεσοκάθετο

GEOMETRIA237=FB3831.jpg Ο έγκυκλος τριγώνου $ABC, b>c$ εφάπτεται της μεσοκαθέτου $Mx$ της $BC$. Αν το ύψος $AD=h$ και $DM=d$, δείξτε ότι $\dfrac{b-c}{h-d}=2$ Προαιρετικά, αναζητήστε τον γεωμετρικό τόπο του $A$ όταν η $BC$ είναι σταθερή. Αν $I$ το έκκεντρο του $ABC$ και $F$ το σημείο επαφής του έγκυ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Νοέμ 01, 2019 9:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνθήκη με βαρύκεντρο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 264

Re: Συνθήκη με βαρύκεντρο

Ένα επιπλέον ερώτημα: Αν το $D$ είναι εσωτερικό σημείο του $BC$ να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει ο λόγος $\dfrac{c}{a}.$ Από την τριγωνική ανισότητα είναι: $b>a-c\Leftrightarrow b^2>a^2+c^2-2ac\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow a^2-3ac+c^2<0$ το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες τις $x_1=c\left ( ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Νοέμ 01, 2019 8:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εντυπωσιακή σταθερότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 234

Re: Εντυπωσιακή σταθερότητα

Εντυπωσιακή σταθερότητα.pngΤα ισομήκη τμήματα $AB , A'B'$ , ολισθαίνουν στις πλευρές $Ox , Oy$ αντίστοιχα , γωνίας $\widehat{O}$ . Δείξτε ότι το τμήμα $MN$ το οποίο συνδέει τα μέσα των $AA' , BB'$ , παραμένει σταθερό . Υπολογίστε το τμήμα αυτό , αν : $AB=A'B'=4$ και : $\widehat{xOy}=60^0$ . 155.PNG...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Οκτ 31, 2019 11:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σταθερό σημείο
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 394

Re: Σταθερό σημείο

Η πρόταση κάτι μου θυμίζει από Πάππο. Ίσως. Δεν μπορώ να το προσδιορίσω. Πάντως σίγουρα η ευθεία $DK $είναι σταθερή και παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας $A$. Επίσης να αναφέρουμε ότι το παραπάνω μαζί με γεγονός ότι τα μέσα των $BC,MN,AD$ είναι συνευθειακά προκύπτουν από το $AD=AS$ σε συνδυασμό με ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τετ Οκτ 30, 2019 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σταθερό σημείο
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 394

Re: Σταθερό σημείο

Σταθερό σημείο..png Δίνεται τρίγωνο $ABC (AB\ne AC).$ Στην ευθεία $BA$ θεωρώ τα σημεία $M, D$ και στην $CA$ το σημείο $N,$ ώστε $BM=CN, BD=CA.$ Αν οι $BN, CM$ τέμνονται στο $K,$ να δείξετε ότι οι $KD, CA$ τέμνονται σε σταθερό σημείο (ανεξάρτητο της επιλογής των $M, N$). Καλησπέρα! Έστω $MC=NC=x$ .Α...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Οκτ 29, 2019 7:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνθήκη με βαρύκεντρο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 264

Re: Συνθήκη με βαρύκεντρο

Συνθήκη με βαρύκεντρο.png $AD$ είναι το ύψος και $BE$ η διχοτόμος τριγώνου $ABC.$ Αν το βαρύκεντρο $G$ του τριγώνου $ABC$ είναι σημείο του τμήματος $DE,$ να υπολογίσετε το $b$ συναρτήσει των $a, c.$ Θ.διχοτόμου : $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{c}{a}$,λόγω βαρύκεντρου είναι $\dfrac{GM}{GA}=\dfrac{1}{2}$ και...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Οκτ 29, 2019 7:08 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Διαγωνιστικός κύκλος
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 368

Re: Διαγωνιστικός κύκλος

Διαγωνιστικός κύκλος.pngΗ Επιτροπή Διαγωνισμού σας δίνει ένα χαρτί στο οποίο είναι σχεδιασμένα - με μαύρο - το τεταρτοκύκλιο και το ημικύκλιο . Ο διαγωνιζόμενος ( εσείς ) πρέπει να σχεδιάσει τον πολυεφαπτόμενο κόκκινο κύκλο . Υπάρχουν πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις . Η Επιτροπή Δ. θα βραβεύσει τη...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Οκτ 27, 2019 1:15 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητες και ισότητες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 216

Re: Καθετότητες και ισότητες

α)Θεωρούμε τις στροφές $\partial_{1}=F_{90^{+}},\partial _{2}=E_{90^{+}}$. Η σύνθεσή τους,$\Theta =\partial_{1}\circ \partial_{2}$ είναι στροφή κατά γωνία $180$ και προφανώς στέλνει το $T$ στο $D$. Άρα (επειδή είναι στροφή 180 μοιρών) θα στέλνει και το $D$ στο $T$. Όμως $\partial_{1}(D)=G$ και συνε...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Οκτ 27, 2019 9:54 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητες και ισότητες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 216

Καθετότητες και ισότητες

153.PNG Στο εξωτερικό τριγώνου $ABC$ και με πλευρές τις $AB,AC$ θεωρούμε τετράγωνα $ABDE,ACTF$. Με πλευρά την $DF$ θεωρούμε τετράγωνο $FDHG$(στο ημιεπίπεδο που ορίζει η $DF$ και δεν ανήκει το $A$). α) Να δείξετε ότι τα $EG,ET$ είναι ίσα και κάθετα. β) Αν $N,M$ μέσα των $BC,EF$ και $P\equiv GM\cap A...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση