Η αναζήτηση βρήκε 821 εγγραφές

από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τετ Φεβ 24, 2021 10:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Από σταθερό σημείο 7
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 102

Re: Από σταθερό σημείο 7

Από σταθερό σημείο 7.pngΣτις πλευρές $AB , AC$ , τριγώνου $ABC$ , κινούνται σημεία $S , T$ αντίστοιχα , αλλά με τρόπο ώστε : $AS=CT$ . Δείξτε ότι ο κύκλος $( A , S , T ) $ , διέρχεται και από άλλο - πλην του $A$ - σταθερό σημείο . 28.PNG Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο $CASR$, το $T$ ορίζεται ως η τομ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Φεβ 22, 2021 9:30 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τρείς άγνωστοι
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 251

Re: Τρείς άγνωστοι

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $k,a,b$ τέτοιοι ώστε: $k=\frac{b}{a+1}+\frac{a}{b+1}$ Καλύτερα σε θεωρία αριθμών να μεταφερθεί, δουλεύει το Vieta Jumping. Σταθεροποιώ το $k$ και από τις λύσεις παίρνω την $(a_1,b_1)$ τέτοια ώστε το $a_1+b_1$ το ελάχιστο δυνατό. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρώ ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Φεβ 16, 2021 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (1), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1241

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 4 Σε μια ακολουθία θετικών ακεραίων, ονομάζουμε αντιστροφή ένας ζεύγος θέσεων για το οποίο ο όρος που βρίσκεται στα αριστερά είναι μεγαλύτερος από τον όρο στα δεξιά. Για παράδειγμα, η ακολουθία $2,5,3,1,3$ έχει ακριβώς πέντε αντιστροφές. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός αντιστροφών πο...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Φεβ 12, 2021 10:41 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (12), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 721

Re: Τεστ Εξάσκησης (12), Μεγάλοι

Δίνω μία άλλη λύση για το 3, πιθανόν να έχω λάθος οπότε διορθώστε με. Μια $m$ άρτιο θέτω $m=2t$ οπότε παίρνω $(2^t-1)(2^t+1)=7n^2$ και αφού $gcd(2^t-1,2^t+1)=gcd(2^t-1,2)=1$ έχω δύο περιπτώσεις $2^t+1=b^2$ και $2^t+1=7b^2$ η πρώτη δίνει εύκολα $b=3$ και η δεύτερη άτοπο για $t\geq 2$ με $\pmod 4$ οπό...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Φεβ 12, 2021 6:19 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Εκθετική διοφαντική
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1487

Re: Εκθετική διοφαντική

Με $mod4$ έχουμε $n=odd$ μήπως μπορεί να συνεχίσει κάποιος λύνοντας την έξωση $pell$: $x^2-3y^2=-11$ Δοκίμασα με την γενικευμένη Pell αλλά δεν κατέληξα πουθενά, συγκεκριμένα αφού βρήκα την ακολουθία λύσεων κατά τα γνωστά( αναδρομικός τύπος) πήρα την ακολουθία των $y$ $mod9$ (υπάρχουν δύο θεμελιώδει...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Φεβ 11, 2021 8:22 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 223

Re: Ανισότητα

Αν $a,b,c\varepsilon \mathbb{R+}$ και $a+b+c=3$ να αποδειχθεί ότι: $\sum \sqrt{a(a+1)+b+c}\geq 6$ Αρκεί ισοδύναμα $\sum_{cyc} \sqrt{a^2+3}\geq 6$ Παρατηρούμε τώρα ότι $\sqrt{x^2+3}\geq \dfrac{x+3}{2} \Leftrightarrow 4x^2+12\geq x^2+6x+9\Leftrightarrow 3(x-1)^2\geq 0$ (Tangent line trick) Έτσι $\sum...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Φεβ 05, 2021 11:28 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Διοφαντική εξίσωση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 930

Re: Διοφαντική εξίσωση

Νομίζω πως το έβγαλα τελικά. Αφού βγάλουμε ότι $2|n$ θέτουμε $n=2t$ και $5^t=x$ και για ευκολία $m=y$ οπότε έχουμε την Pell $x^2-6y^2=1$ με $(x_1,y_1)=(5,2)$ η θεμελιώδης λύση. Είναι γνωστό ότι θα ισχύει $x_{n+1}=x_1x_n+6y_1y_n$ και $y_{n+1}=x_1y_n+x_ny_1$ οπότε $x_n=5x_{n-1}+12y_{n-1},y_n=5y_{n-1}+...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τετ Φεβ 03, 2021 9:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διέρχεται από το κέντρο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 284

Re: Διέρχεται από το κέντρο

Διέρχεται από το κέντρο.β.png $CD$ είναι μια τυχούσα χορδή ενός ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ και $P$ είναι το σημείο τομής των $AC, BD.$ Γράφω τον περίκυκλο του $PCD$ και έστω $M$ τυχόν σημείο του κύκλου. Αν οι $CM, DP$ τέμνονται στο $S$ και οι $CP, DM$ στο $T,$ να δείξετε ότι η ευθεία $ST$ διέρχεται ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Φεβ 01, 2021 9:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Από σταθερό σημείο 5
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 107

Re: Από σταθερό σημείο 5

Από σταθερό σημείο 5.pngΤο τμήμα $DE$ κινείται , μένοντας παράλληλο προς την βάση $BC$ , τριγώνου $ABC$ . Η κάθετη προς την πλευρά $AC$ στο άκρο $C$ , τέμνει την ημιευθεία $DE$ στο σημείο $S$ . Δείξτε ότι ο κύκλος $A , D , S$ διέρχεται και από άλλο - πλην του $A$ - σταθερό σημείο . Μία λύση με προβ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Ιαν 29, 2021 8:55 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Βελτίωση σε θέμα του Αρχιμήδη
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 293

Re: Βελτίωση σε θέμα του Αρχημηδη

Να αποδειχθεί ότι ανάμεσα σε$ 57$ φυσικούς που στην ανάλυση τούς αποτελούνται από ${3,5, 7}$ υπάρχουν πάντα $8$ που το γινόμενο τούς είναι τέλεια όγδοη δύναμη. Καλησπέρα Διονύση Κάθε αριθμό της μορφής $3^a\cdot 5^b\cdot 7^c$ τον αντιστοιχώ στην (διατεταγμένη) τριάδα $(a,b,c)$ Έχουμε σύνολο $57$ τέτ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Ιαν 29, 2021 12:10 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Mod
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 245

Re: Mod

Έστω $m,k$ θετική ακέραιοι και έστω $p=2^{2^{m}}+1$ με $p$ πρώτο να αποδειχθεί ότι: $2^{2^{m+1}p^{k}}\equiv 1$(modp^(k+1)) Και πώς ο $2^{m+1}p^{k}}$ είναι μικρότερος $n$ για τον οποίο ισχύει: $2^{n}\equiv 1$(modp^(k+1)) Είναι $2^{2^{m+1}p^k}-1=(2^{2^m})^{2p^k}-1=((p-1)^{p^k}-1)((p-1)^{p^k}+1)$ Αρκε...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Ιαν 28, 2021 8:23 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Διοφαντική εξίσωση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 930

Re: Διοφαντική εξίσωση

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη $(m,n)$ θετικών ακεραίων που είναι τέτοιοι ώστε: $5^n=6m^2+1.$ Καλησπέρα σε όλους! Μία προσπάθεια: Με $\pmod6$ προκύπτει $n$ άρτιος. Γράφω $n = 2k$ και θέτω $5^{k} = x$. Τότε η εξίσωση γίνεται: $x^2 - 6m^2 = 1$. Πρόκειται για εξίσωση Pell με θεμελιώδη λύση $(x, m) = (5, 2)$....
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Ιαν 25, 2021 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή στο Z
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 266

Συναρτησιακή στο Z

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z} ώστε
f (2m + f (m) + f (m)f (n)) = nf (m) + m για κάθε m,n\in \mathbb{Z}

Δεν είναι δική μου.
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιαν 23, 2021 10:49 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Θεωρία αριθμών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 227

Re: Θεωρία αριθμών

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι $p$,$m$,$n$ με $p$ πρώτο τέτοιοι ώστε: 1)$2^{p}+3^{p}=n^{m}$ 2)$m^{p}-1=p^{n}$ Δεν είναι σύστημα είναι δύο άσκησεις Καλησπέρα 1) Έστω ότι $p\neq 5$ και περιττός. Με $\pmod 5$ είναι $n^m\equiv 2^p+(-2)^p\equiv0\pmod 5$ άρα $5|n$ Από $LTE $ θα είναι $u_5(n^m)=u_5(2^p+3^...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιαν 23, 2021 12:00 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1086

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Επειδή είναι πολύ εύκολη για senior την αλλάζω λίγο: Να βρεθούν οι ακέραιοι $x,y,z$ για τους οποίους να ισχύει$:$ $3^{x}+y^{2}=2^{z}$ Καλημέρα Αρχικά αν $(x,y,z)$ λύση τότε και $(x,-y,z)$ λύση οπότε θεωρώ $y\geq 0$ Αν $y=0$ τότε $3^x=2^z$ που ισχύει μόνο για $x=z=0$, Έστω $y>0$ Αν $x<0$ τότε $2^z=y...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Ιαν 22, 2021 3:11 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Συνδυαστική απαρίθμηση.Δυσκολη?
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 219

Re: Συνδυαστική απαρίθμηση.Δυσκολη?

Να αποδειχθεί η ταυτότητα: $\binom{500}{500}[\binom{0}{499}+\binom{1}{499}+...+\binom{499}{499}]+\binom{499}{500}[\binom{0}{499}+\binom{1}{499}+.....\binom{498}{499}]+.....+\binom{1}{500}[\binom{0}{499}]=2^{998}$ Δίνω μία λύση υποθέτοντας ότι όλοι οι διωνυμικοί συντελεστές έχουν μπει ανάποδα, αλλιώ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Ιαν 18, 2021 11:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τιμή λόγου!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 260

Re: Τιμή λόγου!

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με έγκεντρο $\displaystyle{I}$. Ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται στην πλευρά $\displaystyle{BC}$ στο $\displaystyle{D}$ και στην πλευρά $\displaystyle{AB}$ στο $\displaystyle{F.}$ Η $\displaystyle{AD}$ τέμνει τον κύκλο στο $\displaystyle{H}$ και η $\displaystyle{CF...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Ιαν 14, 2021 9:56 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία υπό συνθήκη
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 523

Re: Παραλληλία υπό συνθήκη

Παραλληλία υπό συνθήκη.png Έστω τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ με $\displaystyle{\angle A = {120^0}}$. Αν $\displaystyle{D}$ η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου $\displaystyle{ABDC}$ να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ είναι παράλληλη προς την $...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τετ Ιαν 13, 2021 12:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία υπό συνθήκη
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 523

Re: Παραλληλία υπό συνθήκη

Παραλληλία υπό συνθήκη.png Έστω τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ με $\displaystyle{\angle A = {120^0}}$. Αν $\displaystyle{D}$ η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου $\displaystyle{ABDC}$ να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ είναι παράλληλη προς την $...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Ιαν 11, 2021 2:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εύκολη καθετότητα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 426

Re: Εύκολη καθετότητα

Εύκολη καθετότητα.png Έστω κυρτό τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ με $\displaystyle{DA = AB = BC}$ και $\displaystyle{\angle A,\angle B}$ αμβλείες και ας είναι $\displaystyle{I}$ το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών αυτών. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{OI \bot CD}$ όπου $\displaystyle{O}$ το π...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση