Η αναζήτηση βρήκε 42 εγγραφές

από Prødigy
Σάβ Απρ 20, 2019 6:26 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 714

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Πρόβλημα 1 (α) Αν $\displaystyle{x}$ είναι θετικός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}}$ (β) Αν $\displaystyle{a, b}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{a^{12}+b^{12}}{4}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}...
από Prødigy
Τρί Απρ 09, 2019 10:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σύστημα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 287

Σύστημα

Να λυθεί το σύστημα στο σύνολο των ακέραιων αριθμών:

x^3-4x^2-16x+60=y
y^3-4y^2-16y+60=w
w^3-4w^2-16w+60=x

Δηλώνω εκ των προτέρων ότι δεν έχω λύση.

Ελπίζω ο φάκελος να είναι ο κατάλληλος.
από Prødigy
Τετ Απρ 03, 2019 10:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ ( Junior ) - 2019
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 2517

Re: Επιλογη Junior 2019

Επειδή έχουν αργήσει να βγάλουν τη λίστα με τα αποτελέσματα ξέρει μήπως κάποιος αν θα τα βγλάλουν αυτή τη βδομάδα ?? http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/competitions/2019/KATATAXH_JBMO_2019.pdf http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/competitions/2019/KATATAXH_BMO_2019.pdf Θερμά σ...
από Prødigy
Σάβ Μαρ 30, 2019 3:57 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ ( Junior ) - 2019
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 2517

Re: Επιλογη Junior 2019

Λύση για το 2: Η εξίσωση γράφεται: $3\cdot 2^{x}=(n-2)(n+2)$ Δηλαδή αφου $(n-2)$ , $(n+2)$ είναι τα δυο ισοδύναμα mod 4, έχουμε δυο περιπτώσεις: Περίπτωση 1: $n-2=3\cdot 2^{a}$ και $n+2=2^b$ Δηλαδή $4=2^{b}-3\cdot 2^{a} \Rightarrow 2^{a}(2^{b-a}-3)=4 \Rightarrow a=2, b-a=2 \Rightarrow x=6 \Rightarr...
από Prødigy
Τετ Μαρ 13, 2019 2:46 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2769
Προβολές: 226746

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Άσκηση 1375 Μία εύκολη: Αν $a^2+b^2+c^2=1$ να αποδειχθεί ότι $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}$ Πότε ισχύει η ισότητα; Αρκεί $\displaystyle \sum(\dfrac{1}{a^2}-1) \geqslant 2\sum \dfrac{a^2}{bc}$. Όμως, $\dfrac{1}{a^2}-1=\dfrac{b^2+c^2}{a^2}$ και τα κυκλικά...
από Prødigy
Τρί Μαρ 12, 2019 10:06 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2769
Προβολές: 226746

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Άσκηση 1375

Μία εύκολη:

Αν a^2+b^2+c^2=1 να αποδειχθεί ότι

\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}

Πότε ισχύει η ισότητα;
από Prødigy
Δευ Μαρ 11, 2019 7:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με τρείς μεταβλητές
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 697

Re: Ανισότητα με τρείς μεταβλητές

Έχουμε ότι $a^3+b^3+c^3\geq ab(a+b)+c^3\geq 2c\sqrt{abc(a+b)}$ Κάνοντας το ίδιο στα άλλα μέλη προκύπτει $a^3+c^3+b^3\geq 2b\sqrt{abc(a+c)}$ και $b^3+c^3+a^3\geq 2a\sqrt{abc(b+c)}$ Αρκεί να αποδείξουμε ότι $2a\sqrt{abc(b+c)}\geq \frac{a\sqrt{abc(b+c)}}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 8> 1$ Όμοια δουλεύουμε ...
από Prødigy
Δευ Μαρ 11, 2019 5:04 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Εξίσωση με πρώτο αριθμό
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 740

Re: Εξίσωση με πρώτο αριθμό

Η εξίσωση γίνεται $py^4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$ Παρατηρούμε ότι αφού $p$ πρώτος, υποχρεωτικά πρέπει $x,y$ περιττοί, ώστε να ισχύει η ισότητα. Θέτοντας $y=1$ παίρνουμε ως λύσεις τα ζεύγη $(p,y,x)=(5,1,1) (5,-1,-1)(5,-1,1)(5,1,-1)$ Είναι εμφανές ότι δεν υπάρχουν λύσεις για $p<5$ Τώρα πρέπει να αποδείξου...
από Prødigy
Δευ Μαρ 11, 2019 1:15 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1035

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

Για το 6ο: Προφανώς το έτος γέννησης είναι 4-ψήφιος, έστω ${\overline{xyzw}}$. Έχουμε ότι $(max)x+y+z+w=36$ , άρα δεν μπορεί να γεννήθηκε πριν το $1860$. Ελέγχουμε τώρα ανά δεκαετία τις ηλικίες: 1)$1+8+6+a=15+a$, οπότε $15\leq A\leq 24$ 2)$1+8+7+b=16+b$, οπότε $16\leq A\leq 25$ 3)$1+8+8+c=17+c$, οπό...
από Prødigy
Κυρ Μαρ 10, 2019 11:01 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Απαντήσεις: 288
Προβολές: 37613

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Άσκηση 112

Αν p πρώτος και 0<k<p να αποδειχθεί ότι ο p διαιρεί τον \binom{p}{k}
από Prødigy
Δευ Φεβ 25, 2019 4:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (6η τάξη)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 521

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (6η τάξη)

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας XXX Μαθηματική Γιορτή, θέματα 6ης τάξης. Πρόβλημα 3. Ο Σίμος δεν ξέρει να γράφει μερικά γράμματα και αφήνει πάντα λάθος σε αυτά. Στην λέξη ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ θα άφηνε έξι λάθη, στη λέξη ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ εφτά και στη λέξη ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟ εννέα. Πόσα λάθη θα κάνει στη λέξη ΟΚΤΑΕΔΡΟ; [6...
από Prødigy
Κυρ Φεβ 24, 2019 7:02 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 534

Re: Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων

Καλησπέρα.

Έχουμε ότι a+b=\frac{x+y}{y}+\frac{x+y}{x}=\frac{(x+y)^2}{xy} και ab=\frac{(x+y)^2}{xy}

Συνεπώς a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(ab)^2-2ab=ab(ab-2)

Άρα ab(ab-2)=3*5

ab=3 απορρίπτεται, άρα ab=5

Οπότε a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=(ab)^3-3(ab)^2=(ab)^2(ab-3)=25*2=50
από Prødigy
Σάβ Φεβ 23, 2019 9:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 9167

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Τα αποτελέσματα βγήκαν!
http://www.hms.gr/?q=node/1514
από Prødigy
Σάβ Φεβ 23, 2019 4:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 9167

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Για το $4$ των μικρών. Σε καμία περίπτωση δεν γίνεται οι $5a-2b$, $3a-4b$ να είναι και οι δύο πολλαπλάσια των $3$ εκτός αν $3|a,b$. Συνεπώς, πάντα θα υπάρχει κάποιος που δεν διαιρείται με το $3$, αφού αν wlog $x$ ο τελευταίος που δεν διαιρείται από αυτό τότε θα επιλεχθεί μαζί με πολλαπλάσιο του $3$...
από Prødigy
Παρ Φεβ 22, 2019 5:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Δυνάμεις δυνάμεων
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 529

Re: Δυνάμεις δυνάμεων

Διαγραφή λανθασμένης απάντησης.
από Prødigy
Παρ Φεβ 22, 2019 3:20 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Άθροισμα δύο παλίνδρομων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 636

Re: Άθροισμα δύο παλίνδρομων

Έστω ${\overline{xy}}$ ο ζητούμενος.Παρατηρούμε πώς υποχρεωτικά πρέπει ο $y$ να είναι μικρότερος ή ίσος από τον $x$ γιατί αν είναι μεγαλύτερος τότε υποχρεωτικά ο ${\overline{xy}}$ γράφεται ως άθροισμα του ${\overline{xx}}$ και ενός μονοψήφιου παλίνδρομου. Για $x=1$ έχουμε τις εκδοχές των $10$ και $1...
από Prødigy
Δευ Φεβ 18, 2019 9:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Εφαπτομένη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 509

Εφαπτομένη

Σε μία ευθεία παίρνουμε με τη σειρά τα σημεία $A,B,C$ . Με διαμέτρους τα $AB, BC$ χαράσουμε κύκλους $C1,C2$ .Ένας τρίτος κύκλος $C$, που εφάπτεται της $AC$ στο $B$ τέμνει τους $C1,C2$ στα σημεία $D,E$ αντίστοιχα.Η ευθεία $DE$ τέμνει τους $C1,C2$ ,στα σημεία $Z,H$. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες $AZ,CH...
από Prødigy
Παρ Φεβ 15, 2019 12:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 133
Προβολές: 19374

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Ναι, και εγώ την ίδια απορία έχω. Και εμείς, δύο άτομα από το σχολείο μου τόσο γράψαμε και δεν περάσαμε. Μπορεί κάποιος να μας διαφωτίσει; Συγχαρητήρια σε όλους τους επιτυχόντες!Μπορεί να μου πει κάποιος που διακρίθηκε από τη β λυκείου πόσο πιστεύει ότι έγραψε στον Ευκλείδη;Έχω απορία γιατί θεωρουσ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση