Η αναζήτηση βρήκε 200 εγγραφές

από Xriiiiistos
Σάβ Ιαν 18, 2020 1:49 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Και εκθετική ανίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 477

Re: Και εκθετική ανίσωση

Το θέμα που εμπεύστηκε η άσκηση βιβλίο μαθηματικοί διαγωνισμοί 2 σελ 20 εφαρμογή 4 Η λύση $(a+b)^{b}=\frac{(a+b)^{b+1}}{a+b}=(\frac{a}{b}+1)^{b+1}\frac{b^{b+1}}{a+b}\geq (\frac{a}{b}(b+1)+1)\frac{b^{b+1}}{a+b}$ $=a\frac{b^{b}}{a+b}+a\frac{b^{b+1}}{a+b}+\frac{b^{b+1}}{a+b}$ στην ανίσωση χρεισιμοποιήθ...
από Xriiiiistos
Πέμ Ιαν 16, 2020 1:45 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πρόοδος και ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 110

Re: Πρόοδος και ανισότητα

Αν $a_{n+1}=a_n(2-a_{n+1}),n=1,2,...,$ με $\dfrac{1}{2}<a_1<\dfrac{2}{3}$, να δείξετε ότι $\displaystyle n+\dfrac{1}{2}<\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{a_k}<n+2.$ Ωραία άσκηση Έστω $a_{n+1}$ αρνητικό τότε $1-a_{n+1}>0$ άρα $a_{n}$ αρνητικό και επαγωγικά $a_{1}<0$ άτοπο. Αν ένας ήταν μηδέν τότε όλοι είναι μ...
από Xriiiiistos
Τρί Ιαν 14, 2020 8:50 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Ερώτηση για περιοδικές συναρτήσεις
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 293

Re: Ερώτηση για περιοδικές συναρτήσεις

Μου είχε δημιουργηθεί και εμένα η ίδια απορία πριν λίγες μέρες προσπαθώντας να λύσω μια συναρτησιακή εξίσωση :? Άλλη μία, δεν έχω απάντηση. Γίνεται μια συνεχής συνάρτηση $f$ να έχει περιόδους $A,B\not\equiv 0$ ώστε να μην υπάρχουν $K,L\in \mathbb{N}$ ώστε $A=KB,LA=B$ και αν πάρουμε οποιοδήποτε υποδι...
από Xriiiiistos
Τετ Ιαν 08, 2020 11:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Και εκθετική ανίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 477

Re: Και εκθετική ανίσωση

Επαναφορά, αν δεν δημοσιευθεί λύση σε λίγες μέρες θα την ανεβάσω εγώ το a\geq b,c
δεν χρειάζεται (ολά χρειάζεται ότι είναι θετικοί)
από Xriiiiistos
Τετ Ιαν 08, 2020 11:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μεσάτη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 132

Re: Μεσάτη

$ED\cap BC\equiv P$ $\widehat{CAS}=\widehat{DES}=\widehat{SBC}$ άρα $ESPB$ εγγράψιμο δηλαδή $\widehat{SPB}=90^{\circ}$ Προφανώς τώρα $MPSN$ εγγράψιμο και έχουμε $\widehat{ESD}=\widehat{CAB}=\widehat{BSC}$ ΚΑΙ $\widehat{DES}=\widehat{DAS}=\widehat{CBS}$ άρα $ESD,BSC$ (i) όμοια τρίγωνα. $\widehat{NSM}...
από Xriiiiistos
Σάβ Νοέμ 23, 2019 12:00 am
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
Απαντήσεις: 44
Προβολές: 3970

Re: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο

Καλησπέρα σας, είμαι γονιός ενός μαθητή που συμμετείχε φέτος στην JBMO (του Θάνου Παπαλέξη) . Mε αφορμή αυτή τη δημοσίευση στο mathematica και τους προβληματισμούς που τέθηκαν από κάποιους μαθητές, γονείς και καθηγητές αλλά και τις δικές μου ανησυχίες, θέλω να σας αναφέρω κάτι. Στις 3-9-2019 έγινε ...
από Xriiiiistos
Πέμ Νοέμ 21, 2019 3:42 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Χάνοντας τα μισά
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 141

Re: Χάνοντας τα μισά

$MS\cap AD\equiv E$ το οποίο είναι μέσο του $AD$ και $SM$. k μέσο $BC$ τότε το $ENKL$ είναι πλάγιο παραλληλόγραμμο αφού $EN,LK$ ΕΊΝΑΙ ίσες και παράλληλες με το μισό της AC. Επιπροσθέτως έχουμε E,M,K συνευθειακά. $(MDSP)=(MDS)+(PSM)=\frac{(PSMB)+(MASD)}{2}=$ $=(SBM)+(MAD)=2(MED)+2(BME)=2(BMDE)$ $2(BE...
από Xriiiiistos
Δευ Νοέμ 11, 2019 3:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά από τους κύκλους
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 139

Συνευθειακά από τους κύκλους

Δεν την έχω κοιτάξει ακόμα αλλά το geogebra μου βγάζει πως ισχύει οπότε δεν είμαι σίγουρος για το αν είναι στο σωστο επίπεδο. Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και ο εγγεγραμμένος του κύκλος τέμνει τις $BC,AC,AB$ στα $D,E,Z$ αντίστοιχα. $(O)$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του ABC. Οι εφαπτομένες του $(O)$ στα σημεία...
από Xriiiiistos
Σάβ Νοέμ 02, 2019 4:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Είναι το τρίγωνο ισόπλευρο?
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 653

Re: Είναι το τρίγωνο ισόπλευρο?

Μια απάντηση που αν δεν είναι για Α λυκείου τότε είναι για Β λυκείου 1Ο ΘΕΩΡΗΜΑ σε κάθε τρίγωνο έγκεντρο, βαρύκεντρο, ορθόκεντρο είναι συνευθειακά στην ευθεία Euler 2Ο ΘΕΩΡΗΜΑ σε κάθε τρίγωνο η διχοτόμος μιας κορυφής βρίσκεται ανάμεσα στο ύψος και στην διάμεσο από την ίδια κορυφή αν δεν ταυτίζονται ...
από Xriiiiistos
Τετ Οκτ 30, 2019 4:06 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μια ανισότητα
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 175

Μια ανισότητα

Γεια τους θετικούς $x,y,z$ δείξτε ότι $11\sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq 6(2\sum x-\sum \dfrac{3x^{2}+4x-y-z}{y+z+1})^{3}+(\sum \dfrac{x}{\sqrt{y+z+1}})^{6}$ Τα $\sum$ : $\sum \dfrac{x^{6}}{yz}=\dfrac{x^{6}}{yz}+\dfrac{y^{6}}{zx}+\dfrac{z^{6}}{xy}$ $\sum x=x+y+z$ $\sum \dfrac{3x^{2}+4x-y-z}{y+z+1}=\dfrac...
από Xriiiiistos
Παρ Σεπ 20, 2019 10:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1050

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019

Πρόβλημα 2. Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Gamma$ κέντρου $Ο$. Έστω $I$ το έκκεντρο του $ABC$ και $D, E, F$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$ με τις $BC, AC, AB$, αντίστοιχα. Αν $S$ είναι το ίχνος της κάθετης από το σημείο $D$ προς την ευθεία $EF$, να αποδ...
από Xriiiiistos
Παρ Σεπ 13, 2019 12:24 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1284

Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία

G5. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με $AB<AC<BC$ και έστω $D$ σημείο στην προέκταση του $BC$ από τη μεριά του $C$. Ο κύκλος $c_1$ με κέντρο το $A$ και ακτίνα $AD$ τέμνει τις ευθείας $AC,AB$ και $CB$ στα $E,F$ και $G$ αντίστοιχα. Ο περιγεγραμμένος κύκλος $c_2$ του τριγώνου $AFG$ τέμνει ξανά τις ευθείας...
από Xriiiiistos
Τρί Αύγ 20, 2019 3:58 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 606

Re: Συναρτησιακή!

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:Z^{+} \rightarrow Z^{+}$ ,ώστε $xf(x)+f(y)|yf(x)^2+f(y)^2$ για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων $(x,y)$. Έχει λάθος Θα δημιουργήσουμε διαφορά τετραγώνων ώστε να εμφανιστεί το "κάτω" μέλος. Θέτω όπου y το $g(x)-x^{2}$ με g(x) τέτοιο ώστε να επαληθεύει τους περιοριμούς (...
από Xriiiiistos
Κυρ Ιούλ 28, 2019 11:09 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολωνέζικη πεταλούδα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 782

Re: Πολωνέζικη πεταλούδα

Πολωνέζικη πεταλούδα.png Στο εσωτερικό εγγεγραμμένου τετραπλεύρου $ABCD$ υπάρχει σημείο $S$ ώστε $\displaystyle A\widehat SD = B\widehat SC$ και $\displaystyle A\widehat DS = C\widehat BS.$ Αν η διχοτόμος της γωνίας $A\widehat SB$ τέμνει τον κύκλο στα $P, Q,$ να δείξετε ότι $SP=SQ.$ Θα το γράψω λύγ...
από Xriiiiistos
Σάβ Ιούλ 27, 2019 12:40 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά και ομοκυκλικά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 401

Re: Συνευθειακά και ομοκυκλικά

Συνευθειακά και ομοκυκλικά.pngΠάνω στη διάμετρο $AB$ , κύκλου $(O,r)$ , θεωρούμε σημεία $P,Q$ , ώστε : $AP=QB<r$ . Από τυχαίο σημείο $S$ της προέκτασης της $AB$ φέραμε την εφαπτομένη $ST$ και ονομάσαμε $T'$ το αντιδιαμετρικό του $T$ . Οι ημιευθείες $TP,TQ$ τέμνουν τον κύκλο και την $TS$ στα σημεία ...
από Xriiiiistos
Παρ Ιούλ 26, 2019 10:00 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα από την Ιταλία
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 916

Re: Καθετότητα από την Ιταλία

Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ φέρουμε τη διχομόμο $AD$ και έστω $M$ το μέσο του $AD$.Στο τμήμα $BM$ παίρνουμε σημείο $ N$ , ώστε $\angle ANM=\angle DAC$. Να αποδειχθεί ότι $ AN\perp NC$. Δουλεύω σε σχήμα AB<AC ΚΑΙ N μέσα στο τρίγωνο Θα τη λύσω με αρμονικότητα. Έστω $R\equiv BM\cap AC$ και από το $B...
από Xriiiiistos
Πέμ Ιούλ 25, 2019 10:07 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 5310

Re: IMO 2019

Οι μεταρρυθμίσεις που έχω δει με την παιδεία, τουλάχιστον τα τελευταία χρόνια, χαρακτηρίζονται από πρόχειρη δουλειά και επέμβαση σε κλάδους από άτομα που δεν γνωρίζουν για αυτόν. Χαρακτηστικό παράδειγμα είναι η τελευταία αλλαγή επί Γαβρόγλου -χρησιμοποιώντας αρκετά επιχειρήματα που δεν έστεκαν- και ...
από Xriiiiistos
Σάβ Ιούλ 20, 2019 3:09 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 5310

Re: IMO 2019

Συγχαρητήρια σε όλους όσους συμμετείχαν με οποιοδήποτε τρόπο και κυρίως στα παιδιά που αγωνίστηκαν σε αυτόν τον απαιτητικό διαγωνισμό.
από Xriiiiistos
Παρ Ιούλ 19, 2019 7:36 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Και εκθετική ανίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 477

Και εκθετική ανίσωση

Για τους θετικούς a\geq b,c να αποδειχθεί

(a+b)^{b}+(a+c)^{c}\geq 2a\sqrt{\dfrac{b^{b}c^{c}}{(a+b)(a+c)}}+4\sqrt{\dfrac{a\cdot b^{b+1}c^{c+1}}{(a+b)(a+c)}}

και να εξεταστεί αν χρειάζεται η ισότητα.
από Xriiiiistos
Παρ Ιούλ 05, 2019 4:14 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τυχαίο σημείο σε πολύγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 272

Re: Τυχαίο σημείο σε πολύγωνο

Βασικά είναι μια μορφή γενίκευσης της τριγωνομετρικής μορφής Ceva. Mια άλλη γενίκευση για την μετρική σχέση ceva στο κύκλο είναι πως αν τα σημεία $A,B,C,D,E,F$ είναι σημεία της περιμέτρου κύκλου τοποθετημένα με αρκιβώς αυτήν την σειρά τότε οι $AD,BE,CF$ συντρέχουν αν και μόνο αν $\frac{AB}{BC}\cdot ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση