Ώρα εφαπτομένης 78.pngΤο τρίγωνο $ABC$ είναι ισοσκελές με βάση : $BC=6$ και σκέλη : $AB=AC=5$ . Από το σημείο $B$ διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος $AD$ στο σημείο $T$ και την πλευρά $AB$ στο $S$ . A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου : $BT\cdot BS$ B) Να υπολογισ...

Αρα οι συνολικές σωστές είναι $190$. Μια μικρή αλλά σημαντική διόρθωση. Οι συνολικές σωστές είναι τουλάχιστον 190. (Τα υπόλοιπα που ακολουθούν είναι σωστά.) Φυσικά και είναι τουλάχιστο 190 μέχρι 192. Μετά θέλουμε και άλλη ερώτηση Αλλά πήραμε την καλύτερη δυνατή περίπτωση με τις λιγότερες δυνατές ερ...

Είκοσι μαθητές έγραψαν τεστ. Κάθε μαθητής απάντησε σωστά σε διαφορετικό αριθμό ερωτήσεων και κάθε ερώτηση απαντήθηκε σωστά από το πολύ τρεις μαθητές. Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό ερωτήσεων του τεστ (δώστε και σχετικό παράδειγμα για το οποίο η τιμή αυτή είναι εφικτή). Καλημέρα, Αφού ενδιαφερόμαστε ...

Για το ερώτημα της μεγιστοποίησης: Εστω ότι η προέκταση της $MS$ επανατέμνει τον κύκλο στο $N$. $\angle NSA=45$ άρα το $N$ είναι μέσο του τόξου $AB$. Το $MNOB$ είναι εγγράψιμο σε σταθερό κύκλο διαμέτρου $NB$. Επομένως ο γ.τ. του $M$ είναι το (πράσινο) τόξο $NB$ του κύκλου $(K,KB)$. Επομένως το $AM$ ...

Ας μου επιτρέψει ο Γιώργος και ένα επιπλέον ερώτημα. Να βρεθούν οι ακτίνες των κύκλων (K) και (L) . Μετά τις δύο εξαιρετικές λύσεις του Νίκου, προσθέτω μία λύση ακόμα: $\bigtriangleup ABS\sim \bigtriangleup ASC\Rightarrow \dfrac{x}{a}=\dfrac{b}{x}=\dfrac{7}{5}\Rightarrow x^{2}=ab,..b=\dfrac{49}{25}...

Καλησπέρα σε όλους και Χρόνια Πολλά,





To τώρα γίνεται μέγιστο όταν η είναι κάθετη στην . Επομένως

Καλησπέρα, Φέρνουμε από το $C$ παράλληλη προς την $DS$. Εστω ο κύκλος $(A,3)$ και μεταβλητός κύκλος $(O,x)$ που έχει ως χορδή την $BF$. Προφανώς η ζητούμενη γωνία μεγιστοποιείται (άρα και το ημίτονο αυτής) όταν το $x$ γίνει ελάχιστο αρκεί οι δύο κύκλοι να έχουν κοινά σημεία (τα $C$). Αυτό συμβαίνει ...

Καλημέρα,

Κατσκευάζω το τρίγωνο με πλευρές . Με βάση την κατασκευάζω το ισόπλευρο .
Με βάση την κατασκευάζω το ισόπλευρο . Προφανώς .
Αρα το ζητούμενο τρίγωνο είναι το

Γιώργο καλησπέρα, Περιστρέφουμε το ισόπλευρο $KLM$ κατά 60 μοίρες δεξιόστροφα γύρω από το $M$ όπως στο σχήμα. Εύκολα προκύπτει ότι $\angle KSM=90+60=150$. Από ν. συνημιτόνων έχω: $k^{2}=3^{2}+4^{2}-2*3*4*cos(150)=25+12\sqrt{3}$ $(KLM)=\dfrac{k^{2}\sqrt{3}}{4}$. Από την Ασκηση του Μιχάλη έχω ότι $(AB...

Καλησπέρα Νίκο, Μια ιδέα για να υπολογίσουμε την $\angle ADC$ Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο $ADE$. Ευκολα προκύπτει ότι $\triangle ADB=\triangle ACE\Rightarrow EC=DB=5$ Αρα το $\triangle EDC$ ορθογώνιο άρα $\angle ADC=90-60=30$. Μετά $a^{2}=25-12\sqrt{3}$ $(ABC)=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ $(ADC)=3$ Τελ...

Γιώργο καλησπέρα,

Αν το δούμε γεωμετρικά είναι κάθε ευθεία (εδώ 2 ευθείες) που τα ισαπέχουν από αυτή και διέρχεται από το .

Επομένως πρόκειται για την ευθεία που διέρχεται από το και από το μέσο της καθώς και την παράλληλη στην

Χρόνια πολλά, με υγεία σε όλους τους εορτάζοντες και ιδιαιτέρως στους:

Γιώργο Βισβίκη και
Γιώργο Μήτσιο (πατρίδα)

Καλησπέρα σε όλους,

Καλησπέρα, παρόμοια με του Γιώργου.

Φέρνουμε την όπως στο σχήμα. Προφανώς και μεσοκάθετη του . Αρα

Μετά με Π.Θ. στο

ΘΕΜΑ 2 Σε ένα πάρτι συμμετείχαν 2021 άτομα. Είναι γνωστό ότι σε κάθε τρία από αυτά κάποιος από αυτούς (τους τρεις) γνωρίζει τους άλλους δύο. Να δείξετε ότι κάποιος από τους συμμετέχοντες γνωρίζει όλους τους υπόλοιπους. Δύο άγνωστοι μεταξύ τους σχηματίζουν ένα ζεύγος αγνώστων. Κάθε άλλο ζεύγος αγνώσ...

Γιώργο καλημέρα, ενδιαφέρουσα γωνία, ενδιαφέρουσα άσκηση. Με βάση το τρίγωνο $ABC$ δημιουργούμε το ισόπλευρο (εύκολα) του Σχήματος 1. Προκύπτει επομένως ότι το ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές a,a,b είναι της μορφής 20,20,140. Στη συνέχεια σχηματίζουμε το Σχήμα 2 το οποίο με έμμεσο κριτήριο ισότητας τρι...

Φέρνω από το παράλληλη προς την και από τα και τις παράλληλες προς την .
Εύκολα έχω ότι .
Από το παραλληλόγραμμο .

Αρα

Ώρα μεγίστου συνημιτόνου.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ , είναι : $AB=6 , AC=7$ . Από το μέσο της $M$ της $AC$ , φέρω $MD \perp AB$ . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του $\cos\theta , (\theta=\widehat{BMD} )$ . Καλησπέρα, $cos\theta=sin\phi=\dfrac{AF}{AB}\leqslant \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3.5}{6}=\dfrac{7}{12}\Righ...

Καλημέρα σε όλους. Καθετότητα και διπρόσωπη...PNG Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $AB=2AC$. Στην προέκταση της $BC$ θεωρούμε $CE=BC$ και στην προέκταση της $EA$ σημείο $Z$ ώστε $\left ( BAC \right )=\left ( BAZ \right )$. Ι) Να εξεταστεί αν $BZ \perp EZ$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος. Καλησπέρα, Για την καθετό...