Εστω $O$ το κέντρο του κύκλου, $F=AD\cap (O,OA)$. Λόγω του ότι $AD$ διχοτόμος της $\angle A\Rightarrow FO$ μεσοκάθετη της $BC$. $\angle PSD=\angle AFO=\angle \phi$ (γωνίες με πλευρές κάθετες). $\angle ASP=\angle \phi=\angle FAO$ και αφού $SP,AP$ κάθετες$\Rightarrow SA,AO$ κάθετες δηλ. η $SA$ είναι ε...

Καλησπέρα Γιώργο και Ορέστη,

Οι γωνίες του σχήματος προκύπτουν εύκολα. Από την παραλληλία των έχουμε:

.

Για τα ερωτήματα α), β). Φέρνουμε την μεσοκάθετη της $AB$ που προφανώς διέρχεται από το $O$ και τέμνει τον μεγάλο κύκλο έστω στο $F$. (Σχ.1) $\angle AFB=\angle ASB\Rightarrow \angle AFM=\angle PSK=\angle \phi$ $tan(\phi)=3/p=a/FM=\frac{a}{5+\sqrt{25-a^{2}}}\Rightarrow p=\frac{3(5+\sqrt{25-a^{2}})}{a...

Η εξίσωση της $AD:y=2x-2$ και επειδή το $T\in AD\Rightarrow s=2t-2.\left [ 1 \right ]$ Η εξίσωση της $AB:y=-2x+2$ και επειδή $S\in AB\Rightarrow m=-2k+2.[2]$ $tan(\angle BCO)=2/4=tan(\angle ABO)\Rightarrow BC,BS$ κάθετες. $\Rightarrow tan(\angle S)=BC/BS=\sqrt{20}/\sqrt{k^{2}+(2-m)^{2}}=2/k$$=s/t=ta...

Καλημέρα, Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις για το $x$: $i) x\leq 0$ $ (\Rightarrow x<a)$ $f(x)=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-x+a}$ Εχουμε ότι: $x\leq 0\Rightarrow -x\geq 0\Rightarrow 1-x\geq 1\Rightarrow \frac{1}{1-x}\leq 1$ και $x\leq 0\Rightarrow -x\geq 0\Rightarrow 1+a-x\geq 1+a\Rightarrow \frac{...

Καλησπέρα, Λόγω της αριθμητικής προόδου έχουμε: $R_{1}=R_{2}-k$, και $R_{3}=R_{2}+k$, ($k$ το βήμα της προόδου). Από το απαραίτητο σχήμα έχουμε: $R_{1}+2R_{2}+R_{3}=\sqrt{2}(a-R_{1}-R_{3}).$ $\Rightarrow 4R_{2}=\sqrt{2}(a-2R_{2}).$ Με δεδομένο ότι: $R_{2}=(\sqrt{2}-1)/2$ και με αντικατάσταση παίρνου...

Εστω $(ABC)=25$ χωρίς βλάβη της γενικότητας. Eστω Επίσης $(DBS)=a$. $(ADE)=(ABE)4/5=(ABC)2/5*4/5=(ABC)8/25=8$. Τότε παίρνουμε διαδοχικά: $(DSA)=4a\Rightarrow (ASE)=8-4a\Rightarrow (SEC)=(ASE)*3/2=12-6a$ $\Rightarrow 8=(BSC)=(DEBC)-a-(12-6a)=17-a-12+6a\Rightarrow a=3/5$ Αρα $DS/SE=4a/(8-4a)=(12/5)/(2...

Και μια γεωμετρική λύση: Προεκτείνουμε την $AG$ η οποία προφανώς τέμνει την $BC$ στο αντιδιαμετρικό του $B$ λόγω του ότι $\angle AGB=90$. $CG=CB=a\Rightarrow CM$ κάθετη στην $GB$ Τα τρίγωνα $AEB,AGB,ABQ$ είναι όμοια (ορθογώνια και μια γωνία ίση) με την μία κάθετη πλευρά να είναι διπλάσια της άλλης (...

Γιώργο καλησπέρα, Εστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με κέντρο το μέσο του $AB$. Ετσι για τις κορυφές του τετραγώνου έχουμε: $A(-a/2,0), B(a/2,0), C(a/2,a), D(-a/2,a)$ Οι δύο κύκλοι έχουν τις εξισώσεις: $x^{2}+y^{2}=a^{2}/4$ (διαμέτρου $AB$) $\left ( x-a/2 \right )^{2}+\left ( y-a \right )^{2}=a^{2}$ ...

Καλημέρα, Από τα όμοια τρίγωνα $\bigtriangleup DSC\approx ABS$ προκύπτει ότι $AC/BD=2$ και έστω $DB=y, AC=2y$ Από το $C$ φέρνουμε παράλληλη προς την $DB$ που τέμνει την $AB$ στο $E$. Εστω επίσης $CF$ τη ύψος. Θέτω $FE=a$. Από Π.Θ. στο $\bigtriangleup CFE\rightarrow 16+a^{2}=y^{2}$ Από Π.Θ. στο $\big...

Για το α) Από το μέσο $E$ του $FD$ φέρω κάθετη σε αυτή που τέμνει την $BD$ στο $S$. Για το β) Για ευκολία θέτω $b=1$, οπότε ο ζητούμενος λόγος $a/b$ είναι το $a$. $tanu=1/a$, $SE=tanu*(a-1)/2=(a-1)/2a$ $tanv=SE/AE=\frac{a-1}{2a}*\frac{2}{a+1}=\frac{a-1}{a(a+1)}$ $tan(u+v)=\frac{tanu+tanv}{1-tanu*ta...

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019. 1η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη 1. Ο καθένας εκ δέκα ατόμων είναι είτε ευγενής και λέει πάντα την αλήθεια, είτε ψεύτης και λέει πάντα ψέματα. Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο αριθμό (όχι απαραίτητα ακέραιο). Ύστερα ο πρώτος είπε: «Ο αρ...

Πιο εύκολα καταλήγουμε στο από την ισότητα των τριγώνων
Αυτό γιατί είναι ορθογώνια με κοινή υποτείνουσα και . Η σχέση των γωνιών προκύπτει από τα τόξα στα οποία βαίνουν αυτές.

$CE^{2}=3*16=48$ $\Rightarrow CB^{2}=CE^{2}+3^{2}=57$ Εστω $O$ το κέντρο του κύκλου ακτίνας $r=19/2$. Προφανώς $CO$ μεσοκάθετη της $BD$. Από δύναμη του σημείου $F$:$a^{2}=y(2r-y)=y(19-y)$ $(1)$ Από Π.Θ. στο $\bigtriangleup CFB\rightarrow a^{2}=CB^{2}-y^{2}=57-y^{2}$ $(2)$ Από $(1), (2)\Rightarrow y=...

Ισότητα.pngΣυμπληρωματικά ερωτήματα : Υπολογίστε την $\tan\theta$ και το τμήμα $CT$ . $\angle SBC=90-\angle w/2\Rightarrow \angle SCB=90-\angle SBC=\angle w/2\Rightarrow \angle \theta=\angle w/2$ Αρα $BS=ST=x=r\sqrt{2}/2.$ $SC=\sqrt{4r^{2}-x^{2}}=r\sqrt{\frac{7}{2}}$ Επομένως: $tan\theta=tan(\angle...

Φέρνω την μεσοκάθετη της που προφανώς είναι διάμετρος του κύκλου και λόγω των γωνιών χωρίζει στην μέση το τόξο . Αρα .
Από Π.Θ. στο .
Από δύναμη του σημείου :

Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση. :coolspeak: Η αλήθεια είναι η ανάρτηση ήθελε να εκμαιεύσει μια διαφορετική λύση. Παρ' όλα αυτά η λύση του Αλέξανδρου είναι πολύ όμορφη και την διατήρησε στα πλαίσια της σχολικής ύλης. Καλημέρα, Μια κάπως διαφορετική λύση, αλλά εκτός σχολικής ύλης (...

Μια προσπάθεια. Εστω $h(x)=-6x^{2}-14y^{2}-18xy+6$ με μεταβλητή την $x$ και παράμετρο την $y$. Θα πρέπει $h(x)\geq 0$ δηλ. ετερόσημο του $a$ άρα με διακρίνουσα μη αρνητική και το $x$ να κινείται εντός των ριζών. $\Delta =(-18y)^{2}-4(-6)(6-14y^{2})=144-12y^{2}\geq 0\Rightarrow$ $-\sqrt{12}\leq y\leq...

Η $f(x)=x^{2}+px+q$ δεδομένου ότι ο συντελεστής του $x^{2}$ είναι σταθερός και $=1$ έχει σταθερό σχήμα και αλλάζει μόνο θέση ανάλογα με τις τιμές των $p,q$. Για τα $p=-4, q=7/2$ που υπολογίσαμε πιο πάνω έχουμε την παραβολή του σχήματος που οριακά εφάπτεται στις κόκκινες (απαγορευμένες περιοχές). Κά...

Αν πάλι $f(2)>-1/2$ τότε θα υπήρχαν άπειρες παραβολές (με άλλα $p,q$ έκαστη) και δεν θα υπήρχε μοναδική λύση, και δεν θα είχε νόημα η άσκηση ενδεχομένως. Ισχύει όμως κάτι τέτοιο; Αν ναι, τότε η άσκηση θα είχε άπειρες λύσεις. Θα πρέπει να τις δεχτούμε δε μας "εμποδίζει" κάτι στην εκφώνηση. Αν τα παρ...