Γιώργο καλησπέρα,

Αν το δούμε γεωμετρικά είναι κάθε ευθεία (εδώ 2 ευθείες) που τα ισαπέχουν από αυτή και διέρχεται από το .

Επομένως πρόκειται για την ευθεία που διέρχεται από το και από το μέσο της καθώς και την παράλληλη στην

Χρόνια πολλά, με υγεία σε όλους τους εορτάζοντες και ιδιαιτέρως στους:

Γιώργο Βισβίκη και
Γιώργο Μήτσιο (πατρίδα)

Καλησπέρα σε όλους,

Καλησπέρα, παρόμοια με του Γιώργου.

Φέρνουμε την όπως στο σχήμα. Προφανώς και μεσοκάθετη του . Αρα

Μετά με Π.Θ. στο

ΘΕΜΑ 2 Σε ένα πάρτι συμμετείχαν 2021 άτομα. Είναι γνωστό ότι σε κάθε τρία από αυτά κάποιος από αυτούς (τους τρεις) γνωρίζει τους άλλους δύο. Να δείξετε ότι κάποιος από τους συμμετέχοντες γνωρίζει όλους τους υπόλοιπους. Δύο άγνωστοι μεταξύ τους σχηματίζουν ένα ζεύγος αγνώστων. Κάθε άλλο ζεύγος αγνώσ...

Γιώργο καλημέρα, ενδιαφέρουσα γωνία, ενδιαφέρουσα άσκηση. Με βάση το τρίγωνο $ABC$ δημιουργούμε το ισόπλευρο (εύκολα) του Σχήματος 1. Προκύπτει επομένως ότι το ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές a,a,b είναι της μορφής 20,20,140. Στη συνέχεια σχηματίζουμε το Σχήμα 2 το οποίο με έμμεσο κριτήριο ισότητας τρι...

Φέρνω από το παράλληλη προς την και από τα και τις παράλληλες προς την .
Εύκολα έχω ότι .
Από το παραλληλόγραμμο .

Αρα

Ώρα μεγίστου συνημιτόνου.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ , είναι : $AB=6 , AC=7$ . Από το μέσο της $M$ της $AC$ , φέρω $MD \perp AB$ . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του $\cos\theta , (\theta=\widehat{BMD} )$ . Καλησπέρα, $cos\theta=sin\phi=\dfrac{AF}{AB}\leqslant \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3.5}{6}=\dfrac{7}{12}\Righ...

Καλημέρα σε όλους. Καθετότητα και διπρόσωπη...PNG Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $AB=2AC$. Στην προέκταση της $BC$ θεωρούμε $CE=BC$ και στην προέκταση της $EA$ σημείο $Z$ ώστε $\left ( BAC \right )=\left ( BAZ \right )$. Ι) Να εξεταστεί αν $BZ \perp EZ$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος. Καλησπέρα, Για την καθετό...

Καλησπέρα, Το $\bigtriangleup ADC$ είναι ισοσκελές οπότε φέρνουμε το ύψος $AM$ που προεκτεινόμενο τέμνει τον κύκλο στο $N$. Εύκολα τώρα προκύπτει από τις γωνίες ότι το εγγεγραμμένο $ABNC$ είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε οι διαγώνιες είναι ίσες δηλαδή $AN=48\Rightarrow AM=48/2=24$. Με π.θ. στο $\bigtr...

Χρόνια πολλά με υγεία σε όσους γιορταζουν και ειδικα στον
Νίκο Φραγκάκη.

Τηλέμαχε καλησπέρα, Νομίζω για αυτό πρέπει να σκεφθούμε ως εξής: Η πιθανότητα να μην περάσει κανένα αυτοκίνητο σε $30$ λεπτά είναι $1-0,95=0,05$ Χωρίζουμε το $30$λεπτο σε τρία $10$λεπτα και έστω $x$ η πιθανότητα να μην περάσει κανένα αυτοκίνητο σε $10$λεπτά. Τότε έχουμε $x*x*x=0,05\Rightarrow x=0,37...

Καλησπέρα, α) Για την κατασκευή: Παίρνω τμήμα $AD=a$ και στην προέκτασή του τμήμα $DF=b$. Κάθε σημείο του ημικυκλίου με διάμετρο την $AF$ μπορεί να είναι το σημείο $C$. β) Ευκολα το μέγιστο ύψος του τραπεζίου είναι η ακτίνα του κύκλου δηλ. $h_{max}=\dfrac{a+b}{2}$ γ) Αν είναι ορθογώνιο εύκολα έχουμε...

Καλησπέρα,

Ευκολα προκύπτει ότι το τμήμα μεγιστοποιείται όταν το είναι το σημείο που η παράλληλη της ευθείας εφάπτεται στον κύκλο.
Αυτό ισχύει για κάθε γωνία ευθείας και διαμέτρου. Τώρα για την 45 έχουμε: .

Εστω .

Επίσης ισχύει ότι:

Μια προσπάθεια με διανυσματικό λογισμό. Ο ρυθμός αύξησης της απόστασης $AB$ είναι η προβολή του διανύσματος της διαφοράς των ταχυτήτων $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$ των δεικτών πάνω στην ευθεία $AB$ που τα συνδέει. Δηλαδή $BD-AC$ που είναι το μέγεθος που πρέπει να μεγιστοποιηθεί. Από ομοιό...

Προεκτείνουμε την η οποία τέμνει την στο και την κάθετη από το προς την στο .

α) Τα τρίγωνα είναι ίσα λόγω ίσων γωνιών και του ότι . Αρα .

β) Αν μέσο της τότε και μέσο της οπότε βαρύκεντρο του άρα

Φέρνουμε την $FP=\left | \right |GA$. Τα τρίγωνα $PFC,EAP$ είναι ορθογώνια με κάθετες πλευρές $a,b$ άρα είναι ίσα και προκύπτει επίσης ότι: $\angle EPF=90$. και $EP=PF$. Επίσης επειδή $PC=\left | \right |ED\Rightarrow PF,DC$ κάθετες. Αρα: $\bigtriangleup EPF$ ορθογώνιο ισοσκελές. α) $\dfrac{EF}{AG}=...

Θα ξεκινήσω από το γενικότερο. Εστω $(SDC)=X\Rightarrow (DST)=mX$. Επίσης $(DSC)+(SCB)=(TSB)+(SCB)=(ABCD)/2\Rightarrow (STB)=X\Rightarrow (SCB)=X/m$. Αρα: $(TSBA)=\dfrac{(ABCD)}{2}-mX=X+\dfrac{X}{m}-mX=X(1+\dfrac{1}{m}-m) \Rightarrow \dfrac{(TSBA)}{(ABCD)}=\dfrac{1+\frac{1}{m}-m}{2(1+\frac{1}{m})}=\...