Η αναζήτηση βρήκε 128 εγγραφές

από Altrian
Πέμ Απρ 18, 2019 10:16 am
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Ορθογώνιοι μπελάδες
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 262

Re: Ορθογώνιοι μπελάδες

AO
Καλημέρα,

Κατασκευή:
Προεκτείνουμε την AO κατά τμήμα OB=a. Παίρνουμε το μέσο M της A'B. Το ζητούμενο σημείο S
είναι η τομή της AM με τον περίκυκλο του \bigtriangleup A'OA.

Ανάλυση:
\dfrac{1}{2}=\dfrac{A'S}{AS}=tan\phi=\dfrac{A'M}{A'A}=\dfrac{A'M}{A'B}
από Altrian
Τρί Απρ 16, 2019 7:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Θέση για ..πρώτο λόγο
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 258

Re: Θέση για ..πρώτο λόγο

Καλησπέρα σε όλους. Για την κατασκευή: $\dfrac{u}{x}=\dfrac{b+y}{b}$ $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b+y}{y}$ Από τις ανωτέρω έχουμε: $\dfrac{u}{a}=\dfrac{y}{b}\Rightarrow \dfrac{y}{u}=\dfrac{b}{a}$ Αρα από το $A$ φέρνουμε παράλληλη προς την $BD$ που τέμνει το ημικύκλιο στο ζητούμενο σημείο $E$. Για το ii) δεν...
από Altrian
Δευ Απρ 15, 2019 11:24 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εμβαδόν ισοπλεύρου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 178

Re: Εμβαδόν ισοπλεύρου

Γιώργο καλημέρα και καλή εβδομάδα, Οι γωνίες προκύπτουν εύκολα όπου $\angle \phi+\angle \theta=60$. $\bigtriangleup ADC=\bigtriangleup BEC\Rightarrow (BEC)=k$ (μια πλευρά ίση με $a$ και οι προσκείμενες γωνίες $\phi, 60+\theta$). Εστω $E=(ABC)$. Εχουμε ότι: $k+l=(ABE)+(BEC)=(ABCE)=E+(AEC)\Rightarrow ...
από Altrian
Τρί Απρ 09, 2019 8:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λήμμα;
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 368

Re: Λήμμα;

\angle B+\angle C=120\Rightarrow \dfrac{\angle B}{2}+\dfrac{\angle C}{2}=60.
AFPE εγγράψιμο. Εύκολα προκύπτουν οι γωνίες, οπότε ABDE εγγράψιμο.
\bigtriangleup AED ισοσκελές \Rightarrow AM=MD
από Altrian
Σάβ Απρ 06, 2019 8:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Το τεστ του Ξεφτέρη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 183

Re: Το τεστ του Ξεφτέρη

$a,b,c$ μη αρνητικοί ακέραιοι $a+b+c=20$ $8a-5c=13\Rightarrow 8a-8=5a+5\Rightarrow 8(a-1)=5(c+1)$ Επειδή $5,8$ πρώτοι μεταξύ τους $a-1=5k, ,c+1=8k$ Από τις ανωτέρω προκύπτει ως μοναδική λύση η: $a-1=5\Rightarrow a=6$ $c+1=8\Rightarrow c=7$ $b=20-7-6=7$ $(a,b,c)=(6,7,7)$ Αρα το τρίγωνο $ABC$ είναι ισ...
από Altrian
Σάβ Απρ 06, 2019 1:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τύπου Α'
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 244

Re: Τύπου Α'

Γιώργο , σκοπίμως υπογράμμισα το "κατασκευάστε" , διότι αυτό είναι ίσως το πιο ενδιαφέρον ερώτημα της άσκησης . Το "η κατασκευή είναι πλέον απλή" , καλύτερα να αποφευχθεί σ' αυτή την περίπτωση ... Δεν καταλαβαίνω. Στην ουσία ζητάμε το μήκος του τμήματος $BS$ (ή του $AS$ ή του $ST$). Όταν ένα από αυ...
από Altrian
Παρ Απρ 05, 2019 8:24 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Πιο κοντά δεν γίνεται
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 170

Re: Πιο κοντά δεν γίνεται

Καλησπέρα σε όλους. Το τμήμα $AT$ είναι διάμετρος κύκλου που τέμνει την $CB$ και γίνεται ελάχιστος όταν εφάπτεται στην $CB$. Τότε έχουμε: $u=\dfrac{4*9}{\sqrt{97}}$ $\dfrac{u}{x}=\dfrac{9}{9-x}\Rightarrow x=\dfrac{36}{4+\sqrt{97}}\Rightarrow AT=2x=\dfrac{72}{4+\sqrt{97}}$. Χωρίς επιφύλαξη γιατί συμφ...
από Altrian
Πέμ Απρ 04, 2019 7:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Γίνε τμηματάρχης
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 340

Re: Γίνε τμηματάρχης

\bigtriangleup ACS\approx \bigtriangleup MOS\Rightarrow \frac{5+x}{2,5+x}=\frac{4}{2,5}\Rightarrow x=\frac{5}{3}
από Altrian
Τετ Απρ 03, 2019 9:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Μεγάλες κατασκευές 19
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 201

Re: Μεγάλες κατασκευές 19

Καλησπέρα,

Κατασκευή:
Κατασκευάζουμε ισοσκελές τραπέζιοADCE με DC=2x, AE=3x. Στην προέκταση της CM παίρνουμε τμήμα BM=CM.
To \triangle ABC είναι το ζητούμενο.

Απόδειξη:
AB=DM=FE=CN (η τελευταία ισότητα λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου FCEN)
από Altrian
Σάβ Μαρ 30, 2019 6:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ακραία μεγιστοποίηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 189

Re: Ακραία μεγιστοποίηση

Στην εξαιρετική λύση του Doloros θα ήθελα να προσθέσω μια τεκμηρίωση για την ταυτόχρονη μεγιστοποίηση των $PS,DE$. Δείχθηκε ότι τo $PS \rightarrow max$ όταν αυτή διέρχεται από το μέσο της $AB$. Τότε $AC=c\sqrt{2}$ και η $DE$ είναι μεν κάθετη στην $PS.$. Είναι όμως και μέγιστη ; Είναι γνωστό (;) ότι ...
από Altrian
Τρί Μαρ 26, 2019 2:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κλίση για μεγιστοποίηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 111

Re: Κλίση για μεγιστοποίηση

(KSP)=r*r*sin(\angle SKP)/2 άρα έχουμε μέγιστο όταν η γωνία \angle SKP=90

Τότε KF=r\frac{\sqrt{2}}{2}. Επίσης έχουμε ότι OK=r\sqrt{2}.

Αρα sin(\phi)=\frac{KF}{OK}=1/2\Rightarrow \angle \phi=30.

Αλλά \angle \phi+\angle \theta=45\Rightarrow \angle \theta=15
από Altrian
Τρί Μαρ 26, 2019 12:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη απόσταση από χορδή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 157

Re: Μέγιστη απόσταση από χορδή

Καλησπέρα,

Η κλίση της ευθείας AB είναι:\frac{9a-4a}{3-(-2)}=a.

Στο ζητούμενο σημείο M(x_{0},y_{0}) η κλίση της εφαπτομένης της παραβολής θα είναι επίσης a. Δηλαδή 2ax_{0}=a\Rightarrow x_{0}=1/2\Rightarrow y_{0}=a/4.

Αρα M(\frac{1}{2},\frac{a}{4})
από Altrian
Τετ Μαρ 13, 2019 3:04 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Νηστίσιμη
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 424

Re: Νηστίσιμη

Καλησπέρα σε όλους.

Φέρνουμε το ύψος AF και τις διαμέσους AN,CM. Ευκολα από π.θ. έχουμε ότι: MC=AN=3\sqrt{5}. AC=2\sqrt{10}

Το G είναι βαρύκεντρο του \triangle ABC οπότε GA=GC=2\sqrt{5}. Τότε το \triangle AGC είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε \angle \theta=45
από Altrian
Σάβ Μαρ 09, 2019 10:50 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Επαρκή δεδομένα για τον ..Μάξιμο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 431

Re: Επαρκή δεδομένα για τον ..Μάξιμο

Καλημέρα Γιώργο, Φέρνω από το $P$ την κάθετη $PG$ στην $AF$ που τέμνει τον κύκλο στο $S$. Ισχύει ότι $(PAE)=(PAF)=108=PG*AF/2\Rightarrow PG=9$. Ευκολα έχουμε ότι $PS=9+7+9=25$ δηλδή $PS$ διάμετρος. Αρα $AG=AF/2=24/2=12\Rightarrow PA=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=15$ $PB=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20\Rightarrow (APB...
από Altrian
Τετ Μαρ 06, 2019 4:46 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μεγάλες κατασκευές 18
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 171

Re: Μεγάλες κατασκευές 18

Τα τρίγωναABC, AED είναι όμοια με λόγο πλευρών (και υψών) \sqrt{2}. \Rightarrow (ABC)/(AED)=2\Rightarrow (AED)=(BCDE).
Ο περιορισμός των διχοτόμων καλύπτεται από την ισότητα των EB=ED=DC=a
από Altrian
Τρί Μαρ 05, 2019 7:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστη γωνία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 220

Re: Ελάχιστη γωνία

Καλησπέρα Θανάση.

SPDQ εγγράψιμο άρα \angle FDO=\angle S=\angle a+\angle b. KL\geq h_{a}+h_{b}=r\Rightarrow KL_{min}=r
Τότε \triangle OKL ισόπλευρο, άρα \angle a+\angle b=60 (που είναι η ελάχιστη ζητούμενη γωνία)
από Altrian
Σάβ Μαρ 02, 2019 1:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Ακρότατα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 426

Re: Ακρότατα

Γιώργο καλημέρα, Από την ύπαρξη του $\sqrt{3-3x^{2}}$ έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της $f(x)$ περιορίζεται τουλάχιστο εντός του διαστήματος $-1\leq x\leq 1$, οπότε $w.l.o.g.$ θέτουμε $x=cos(\phi)$. Εστω $a=\sqrt{5-4x}=\sqrt{5-4cos\phi}=\sqrt{2^{2}+1^{2}-2*1*2*cos\phi}$ . Πρόκειται δηλ. για το μήκος π...
από Altrian
Σάβ Μαρ 02, 2019 12:53 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ασυμμετρία και καθετότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 412

Re: Ασυμμετρία και καθετότητα

Καλημέρα Γιώργο και Στάθη. Ι) $2AE(BIC)=BC*BE*CZ\Rightarrow 2x(BIC)=(k+y)ky.....[1]$ Από π.θ. στο $\triangle ABC\rightarrow (x+y)^{2}+(x+k)^{2}=(y+k)^{2}\Rightarrow yk=x(x+y+k).....[2]$ Από τις $[1],[2]$ παίρνουμε: $2(BIC)=(y+k)(x+y+k)\Rightarrow IP=x+y+k$. Στην προέκταση της $OH$ παίρνω τμήμα $HF=I...
από Altrian
Πέμ Φεβ 28, 2019 9:42 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Υπερπέραν
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 389

Re: Υπερπέραν

Από θ. Διχοτόμου στο $\triangle CSB\Rightarrow \frac{CS}{SB}=\frac{2-h/3}{h/3}\Rightarrow \frac{16+(h-2)^{2}}{16+h^{2}}=\frac{(6-h)^{2}}{h^{2}}\Rightarrow$ $h^{3}-4h^{2}+24h-72=0$ Αναζητούμε την (τις) ρίζα της $f(h)=h^{3}-4h^{2}+24h-72$. Παρατηρούμε ότι $f(3)=-9$ και $f(4)=24$ δηλαδή ετερόσημα, οπότ...
από Altrian
Πέμ Φεβ 28, 2019 9:14 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Από μέγιστο ορθογώνιο σε τετράγωνο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 478

Re: Από μέγιστο ορθογώνιο σε τετράγωνο

Καλημέρα. Για το μέγιστο εμβαδό (δεύτερη προσπάθεια): Δημιουργώ τρίγωνο $\triangle DCF=\triangle ABP$. Εχουμε ότι: $(ABCD)/2=(DPC)+(APB)=(DPCF)$. Το τετράπλευρο $DPCF$ έχει δεδομένα τα μήκη των πλευρών του και ζητάμε την μεγιστοποίηση του εμβαδού του. Αυτό συμβαίνει όταν είναι εγγράψιμο. Το εμβαδό ε...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση