Καλημέρα,

Κατασκευή:
Προεκτείνουμε την κατά τμήμα . Παίρνουμε το μέσο της . Το ζητούμενο σημείο
είναι η τομή της με τον περίκυκλο του .

Ανάλυση:

Καλησπέρα σε όλους. Για την κατασκευή: $\dfrac{u}{x}=\dfrac{b+y}{b}$ $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b+y}{y}$ Από τις ανωτέρω έχουμε: $\dfrac{u}{a}=\dfrac{y}{b}\Rightarrow \dfrac{y}{u}=\dfrac{b}{a}$ Αρα από το $A$ φέρνουμε παράλληλη προς την $BD$ που τέμνει το ημικύκλιο στο ζητούμενο σημείο $E$. Για το ii) δεν...

Γιώργο καλημέρα και καλή εβδομάδα, Οι γωνίες προκύπτουν εύκολα όπου $\angle \phi+\angle \theta=60$. $\bigtriangleup ADC=\bigtriangleup BEC\Rightarrow (BEC)=k$ (μια πλευρά ίση με $a$ και οι προσκείμενες γωνίες $\phi, 60+\theta$). Εστω $E=(ABC)$. Εχουμε ότι: $k+l=(ABE)+(BEC)=(ABCE)=E+(AEC)\Rightarrow ...

.
εγγράψιμο. Εύκολα προκύπτουν οι γωνίες, οπότε εγγράψιμο.
ισοσκελές

$a,b,c$ μη αρνητικοί ακέραιοι $a+b+c=20$ $8a-5c=13\Rightarrow 8a-8=5a+5\Rightarrow 8(a-1)=5(c+1)$ Επειδή $5,8$ πρώτοι μεταξύ τους $a-1=5k, ,c+1=8k$ Από τις ανωτέρω προκύπτει ως μοναδική λύση η: $a-1=5\Rightarrow a=6$ $c+1=8\Rightarrow c=7$ $b=20-7-6=7$ $(a,b,c)=(6,7,7)$ Αρα το τρίγωνο $ABC$ είναι ισ...

Γιώργο , σκοπίμως υπογράμμισα το "κατασκευάστε" , διότι αυτό είναι ίσως το πιο ενδιαφέρον ερώτημα της άσκησης . Το "η κατασκευή είναι πλέον απλή" , καλύτερα να αποφευχθεί σ' αυτή την περίπτωση ... Δεν καταλαβαίνω. Στην ουσία ζητάμε το μήκος του τμήματος $BS$ (ή του $AS$ ή του $ST$). Όταν ένα από αυ...

Καλησπέρα σε όλους. Το τμήμα $AT$ είναι διάμετρος κύκλου που τέμνει την $CB$ και γίνεται ελάχιστος όταν εφάπτεται στην $CB$. Τότε έχουμε: $u=\dfrac{4*9}{\sqrt{97}}$ $\dfrac{u}{x}=\dfrac{9}{9-x}\Rightarrow x=\dfrac{36}{4+\sqrt{97}}\Rightarrow AT=2x=\dfrac{72}{4+\sqrt{97}}$. Χωρίς επιφύλαξη γιατί συμφ...

Καλησπέρα,

Κατασκευή:
Κατασκευάζουμε ισοσκελές τραπέζιο με . Στην προέκταση της παίρνουμε τμήμα .
To είναι το ζητούμενο.

Απόδειξη:
(η τελευταία ισότητα λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου )

Στην εξαιρετική λύση του Doloros θα ήθελα να προσθέσω μια τεκμηρίωση για την ταυτόχρονη μεγιστοποίηση των $PS,DE$. Δείχθηκε ότι τo $PS \rightarrow max$ όταν αυτή διέρχεται από το μέσο της $AB$. Τότε $AC=c\sqrt{2}$ και η $DE$ είναι μεν κάθετη στην $PS.$. Είναι όμως και μέγιστη ; Είναι γνωστό (;) ότι ...

άρα έχουμε μέγιστο όταν η γωνία

Τότε . Επίσης έχουμε ότι .

Αρα .

Αλλά

Καλησπέρα,

Η κλίση της ευθείας είναι:.

Στο ζητούμενο σημείο η κλίση της εφαπτομένης της παραβολής θα είναι επίσης . Δηλαδή .

Αρα

Καλησπέρα σε όλους.

Φέρνουμε το ύψος και τις διαμέσους . Ευκολα από π.θ. έχουμε ότι: .

Το είναι βαρύκεντρο του οπότε . Τότε το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε

Καλημέρα Γιώργο, Φέρνω από το $P$ την κάθετη $PG$ στην $AF$ που τέμνει τον κύκλο στο $S$. Ισχύει ότι $(PAE)=(PAF)=108=PG*AF/2\Rightarrow PG=9$. Ευκολα έχουμε ότι $PS=9+7+9=25$ δηλδή $PS$ διάμετρος. Αρα $AG=AF/2=24/2=12\Rightarrow PA=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=15$ $PB=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20\Rightarrow (APB...

Τα τρίγωνα είναι όμοια με λόγο πλευρών (και υψών) . .
Ο περιορισμός των διχοτόμων καλύπτεται από την ισότητα των

Καλησπέρα Θανάση.

εγγράψιμο άρα .
Τότε ισόπλευρο, άρα (που είναι η ελάχιστη ζητούμενη γωνία)

Γιώργο καλημέρα, Από την ύπαρξη του $\sqrt{3-3x^{2}}$ έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της $f(x)$ περιορίζεται τουλάχιστο εντός του διαστήματος $-1\leq x\leq 1$, οπότε $w.l.o.g.$ θέτουμε $x=cos(\phi)$. Εστω $a=\sqrt{5-4x}=\sqrt{5-4cos\phi}=\sqrt{2^{2}+1^{2}-2*1*2*cos\phi}$ . Πρόκειται δηλ. για το μήκος π...

Καλημέρα Γιώργο και Στάθη. Ι) $2AE(BIC)=BC*BE*CZ\Rightarrow 2x(BIC)=(k+y)ky.....[1]$ Από π.θ. στο $\triangle ABC\rightarrow (x+y)^{2}+(x+k)^{2}=(y+k)^{2}\Rightarrow yk=x(x+y+k).....[2]$ Από τις $[1],[2]$ παίρνουμε: $2(BIC)=(y+k)(x+y+k)\Rightarrow IP=x+y+k$. Στην προέκταση της $OH$ παίρνω τμήμα $HF=I...

Από θ. Διχοτόμου στο $\triangle CSB\Rightarrow \frac{CS}{SB}=\frac{2-h/3}{h/3}\Rightarrow \frac{16+(h-2)^{2}}{16+h^{2}}=\frac{(6-h)^{2}}{h^{2}}\Rightarrow$ $h^{3}-4h^{2}+24h-72=0$ Αναζητούμε την (τις) ρίζα της $f(h)=h^{3}-4h^{2}+24h-72$. Παρατηρούμε ότι $f(3)=-9$ και $f(4)=24$ δηλαδή ετερόσημα, οπότ...

Καλημέρα. Για το μέγιστο εμβαδό (δεύτερη προσπάθεια): Δημιουργώ τρίγωνο $\triangle DCF=\triangle ABP$. Εχουμε ότι: $(ABCD)/2=(DPC)+(APB)=(DPCF)$. Το τετράπλευρο $DPCF$ έχει δεδομένα τα μήκη των πλευρών του και ζητάμε την μεγιστοποίηση του εμβαδού του. Αυτό συμβαίνει όταν είναι εγγράψιμο. Το εμβαδό ε...