mathematica.gr

Altrian

Εχοντας ως βάση το σχήμα και την λογική του Γιώργου η γωνία $\angle \theta=\angle PMB$ μεγιστοποιείται όταν η

εφάπτεται στον κύκλο που διέρχεται από τα M,P,B

σταθερό.
Τότε $a^{2}=AP*AB=2,5x*4x=10x^{2}\Rightarrow x=\dfrac{a}{\sqrt{10}}$

Altrian

Για το i)

Φέρνω

κάθετη στην

. Τότε $\bigtriangleup DEC=\bigtriangleup CBF\Rightarrow BF=DZ, CF=CZ$ . Αρα HF=HZ

. Ετσι το $\bigtriangleup HBF$ είναι ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές τις DZ=BF, ZH=HF, HB

Altrian

Καλησπέρα σε όλους,

Εχω την εντύπωση ότι η σχέση AE=3ED

δεν χρειάζεται. Ολα όσα ζητά η άσκηση ισχύουν ανεξάρτητα της θέσης του

. Αφήνω και ένα σχήμα όπου προκύπτουν εύκολα τα ζητούμενα με τον σχηματισμό του ορθογωνίου τριγώνου. Το θέτω προς διαβούλευση με επιφύλαξη.

Altrian

Καλησπέρα,

$FD=\left | \right |AC\Rightarrow$ $\bigtriangleup FDC, \bigtriangleup EAB$ όμοια και ομοιόθετα ως προς την

. Επειδή

μέσο του $FC\Rightarrow M$ μέσο του

Altrian

Καλημέρα,
Για το

αλλιώς: (θέλω μόνο το BC=8

και έστω $r_{1}=3,..,r_{2}=5$ οι ακτίνες των κύκλων). Επειδή τα SP,BC

είναι χορδές ίσων εγγεγραμμένων γωνιών στους δύο κύκλους έχω:

$\dfrac{SP}{BC}=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow SP=\dfrac{3*BC}{5}=\dfrac{24}{5}$

Altrian

$(SNC)=2(SBN)=10.$. Επίσης $(BSC)+(SMC)=(BSA)+(SMA).$. Αλλά $(SMC)=(SMA)\Rightarrow (BSC)=(BSA)=15\Rightarrow (BSN)=20\Rightarrow (ABC)=3*20=60$. $(ABM)=\dfrac{(ABC)}{2}=30\Rightarrow (ASM)=15=(ASB)\Rightarrow BS=SM=a$ Φέρω την $LF=b\left | \right |BM\Rightarrow b=\dfrac{BM}{3}=\dfrac{2a}{3}$. Επίση...

Altrian

Καλησπέρα σε όλους, $(ABD)=(ABE)+(AED)=\dfrac{b}{2}+\dfrac{a}{2}\Rightarrow (ABD)^{2}=\dfrac{a^{2}+b^{2}+2ab}{4}=\dfrac{4R^{2}+4(ABD)}{4} \Rightarrow (ABD)^{2}-(ABD)-R^{2}=0$$\Rightarrow (ABD)=\dfrac{1+\sqrt{1+4R^{2}}}{2}$ Εχουμε όμως ότι: $(ABD)+(BCD)=16\Rightarrow \dfrac{1+\sqrt{1+4R^{2}}}{2}+R^{2...

Altrian

Καλημέρα,

Με δεδομένη την εύρεση της θέσης του μεγίστου εμβαδού από τον Γιώργο (George Visvikis) μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδό με βάση το σχήμα και ως εξής:
$AN=\dfrac{3}{2}*2=3\Rightarrow FM=2*3=6=MC$ . Ετσι (ABC)=(FMC)=6*6/2=18

Altrian

Καλησπέρα Γιώργο και Νίκο,

$\angle ACD=\angle ZAB=\angle \phi$ (γωνίες με πλευρές κάθετες).

$a=b*cos\phi=b*sin\phi+c*cos\phi\Rightarrow (b-c)cos\phi=b*sin\phi\Rightarrow tan\phi=\dfrac{b-c}{c}$

$a=b*cos\phi=b *\dfrac{1}{\sqrt{1+tan^{2}\phi}}=..=\dfrac{b^{2}}{\sqrt{2b^{2}+c^{2}-2bc}}$

Altrian

Νίκο καλησπέρα,

Παίρνουμε το συμμετρικό του

ως προς το

έστω

. Το

είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιες διχοτομούνται, άρα $\angle SFO=\theta$ . Το μέγιστο αυτής επιτυγχάνεται όταν η

είναι εφαπτόμενη του κύκλου. Τότε προφανώς $\angle \theta=30\Rightarrow \angle SOB=60$

Altrian

Εστω $r$ η ακτίνα του κύκλου. Οι διαγώνιες $BD,AC$ έχουν σταθερά μήκη ασχέτως της θέσης τους. $\left ( ABCD \right )=(ABD)+(CBD)=\dfrac{BD}{2}u_{1}+\dfrac{BD}{2}u_{2}=\dfrac{BD}{2}(u_{1}+u_{2}).$. Αλλά $u_{1}\leq AF$ και $u_{2}\leq CF.\Rightarrow (u_{1}+u_{2})\leq CA$. Αρα $(ABCD)_{max}=\dfrac{BD*AC...

Altrian

$PQ=PN\Rightarrow \angle QPM=\theta\Rightarrow \bigtriangleup QPM\sim \bigtriangleup TPQ$ $\Rightarrow \bigtriangleup PQM$ ισοσκελές. Φέρνουμε το ύψος του

και

.

$cos\theta=\dfrac{TF}{TP}=\dfrac{3a}{4a}=\dfrac{3}{4}$

Altrian

$(ADK)+6+(BLC)+9=\dfrac{(ABCD)}{2}=\dfrac{(ADK)+(BLC)+41}{2}\Rightarrow (ADK)+(BLC)=11$

(ABCD)=41+11=52

Δεν ξέρω αν είχε κάτι τέτοιο ο Νίκος κατά νου.

Σημ. Αρκούσε να δοθεί μόνο το άθροισμα των 6+9=15

.

Altrian

Για το β)
Εύκολα προκύπτει ότι MS=SA

αφού

μεσοκάθετη της

.
$\angle \phi+\angle \theta=\angle MAS=\angle AMS=45+\angle \phi$ (εξωτερική του $\bigtriangleup MCS$ . Αρα $\angle \theta=45$

Altrian

εγγράψιμο $\Rightarrow \angle CZD=45\Rightarrow EZ=5\Rightarrow DZ=13$

$(ABZ)+(DCZ)=(ABCD)/2\Rightarrow (ABZ)=\dfrac{89}{2}-\dfrac{5*13}{2}=12$

Altrian

Στρέφουμε το$\bigtriangleup AED$ κατά $90$ μοίρες γύρω από το $A$ και παίρνουμε το $\bigtriangleup AFB$. $FB^{2}+FE^{2}=BE^{2}\Rightarrow \angle BFE=90.$, Αλλά εκ κατασκευής $BF,ED$ κάθετες, άρα $F,E,D$ συνευθειακά. $BD^{2}=BF^{2}+FD^{2}=7+7+2+2\sqrt{14}=2(8+\sqrt{14})\Rightarrow a=\sqrt{8+\sqrt{14}}$

Altrian

Παρόμοια με του Γιώργου, την γράφω για τον κόπο.

Φέρνω από τα P,T

παράλληλες προς την

.

$\angle PT'M=90+\phi ..and.. \angle PTM=90-\phi\Rightarrow \angle PTM+\angle PT'M=180\Rightarrow PT'MTP'$ εγγράψιμο.

$BP*CT=BP*BT'=BM^{2}=\dfrac{a^{2}}{4}$

Altrian

Από Ηρωνα: $(ABC)=36\Rightarrow u=\frac{2(ABC)}{AB}=8$

Altrian

Εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδα «Βήμα στο μέλλον» του Κρατικού Τεχνικού Πανεπιστημίου Μόσχας Bauman (Πολυτεχνείο) Μια από τις εκδόσεις των θεμάτων για το 2019. 1. Ένας φοιτητής έγραψε πρόγραμμα που επαναχρωματίζει το πίξελ σε ένα από $128$ διαφορετικά χρώματα. Τα χρώματα αυτά είναι αριθμημένα με φυσικο...

Altrian

Καλημέρα, Βασίζομαι στο σχήμα του Κώστα και έχω: $a=DA=b+bcos\phi+asin\phi\Rightarrow b=\dfrac{a(1-sin\phi)}{1+cos\phi}$ $a=PQ=bsin\phi+acos\phi\Rightarrow b=\dfrac{a(1-cos\phi)}{sin\phi}$ Από την ισότητα των δεύτερων μελών παίρνω: $(1-sin\phi)sin\phi=(1-cos\phi)(1+cos\phi)=sin^{2}\phi\Rightarrow si...

Η αναζήτηση βρήκε 176 εγγραφές

Re: Μέγιστη αλλά μικρή

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Μέσο από συμμετρία

Re: Χορδομετρία 2

Re: Εμβαδόν χωρίς τύπους

Re: Εμβαδόν περίκυκλου

Re: Πόσο μεγάλο εμβαδόν

Re: Υπολογισμός πλευράς τετραγώνου

Re: Η μεγαλύτερη γωνία

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 124

Re: Ώρα συνημιτόνου 5

Re: Εμβαδόν παραλληλογράμμου 3

Re: Ομοκυκλικά και γωνία

Re: Τετράγωνο-44.

Re: Χωρίς τριγωνομετρία

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Απόσταση

Re: Ολυμπιάδα "Βήμα στο μέλλον"

Re: Κόκκινη επιφάνεια