Η αναζήτηση βρήκε 217 εγγραφές

από Altrian
Σάβ Ιαν 09, 2021 5:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ώρα εφαπτομένης 78
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 233

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

Ώρα εφαπτομένης 78.pngΤο τρίγωνο $ABC$ είναι ισοσκελές με βάση : $BC=6$ και σκέλη : $AB=AC=5$ . Από το σημείο $B$ διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος $AD$ στο σημείο $T$ και την πλευρά $AB$ στο $S$ . A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου : $BT\cdot BS$ B) Να υπολογισ...
από Altrian
Δευ Ιαν 04, 2021 1:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Μαθητές και τεστ
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 169

Re: Μαθητές και τεστ

Αρα οι συνολικές σωστές είναι $190$. Μια μικρή αλλά σημαντική διόρθωση. Οι συνολικές σωστές είναι τουλάχιστον 190. (Τα υπόλοιπα που ακολουθούν είναι σωστά.) Φυσικά και είναι τουλάχιστο 190 μέχρι 192. Μετά θέλουμε και άλλη ερώτηση Αλλά πήραμε την καλύτερη δυνατή περίπτωση με τις λιγότερες δυνατές ερ...
από Altrian
Δευ Ιαν 04, 2021 11:50 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Μαθητές και τεστ
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 169

Re: Μαθητές και τεστ

Είκοσι μαθητές έγραψαν τεστ. Κάθε μαθητής απάντησε σωστά σε διαφορετικό αριθμό ερωτήσεων και κάθε ερώτηση απαντήθηκε σωστά από το πολύ τρεις μαθητές. Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό ερωτήσεων του τεστ (δώστε και σχετικό παράδειγμα για το οποίο η τιμή αυτή είναι εφικτή). Καλημέρα, Αφού ενδιαφερόμαστε ...
από Altrian
Σάβ Ιαν 02, 2021 2:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ημικύκλιο επί ημικυκλίου ( ώρα εφαπτομένης 73)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 164

Re: Ημικύκλιο επί ημικυκλίου ( ώρα εφαπτομένης 73)

Για το ερώτημα της μεγιστοποίησης: Εστω ότι η προέκταση της $MS$ επανατέμνει τον κύκλο στο $N$. $\angle NSA=45$ άρα το $N$ είναι μέσο του τόξου $AB$. Το $MNOB$ είναι εγγράψιμο σε σταθερό κύκλο διαμέτρου $NB$. Επομένως ο γ.τ. του $M$ είναι το (πράσινο) τόξο $NB$ του κύκλου $(K,KB)$. Επομένως το $AM$ ...
από Altrian
Κυρ Δεκ 27, 2020 5:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Κοινή χορδή
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 281

Re: Κοινή χορδή

Ας μου επιτρέψει ο Γιώργος και ένα επιπλέον ερώτημα. Να βρεθούν οι ακτίνες των κύκλων (K) και (L) . Μετά τις δύο εξαιρετικές λύσεις του Νίκου, προσθέτω μία λύση ακόμα: $\bigtriangleup ABS\sim \bigtriangleup ASC\Rightarrow \dfrac{x}{a}=\dfrac{b}{x}=\dfrac{7}{5}\Rightarrow x^{2}=ab,..b=\dfrac{49}{25}...
από Altrian
Σάβ Δεκ 26, 2020 5:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο εμβαδόν 37
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 160

Re: Μέγιστο εμβαδόν 37

Καλησπέρα σε όλους και Χρόνια Πολλά,

(SPOA)=2(SOA)=(SBA)=(STA)

(STP)=(STA)-(SPA)=(SPOA)-(SPA)=(AOP)

To (AOP) τώρα γίνεται μέγιστο όταν η OP είναι κάθετη στην AB. Επομένως (SPT)_{max}=\dfrac{r^{2}}{2}
από Altrian
Τετ Δεκ 02, 2020 4:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο ημίτονο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 225

Re: Μέγιστο ημίτονο

Καλησπέρα, Φέρνουμε από το $C$ παράλληλη προς την $DS$. Εστω ο κύκλος $(A,3)$ και μεταβλητός κύκλος $(O,x)$ που έχει ως χορδή την $BF$. Προφανώς η ζητούμενη γωνία μεγιστοποιείται (άρα και το ημίτονο αυτής) όταν το $x$ γίνει ελάχιστο αρκεί οι δύο κύκλοι να έχουν κοινά σημεία (τα $C$). Αυτό συμβαίνει ...
από Altrian
Κυρ Νοέμ 22, 2020 12:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Ο στόχος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 290

Re: Ο στόχος

Καλημέρα,

Κατσκευάζω το τρίγωνο ODC με πλευρές 4, 3, 2. Με βάση την OD=4 κατασκευάζω το ισόπλευρο ADO.
Με βάση την AC κατασκευάζω το ισόπλευρο ABC. Προφανώς \triangle ADC = \triangle ABO\Rightarrow OB=DC=3.
Αρα το ζητούμενο τρίγωνο είναι το ABC
από Altrian
Τετ Οκτ 07, 2020 3:31 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Διαφορά ισοπλεύρων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 145

Re: Διαφορά ισοπλεύρων

Γιώργο καλησπέρα, Περιστρέφουμε το ισόπλευρο $KLM$ κατά 60 μοίρες δεξιόστροφα γύρω από το $M$ όπως στο σχήμα. Εύκολα προκύπτει ότι $\angle KSM=90+60=150$. Από ν. συνημιτόνων έχω: $k^{2}=3^{2}+4^{2}-2*3*4*cos(150)=25+12\sqrt{3}$ $(KLM)=\dfrac{k^{2}\sqrt{3}}{4}$. Από την Ασκηση του Μιχάλη έχω ότι $(AB...
από Altrian
Τρί Οκτ 06, 2020 7:57 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εμβαδόν τετραπλεύρου
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 295

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

Καλησπέρα Νίκο, Μια ιδέα για να υπολογίσουμε την $\angle ADC$ Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο $ADE$. Ευκολα προκύπτει ότι $\triangle ADB=\triangle ACE\Rightarrow EC=DB=5$ Αρα το $\triangle EDC$ ορθογώνιο άρα $\angle ADC=90-60=30$. Μετά $a^{2}=25-12\sqrt{3}$ $(ABC)=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ $(ADC)=3$ Τελ...
από Altrian
Τρί Απρ 28, 2020 1:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Όλα για την ισεμβαδικότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 741

Re: Όλα για την ισεμβαδικότητα

Γιώργο καλησπέρα,

Αν το δούμε γεωμετρικά είναι κάθε ευθεία (εδώ 2 ευθείες) που τα A,B ισαπέχουν από αυτή και διέρχεται από το O.

Επομένως πρόκειται για την ευθεία που διέρχεται από το O και από το μέσο C(5,2) της AB καθώς και την παράλληλη στην AB
από Altrian
Πέμ Απρ 23, 2020 3:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 1625

Re: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

Χρόνια πολλά, με υγεία σε όλους τους εορτάζοντες και ιδιαιτέρως στους:

Γιώργο Βισβίκη και
Γιώργο Μήτσιο (πατρίδα)
από Altrian
Δευ Απρ 20, 2020 7:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Αιχμηρό ισοσκελές
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 740

Re: Αιχμηρό ισοσκελές

Καλησπέρα σε όλους,
από Altrian
Τετ Απρ 08, 2020 9:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μετρική σε τετράγωνο 2
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 561

Re: Μετρική σε τετράγωνο 2

Καλησπέρα, παρόμοια με του Γιώργου.

Φέρνουμε την AG όπως στο σχήμα. Προφανώς AG=AF και AE μεσοκάθετη του FG. Αρα FE=EG=x+y

Μετά με Π.Θ. στο FCE\rightarrow (x+y)^{2}=(a-x)^{2}+(a-y)^{2}\Rightarrow ...\Rightarrow a(x+y)+xy=a^{2}
από Altrian
Κυρ Μαρ 15, 2020 10:45 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (27), Μικροί
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 458

Re: Τεστ Εξάσκησης (27), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Σε ένα πάρτι συμμετείχαν 2021 άτομα. Είναι γνωστό ότι σε κάθε τρία από αυτά κάποιος από αυτούς (τους τρεις) γνωρίζει τους άλλους δύο. Να δείξετε ότι κάποιος από τους συμμετέχοντες γνωρίζει όλους τους υπόλοιπους. Δύο άγνωστοι μεταξύ τους σχηματίζουν ένα ζεύγος αγνώστων. Κάθε άλλο ζεύγος αγνώσ...
από Altrian
Παρ Μαρ 06, 2020 8:49 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ενδιαφέρουσα γωνία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 204

Re: Ενδιαφέρουσα γωνία

Γιώργο καλημέρα, ενδιαφέρουσα γωνία, ενδιαφέρουσα άσκηση. Με βάση το τρίγωνο $ABC$ δημιουργούμε το ισόπλευρο (εύκολα) του Σχήματος 1. Προκύπτει επομένως ότι το ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές a,a,b είναι της μορφής 20,20,140. Στη συνέχεια σχηματίζουμε το Σχήμα 2 το οποίο με έμμεσο κριτήριο ισότητας τρι...
από Altrian
Τετ Φεβ 26, 2020 9:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ισοσκελές & κύκλος
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 354

Re: Ισοσκελές & κύκλος

Φέρνω από το O παράλληλη προς την AC και από τα T και A τις παράλληλες προς την BC.
Εύκολα έχω ότι \bigtriangleup OQT=\bigtriangleup SBO\Rightarrow OQ=2.
Από το παραλληλόγραμμο PATQ\Rightarrow QP=3.

Αρα PO=5\Rightarrow OA=5\Rightarrow OT=r=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4
από Altrian
Τρί Φεβ 18, 2020 1:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ώρα μεγίστου συνημιτόνου
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 603

Re: Ώρα μεγίστου συνημιτόνου

Ώρα μεγίστου συνημιτόνου.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ , είναι : $AB=6 , AC=7$ . Από το μέσο της $M$ της $AC$ , φέρω $MD \perp AB$ . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του $\cos\theta , (\theta=\widehat{BMD} )$ . Καλησπέρα, $cos\theta=sin\phi=\dfrac{AF}{AB}\leqslant \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3.5}{6}=\dfrac{7}{12}\Righ...
από Altrian
Δευ Ιαν 20, 2020 12:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Καθετότητα και ..διπρόσωπη εφαπτομένη
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 381

Re: Καθετότητα και ..διπρόσωπη εφαπτομένη

Καλημέρα σε όλους. Καθετότητα και διπρόσωπη...PNG Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $AB=2AC$. Στην προέκταση της $BC$ θεωρούμε $CE=BC$ και στην προέκταση της $EA$ σημείο $Z$ ώστε $\left ( BAC \right )=\left ( BAZ \right )$. Ι) Να εξεταστεί αν $BZ \perp EZ$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος. Καλησπέρα, Για την καθετό...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση