Χρόνια πολλά με υγεία σε όσους γιορταζουν και ειδικα στον
Νίκο Φραγκάκη.

Τηλέμαχε καλησπέρα, Νομίζω για αυτό πρέπει να σκεφθούμε ως εξής: Η πιθανότητα να μην περάσει κανένα αυτοκίνητο σε $30$ λεπτά είναι $1-0,95=0,05$ Χωρίζουμε το $30$λεπτο σε τρία $10$λεπτα και έστω $x$ η πιθανότητα να μην περάσει κανένα αυτοκίνητο σε $10$λεπτά. Τότε έχουμε $x*x*x=0,05\Rightarrow x=0,37...

Καλησπέρα, α) Για την κατασκευή: Παίρνω τμήμα $AD=a$ και στην προέκτασή του τμήμα $DF=b$. Κάθε σημείο του ημικυκλίου με διάμετρο την $AF$ μπορεί να είναι το σημείο $C$. β) Ευκολα το μέγιστο ύψος του τραπεζίου είναι η ακτίνα του κύκλου δηλ. $h_{max}=\dfrac{a+b}{2}$ γ) Αν είναι ορθογώνιο εύκολα έχουμε...

Καλησπέρα,

Ευκολα προκύπτει ότι το τμήμα μεγιστοποιείται όταν το είναι το σημείο που η παράλληλη της ευθείας εφάπτεται στον κύκλο.
Αυτό ισχύει για κάθε γωνία ευθείας και διαμέτρου. Τώρα για την 45 έχουμε: .

Εστω .

Επίσης ισχύει ότι:

Μια προσπάθεια με διανυσματικό λογισμό. Ο ρυθμός αύξησης της απόστασης $AB$ είναι η προβολή του διανύσματος της διαφοράς των ταχυτήτων $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$ των δεικτών πάνω στην ευθεία $AB$ που τα συνδέει. Δηλαδή $BD-AC$ που είναι το μέγεθος που πρέπει να μεγιστοποιηθεί. Από ομοιό...

Προεκτείνουμε την η οποία τέμνει την στο και την κάθετη από το προς την στο .

α) Τα τρίγωνα είναι ίσα λόγω ίσων γωνιών και του ότι . Αρα .

β) Αν μέσο της τότε και μέσο της οπότε βαρύκεντρο του άρα

Φέρνουμε την $FP=\left | \right |GA$. Τα τρίγωνα $PFC,EAP$ είναι ορθογώνια με κάθετες πλευρές $a,b$ άρα είναι ίσα και προκύπτει επίσης ότι: $\angle EPF=90$. και $EP=PF$. Επίσης επειδή $PC=\left | \right |ED\Rightarrow PF,DC$ κάθετες. Αρα: $\bigtriangleup EPF$ ορθογώνιο ισοσκελές. α) $\dfrac{EF}{AG}=...

Θα ξεκινήσω από το γενικότερο. Εστω $(SDC)=X\Rightarrow (DST)=mX$. Επίσης $(DSC)+(SCB)=(TSB)+(SCB)=(ABCD)/2\Rightarrow (STB)=X\Rightarrow (SCB)=X/m$. Αρα: $(TSBA)=\dfrac{(ABCD)}{2}-mX=X+\dfrac{X}{m}-mX=X(1+\dfrac{1}{m}-m) \Rightarrow \dfrac{(TSBA)}{(ABCD)}=\dfrac{1+\frac{1}{m}-m}{2(1+\frac{1}{m})}=\...

α) $SB^{2}=SP^{2}+PB^{2}\Rightarrow 2a^{2}=\dfrac{b^{2}}{2}+\dfrac{b^{2}}{2}+a^{2}+ba\sqrt{2}\Rightarrow \dfrac{b^{2}}{a^{2}}+\dfrac{b\sqrt{2}}{a}-1=0$ Αρα $\dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$. β) Τα τρίγωνα $STA, CTB$ είναι όμοια, άρα: $\dfrac{AT}{TC}=\dfrac{SA}{CB}= \dfrac{SA}{SB}=\dfrac{AD...

Μικροδιαφορά επέκταση.pngΓια την απάντηση στα αρχικά ερωτήματα αρκεί ο λόγος $\dfrac{c}{b}$ , που είναι $\dfrac{2}{3}$ όπως εννοεί ο Μιχάλης με την έκφραση "και λοιπά" . Αν όμως θέλουμε να βρούμε έναν τύπο για την διαφορά αυτή , ( το κόκκινο εξόγκωμα του Antrian ) , θα χρειασθούμε και την πλευρά $a...

Καλημέρα,

Η μικροδιαφορά εποπτικά με κόκκινο. (Σημ. το χρώμα δεν είναι τυχαίο).

και . Αρα .

Επομένως επιλέγουμε το τέτοιο ώστε

Αλλη μία.



Αρα

Και όπως και πριν

.



Και

Παρόμοια με του Νίκου, Η $DP$ είναι μεσοκάθετος της $AC$. Αρα εύκολα προκύπτει ότι $\angle FPA=\angle FPC=\phi+\theta\Rightarrow AF=FP$. Αλλά λόγω της μεσοκαθέτου $AF=FC\Rightarrow FC=FP$. Επίσης έχουμε ότι: $\angle CBD=45=\phi+(\phi+\theta)\Rightarrow 2\phi+\theta=45 [1]$ Τα τρίγωνα $CFO,FPO$ είναι...

Για

Για

Εστω και . Παρατηρούμε ότι:





Αρα

Σωστά αλλά λίγο ευκολότερα στο τέλος, χωρίς το βήμα $225*1296=540^{2}\Rightarrow$ Ωγυγία, Κίρκη, Ουτοπία σχηματίζουν ορθογώνιο, απ'όπου παίρνουμε: Το γεγονός ότι η Κίρκη, Ουτοπία, Κολχίδα σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο ήδη το ξέρουμε από το προηγούμενο βήμα (αφού Ογυγία, Κολχίδα, Ουτοπία είναι συνευ...

Καλησπέρα, $225+1296=1521\Rightarrow$ οι πόλεις Ωγυγία, Κολχίδα και Ουτοπία είναι στην ίδια ευθεία (όπως στο σχήμα). $225^{2}+540^{2}=585^{2}$ αρα οι Ωγυγία, Κολχίδα και Κίρκη σχηματίζουν ορθογώνιο. $225*1296=540^{2}\Rightarrow$ Ωγυγία, Κίρκη, Ουτοπία σχηματίζουν ορθογώνιο, απ'όπου παίρνουμε: $\sqrt...