Η αναζήτηση βρήκε 39 εγγραφές

από Κω.Κωνσταντινίδης
Σάβ Ιούλ 04, 2020 10:08 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 491

Re: Διαιρετότητα

Καλημέρα Πρόδρομε, Καταρχάς παρατηρούμε ότι δεν γίνεται να υπάρχει πρώτος διαιρέτης ενός εκ των τριών αριθμών που να μην διαιρεί έστω και έναν από τους υπόλοιπους δύο. Οπότε αν γράψουμε τους αριθμούς στην κανονική τους μορφή, οι πρώτοι αριθμοί θα είναι οι ίδιοι σε κάθε αριθμό. Το μόνο που θα αλλάζει...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Πέμ Φεβ 27, 2020 5:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (8), Μικροί
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 303

Re: Τεστ Εξάσκησης (8), Μικροί

Μια διαφορετική αντιμετώπιση για την γεωμετρία: Είναι $\angle ADG=\angle ACB=\angle ABC$(1) και $\angle BFD=90$. Άρα στο ορθογώνιο $\Delta AEG$ είναι $\angle GEF=\angle EAF$(2). Από τις (1),(2) προκύπτει ότι οι κύκλοι $(A,B,D)$ και $(A,F,E)$ εφάπτονται στην $DE$ στα $D$ και $E$ αντίστοιχα. Ο ριζικός...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Τρί Φεβ 25, 2020 4:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (1), Μικροί
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 462

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μικροί

Καλησπέρα! Έστω $n=da$(με d,a θετικοί ακέραιοι). Τότε $d^{2}a+1/d^{2}a^{2}+d^{2}=d^{2}(1+a^{2})$. Εύκολα δείχνουμε ότι $(d^{2}a+1,d^{2})=1$ (θα επανέλθω με απόδειξη). Συνεπώς $d^{2}a+1/1+a^{2}$ άρα $a^{2}-kd^{2}a-k+1=0(1)$(βάζω $a^{2}+1=kd^{2}a+k$ και κάνω πράξεις(k προφανώς θετικός ακέραιος). Θεωρο...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Κυρ Φεβ 23, 2020 7:13 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 28
Προβολές: 8546

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Για το 3 των μικρών: Ισοδύναμα είναι $K=2+\frac{a^{2}+b^{2}+4a}{ab}$.Συνεπώς πρέπει ο $L=\frac{a^{2}+b^{2}+4a}{ab}$ να είναι ακέραιος (και αφού α,b θετικοί ακέραιοι θα είναι και ο L επίσης θετικός). Έστω προς άτοπο ότι ο $a$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Τότε υπάρχει πρώτος $p$ που διαιρεί το...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Πέμ Δεκ 26, 2019 2:21 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία από ίσα τμήματα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 356

Re: Παραλληλία από ίσα τμήματα

Καλησπέρα Πρόδρομε και Χρόνια πολλά σε όλα τα μέλη του :logo: , Έστω $M$ η προβολή του $O$ στη $BC$. Έστω $F\equiv AD\bigcap OM$. Έστω $H$ το ορθόκεντρο του $\Delta ABC$ και μάλιστα συμμετρικό του $O$ ως προς το $E$. Εύκολα τώρα $OF=AH$(αξιοποιώ την παραλληλία των $AH$ και $OF$). Αφού $AH=2OM$ έπετα...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Σάβ Δεκ 07, 2019 2:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ασύμμετρη ισεμβαδικότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 268

Re: Ασύμμετρη ισεμβαδικότητα

Πολύ διδακτική άσκηση! Αρχικά θα δείξουμε το εξής λήμμα: Λήμμα Δίνεται τρίγωνο $\Delta ABC$ με έγκεντρο $I$ και ο εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται των $AB,AC$ στα $D,E$ αντίστοιχα. Αν $BO\bigcap DE\equiv T$ τότε $\angle CTB=\frac{\pi }{2}$ Απόδειξη Είναι $\angle AED=\frac{\pi }{2}-\frac{\angle A}{...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Τετ Νοέμ 27, 2019 5:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά σημεία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 259

Re: Συνευθειακά σημεία

Θεωρώ $BP\bigcap CH\equiv M$ και $BP\bigcap AC\equiv Q$. Τότε έχω $\Delta ACP\sim \Delta BHC\Leftrightarrow \frac{BC}{AP}=\frac{BH}{AC}$(1). Επισης $\Delta APQ\sim \Delta BCQ$ άρα $\frac{BC}{AP}=\frac{AQ}{QC}$(2). Από τις (1),(2) παίρνουμε $\frac{BH}{AC}=\frac{AQ}{QC}=\frac{BH}{AB}$(3). Το θεώρημα Μ...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Σάβ Νοέμ 23, 2019 12:45 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο παράστασης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 538

Re: Μέγιστο παράστασης

Από Holder είναι:

(a+b+c)^{\frac{1}{3}}(b+c+a)^{\frac{1}{3}}((a+c)+(b+a)+(c+b))^{\frac{1}{3}}\geq S δηλαδή 3\sqrt[3]{2}\geq S
από Κω.Κωνσταντινίδης
Κυρ Οκτ 27, 2019 3:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 306

Re: Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο

Λίγο αλλιώτικα το τελείωμα: (Χρησιμοποιώ το σχήμα του Προδρόμου) Με κυνήγι γωνιών(αρκετά παρεμφερές με το προηγούμενο ποστ) βρίσκουμε ότι $HE=EI=EC=EB=EO=R$.Στο τρίγωνο $AHE$ η τριγωνική ανισότητα δίνει $AH+HE> AE=AI+IE$ δηλαδή $AH> AI$. H περίπτωση που $AH=AI$ ισχύει όταν το τρίγωνο $AHE$ είναι εκφ...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Κυρ Οκτ 27, 2019 3:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Απρόσμενη καθετότητα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 860

Απρόσμενη καθετότητα

Δίνεται τρίγωνο ABC με ορθόκεντρο H και περίκεντρο O.Έστω D,E,F τα ίχνη των υψών του τριγώνου στις BC,CA,AB αντίστοιχα. Η παράλληλη από το H στην BC τέμνει την EF στο X. Να αποδειχθεί ότι \angle XDO=90.
από Κω.Κωνσταντινίδης
Τετ Μάιος 01, 2019 2:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 1044

Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

Χρόνια Πολλά και Χριστός Ανέστη! Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων $x,y$ που είναι τέτοια ώστε $3^{x}+2=5^{y}$. Υ.Γ. Ενδεχομένως να είναι αρκετά εύκολη για αυτόν τον φάκελο. Αλλά την προσπαθώ από την προηγούμενη εβδομάδα και δεν έχω καταλήξει ακόμη σε πλήρη λύση. Με συγχωρείται αν είναι αρκετά...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Σάβ Απρ 06, 2019 4:06 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Κριτήριο ισοσκελούς 5
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 972

Re: Κριτήριο ισοσκελούς 5

Έστω $O_{1},O_{2}$ τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των $\Delta ADB,\Delta AEC$ αντίστοιχα. Με νόμο ημιτόνων έχουμε $\frac{DB}{sin\angle BAD}=2O_{1}B$, $\frac{EC}{sin\angle EAC}=2O_{2}C$ και αφού $\angle BAD=\angle EAC$ και $DB=EC$ προκύπτει ότι $O_{1}B=O_{1}C$. Έστω $M$ το μέσον του $DE$ και έσ...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Σάβ Ιαν 12, 2019 6:45 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1138

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

Καλησπέρα, μία λύση για το 1ο. Θα εξετάσουμε την περίπτωση για$p,q,r$ διάφοροι του 3. Τότε, από μικρό θεώρημα $Fermat$ έχουμε ότι $p^{2}\equiv 1 mod 3$,$q^{2}\equiv 1mod3$,$r^{2}\equiv 1mod3$. Συνεπώς το αριστερό μέλος είναι ισότιμο 2 modulo 3 ενώ το δεξί, 1 mod 3, άτοπο. Άρα ένας εκ των τριών είναι...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Πέμ Δεκ 27, 2018 2:07 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Εκθετική Εξίσωση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1188

Re: Εκθετική Εξίσωση

Μια ερώτηση. Μια εκθετική μπορεί να έχει περισσότερες από μια λύσεις? Και κάτι ακόμα. Αφού την επιλύουμε στο R, γιατί βρήκαμε μόνο για x<2, x=1; Θα παραθέσω τη λύση μου. Για$X< 0$ το αριστερό μέλος είναι αρνητικό, άτοπο. Για $x\geq 0$ από $AM-GM$ έχουμε $2^{\frac{1}{x}}x+\frac{2^{x}}{x}=4\geq 2^{\fr...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Τρί Νοέμ 27, 2018 10:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Τρίγωνα-108.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 546

Re: Τρίγωνα-108.

Με νόμο ημιτόνων στο $\Delta ABC$ έχω $\frac{AC}{sin10}=\frac{AB}{sin20}= \frac{BC}{sin30}$ και στο τρίγωνο$DAC$ είναι $\frac{AD}{sin30}=\frac{DC}{sin \angle CAD}=\frac{AC}{sin\vartheta }$. Όμως $AD=BC$ άρα προκύπτει ότι οι δύο αυτές ισότητες θα είναι ίσες μεταξύ τους άρα $\frac{AC}{sin10}=\frac{AC}...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Τετ Νοέμ 21, 2018 9:07 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Άθροισμα ψηφίων αριθμού
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1268

Re: Άθροισμα ψηφίων αριθμού

Έχουμε $999\geq n$, $27\geq s(n)$, $10\geq s(s(n))$. Έχουμε επίσης ότι $s(n)+s(s(n))\leq 37$$\Leftrightarrow n\geq 962$, άρα $999\geq n\geq 962$. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: $n\equiv 0 mod9$, συνεπώς $$s(n)$=27$, ή $$s(n)$=18$, και $s(s(n))=9$. Αν $s(n)=18$ τότε $n=972$. Αν$s(n)=27$ τότε $n=963$ το...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Δευ Νοέμ 19, 2018 10:49 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διοφαντική με εκθέτη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 952

Διοφαντική με εκθέτη

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

7^{x}+x^{4}+47=y^{2}
από Κω.Κωνσταντινίδης
Τρί Οκτ 30, 2018 11:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Εν όψει Θαλή 2018
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 800

Re: Εν όψει Θαλή 2018

Έστω$P$ το μέσον της $BD$. H $PM$ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου άρα θα είναι παράλληλη στην τρίτη πλευρά. Άρα$PM\left \| AC$. Επειδή $BD=2AM$ θα είναι $PD=\frac{2AM}{2}=AM$. Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι το $PADM$ είναι ισοσκελές τραπέζιο άρα θα είναι και $$SA=SD$ $(ιδιότητα ισοσκελού...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Πέμ Οκτ 25, 2018 11:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Δικυκλική αναφορά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 439

Re: Δικυκλική αναφορά

Θα αναρτήσω μια λύση για το α ερώτημα. Αν δεν με προλάβουν, αύριο θα αναρτήσω και τα υπόλοιπα. Ας αρχίσω: Φέρνουμε τις $CO,OA,OB$. Επειδή το Ο είναι το κέντρο του περιγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$, θα απέχει ίσες αποστάσεις από τις κορυφές του. Άρα $OB=OC=OA$ (1). Έστω $\angle OAB=\angle OB...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση