Η αναζήτηση βρήκε 28 εγγραφές

από Κω.Κωνσταντινίδης
Τετ Μάιος 01, 2019 2:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 512

Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

Χρόνια Πολλά και Χριστός Ανέστη! Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων $x,y$ που είναι τέτοια ώστε $3^{x}+2=5^{y}$. Υ.Γ. Ενδεχομένως να είναι αρκετά εύκολη για αυτόν τον φάκελο. Αλλά την προσπαθώ από την προηγούμενη εβδομάδα και δεν έχω καταλήξει ακόμη σε πλήρη λύση. Με συγχωρείται αν είναι αρκετά...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Σάβ Απρ 06, 2019 4:06 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Κριτήριο ισοσκελούς 5
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 745

Re: Κριτήριο ισοσκελούς 5

Έστω $O_{1},O_{2}$ τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των $\Delta ADB,\Delta AEC$ αντίστοιχα. Με νόμο ημιτόνων έχουμε $\frac{DB}{sin\angle BAD}=2O_{1}B$, $\frac{EC}{sin\angle EAC}=2O_{2}C$ και αφού $\angle BAD=\angle EAC$ και $DB=EC$ προκύπτει ότι $O_{1}B=O_{1}C$. Έστω $M$ το μέσον του $DE$ και έσ...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Σάβ Ιαν 12, 2019 6:45 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 965

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019

Καλησπέρα, μία λύση για το 1ο. Θα εξετάσουμε την περίπτωση για$p,q,r$ διάφοροι του 3. Τότε, από μικρό θεώρημα $Fermat$ έχουμε ότι $p^{2}\equiv 1 mod 3$,$q^{2}\equiv 1mod3$,$r^{2}\equiv 1mod3$. Συνεπώς το αριστερό μέλος είναι ισότιμο 2 modulo 3 ενώ το δεξί, 1 mod 3, άτοπο. Άρα ένας εκ των τριών είναι...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Πέμ Δεκ 27, 2018 2:07 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Εκθετική Εξίσωση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 642

Re: Εκθετική Εξίσωση

Μια ερώτηση. Μια εκθετική μπορεί να έχει περισσότερες από μια λύσεις? Και κάτι ακόμα. Αφού την επιλύουμε στο R, γιατί βρήκαμε μόνο για x<2, x=1; Θα παραθέσω τη λύση μου. Για$X< 0$ το αριστερό μέλος είναι αρνητικό, άτοπο. Για $x\geq 0$ από $AM-GM$ έχουμε $2^{\frac{1}{x}}x+\frac{2^{x}}{x}=4\geq 2^{\fr...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Τρί Νοέμ 27, 2018 10:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Τρίγωνα-108.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 461

Re: Τρίγωνα-108.

Με νόμο ημιτόνων στο $\Delta ABC$ έχω $\frac{AC}{sin10}=\frac{AB}{sin20}= \frac{BC}{sin30}$ και στο τρίγωνο$DAC$ είναι $\frac{AD}{sin30}=\frac{DC}{sin \angle CAD}=\frac{AC}{sin\vartheta }$. Όμως $AD=BC$ άρα προκύπτει ότι οι δύο αυτές ισότητες θα είναι ίσες μεταξύ τους άρα $\frac{AC}{sin10}=\frac{AC}...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Τετ Νοέμ 21, 2018 9:07 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Άθροισμα ψηφίων αριθμού
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 544

Re: Άθροισμα ψηφίων αριθμού

Έχουμε $999\geq n$, $27\geq s(n)$, $10\geq s(s(n))$. Έχουμε επίσης ότι $s(n)+s(s(n))\leq 37$$\Leftrightarrow n\geq 962$, άρα $999\geq n\geq 962$. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: $n\equiv 0 mod9$, συνεπώς $$s(n)$=27$, ή $$s(n)$=18$, και $s(s(n))=9$. Αν $s(n)=18$ τότε $n=972$. Αν$s(n)=27$ τότε $n=963$ το...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Δευ Νοέμ 19, 2018 10:49 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διοφαντική με εκθέτη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 461

Διοφαντική με εκθέτη

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

7^{x}+x^{4}+47=y^{2}
από Κω.Κωνσταντινίδης
Τρί Οκτ 30, 2018 11:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Εν όψει Θαλή 2018
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 589

Re: Εν όψει Θαλή 2018

Έστω$P$ το μέσον της $BD$. H $PM$ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου άρα θα είναι παράλληλη στην τρίτη πλευρά. Άρα$PM\left \| AC$. Επειδή $BD=2AM$ θα είναι $PD=\frac{2AM}{2}=AM$. Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι το $PADM$ είναι ισοσκελές τραπέζιο άρα θα είναι και $$SA=SD$ $(ιδιότητα ισοσκελού...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Πέμ Οκτ 25, 2018 11:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Δικυκλική αναφορά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 369

Re: Δικυκλική αναφορά

Θα αναρτήσω μια λύση για το α ερώτημα. Αν δεν με προλάβουν, αύριο θα αναρτήσω και τα υπόλοιπα. Ας αρχίσω: Φέρνουμε τις $CO,OA,OB$. Επειδή το Ο είναι το κέντρο του περιγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$, θα απέχει ίσες αποστάσεις από τις κορυφές του. Άρα $OB=OC=OA$ (1). Έστω $\angle OAB=\angle OB...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Κυρ Σεπ 30, 2018 3:19 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Δύσκολη?
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 816

Re: Δύσκολη?

Καταρχάς πρέπει $y>0$ και παρατηρούμε ότι το $x=0$ δεν δίνει λύση. Αφού $x^2=(-x)^2$ μπορούμε να υποθέσουμε πως $x, y>0$. Παρατηρούμε πως: $x^2+36=y^5\Leftrightarrow x^2+2^2=(y-2)(y^4+2y^3+4y^2+8y+16)$. Αν $y=4k+1$, τότε αφού $y-2=4k-1$, το δεξί μέλος θα έχει πρώτο παράγοντα της μορφής $p=4l-1$, άρ...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Πέμ Σεπ 27, 2018 5:23 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Δύσκολη?
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 816

Δύσκολη?

Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση
x^{2}+36=y^{5}
από Κω.Κωνσταντινίδης
Τετ Αύγ 29, 2018 4:28 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ακέραιες λύσεις
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 443

Re: Ακέραιες λύσεις

Η εξίσωση γίνεται $2^{\alpha }-2=(\beta -\alpha )(\alpha +\beta )$ Αν $\alpha < 0$ τότε το αριστερό μέλος είναι δεκαδικό ενώ το δεξί όχι, άτοπο. Για $\alpha =0$ τότε επιλύοντάς την προκύπτει ότι$\beta ^{2}=-1$ άτοπο. Για$\alpha =1$ προκύπτει $\beta =+-1$ Για $\alpha \geq 2$ τότε$2(2^{\alpha -1}-1)=(...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Τετ Αύγ 29, 2018 2:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Εκθετική Διοφαντική
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 692

Re: Εκθετική Διοφαντική

Το βιβλίο από το οποίο την πήρα, στη λύση χρησιμοποιεί κάποια στιγμή το μικρό θεώρημα του fermat.
από Κω.Κωνσταντινίδης
Τετ Αύγ 29, 2018 10:14 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Εκθετική Διοφαντική
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 692

Εκθετική Διοφαντική

Να λυθεί στους ακέραιους η εξίσωση
20^{\chi }+13^{\psi }=2013^{\zeta }
από Κω.Κωνσταντινίδης
Σάβ Αύγ 04, 2018 2:45 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Yπάρχει ο αριθμός;
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 890

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Για παράδειγμα το $\epsilon = 54$ είναι ακέραιος και ισχύει $ \frac{\varepsilon }{3(\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2})} =1$ για $a=\sqrt 3$, αλλά το $a$ δεν είναι ακέραιος. [/quote] Δεν λέει η άσκηση κάπου ότι ο α είναι ακέραιος. Εϊπα γενικότερα ότι το $\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2}$ είναι ακέραι...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Σάβ Αύγ 04, 2018 2:39 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Yπάρχει ο αριθμός;
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 890

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

$\varepsilon =3\alpha ^{3}\sqrt{3}+9\alpha ^{2}\Leftrightarrow \frac{\varepsilon }{3(\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2})}$ αφού κάτι λείπει δεξιά του "$ \Leftrightarrow $" . Υποθέτω ότι εννοείς $\varepsilon =3\alpha ^{3}\sqrt{3}+9\alpha ^{2}\Leftrightarrow \frac{\varepsilon }{3(\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Σάβ Αύγ 04, 2018 12:35 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Yπάρχει ο αριθμός;
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 890

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Γιατί το κλάσμα είναι ακέραιος?? Λάθος μου. Ευχαριστώ για την επισήμανση. Την διόρθωσα αλλά μετά δεν ξέρω πως να συνεχίσω. Σε αυτή την άσκηση το νόημα είναι να διώξεις το α για το οποίο δεν ξέρεις κάτι. Νομίζω ότι ο μοναδικός τρόπος είναι αυτός του κύριου Σταυρου Ακριβώς. Μάλιστα στον Αρχιμήδη νέων...
από Κω.Κωνσταντινίδης
Σάβ Αύγ 04, 2018 12:19 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Yπάρχει ο αριθμός;
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 890

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Αύγ 04, 2018 6:33 am
Γιατί το κλάσμα είναι ακέραιος??
Λάθος μου. Ευχαριστώ για την επισήμανση. Την διόρθωσα αλλά μετά δεν ξέρω πως να συνεχίσω.
από Κω.Κωνσταντινίδης
Σάβ Αύγ 04, 2018 12:41 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Yπάρχει ο αριθμός;
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 890

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

Λάθος λύση
από Κω.Κωνσταντινίδης
Κυρ Ιούλ 29, 2018 4:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απλή?
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 502

Απλή?

Αν ο \kappa είναι θετικός ακέραιος, να βρείτε τους θετικούς ακέραιους αριθμούς \nu έτσι ώστε να έχουμε
3^{\kappa }\mid 2^{\nu }-1

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση