Α' Λυκείου - Θέμα 3 Διακρίνουμε 3 περιπτώσεις για τη θέση του $E$. 1) Να είναι εντός του τριγώνου, 2) Να είναι εκτός του τριγώνου, ή 3) Να συμπίπτει με το Α Σε κάθε περίπτωση, υπάρχουν 2 πιθανές θέσεις του $E$. Για τις πρώτες 2 περιπτώσεις υπάρχει και αυτή η απόδειξη: Έστω $\widehat{BA \Gamma} = x$....

Ένα πρόβλημα από τον μεγάλο μου αδερφό Μύρωνα :

Σε μια τάξη ατόμων, να βρεθεί η πιθανότητα για ένα από τα άτομα να πετύχει το φλουρί της βασιλόπιτας τουλάχιστον μία φορά σε χρόνια.
(Τα άτομα της τάξης είναι τα ίδια κάθε χρονιά και κάθε χρονιά κόβεται μία μόνο βασιλόπιτα)

Σχήμα.jpg Θεωρούμε ευθύγραμμα τμήματα $M_0M_1= a_1$ και $M_1M_2=a_2$.Το $M_1M_2$ είναι κάθετο στο $M_0M_1$ και διπλάσιο αυτού. Φέρνουμε και το $M_2M_3=a_3$ όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάθε επόμενο τμήμα είναι κάθετο με το προηγούμενο του και κατασκευάζεται με την ίδια φορά όπως τα παραπάνω, ενώ το μήκ...

Σχήμα.jpg Θεωρούμε ευθύγραμμα τμήματα $M_0M_1= a_1$ και $M_1M_2=a_2$.Το $M_1M_2$ είναι κάθετο στο $M_0M_1$ και διπλάσιο αυτού. Φέρνουμε και το $M_2M_3=a_3$ όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάθε επόμενο τμήμα είναι κάθετο με το προηγούμενο του και κατασκευάζεται με την ίδια φορά όπως τα παραπάνω, ενώ το μήκ...

γωνιολόγος.png Ισχύει $AC=sin\theta\cdot CD$ και $DB=\dfrac{DE}{sin\varphi}$, άρα $\dfrac{AC}{DB}=sin\theta\cdot sin\varphi\cdot \dfrac{CD}{DE}$. Επειδή $cosx=\dfrac{DE}{CD}$ και $x^{\circ}=180^{\circ}-(\theta^{\circ}+90^{\circ}-\varphi^{\circ})$ ο ζητούμενος λόγος ισούται με $u=sin\theta\cdot sin\...

Αλλιώς... Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τετραπλεύρου με βάση τις διαγωνίους του. Έστω $D_1,D_2$ οι διαγώνιοι του. Τότε $E(AB\Gamma \Delta )=ab=\dfrac{1}{2}D_1D_2\cdot sin\omega$ Προφανώς $D_1=D_2=\sqrt{a^2+b^2}$, και άρα $\dfrac{1}{2}D_1^2\cdot sin\omega=ab \Leftrightarrow \dfrac{...

Έστω ορθογώνιο με.

Να βρεθεί η συναρτήσει των πλευρών

Δίδεται η εξίσωση $\displaystyle{\alpha x^2 - 7x + \gamma =0}$ και έστω $\Delta$ η διακρίνουσά της. Αν ισχύει ότι: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \Delta - 10 \alpha & = & 5\\ 2\Delta + 5\alpha & = &60 \end{matrix}\right.}$ Να βρεθεί η διακρίνουσα $\Delta$ και ο αριθμός $\alpha$. Να βρεθεί ο α...

Α' Λυκείου , μέχρι την 1η Μαΐου Αν $x_{1},x_{2}>0$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $x^{2}-Sx+P=0$ και $A=\sqrt[3]{x_{1}} + \sqrt[3]{x_{2}}$, α) Να αποδείξετε ότι $A^{3}=3 \sqrt[3]{P}\cdot A+S$. β) Να βρείτε μία ρίζα της εξίσωσης $x^{3}-3x-8=0$. α) $A^{3}=\left ( {\sqrt[3]{{x_1{}}}}+{\sqrt[3]{{x_{2}}}} ...

Να επιλυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left ( \Sigma \right ): \left\{\begin{matrix} x^2-xy+y^2 & = &12 \\ x-y&= &4 \end{matrix}\right.}$ Είναι $\left\{\begin{matrix} x^2-xy+y^2=12\\ x-y=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-xy+y^2=12\\ (x-y)^2=16 \end{matrix}\right.\Leftrighta...

Να αποδειχθεί ότι για $0^\circ \leq x \leq 180^\circ $ είναι $\displaystyle{-2 < \sin x + \cos x < 2}$ Είναι $-1\leq sinx\leq 1$ και $-1\leq cosx\leq 1$, οπότε με πρόσθεση κατά μέλη των δύο ανισοτήτων παίρνουμε $-2\leq sinx+cosx\leq 2$. Για να ισχύει μία ισότητα πρέπει $sinx=cosx=\pm 1$.Όμως αυτό ε...

Για κάθε να αποδειχθεί ότι

Να λυθεί το παραμετρικό σύστημα

με και

Δίνεται ο φυσικός αριθμός , όπου ψηφίο και .

Να αποδειχθεί οτί εάν ο δεν είναι μονοψήφιος, τότε ο δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Βελτιώνοντας το ζητούμενο: Παρατηρούμε ότι οι $2k$ διαιρέτες του $n$ ζευγαρώνονται σε $k$ ζεύγη όπου το γινόμενο του κάθε ζεύγους ισούται προς $n$. Για κάθε τέτοιο ζεύγος $(a,b)$ ισχύει η $a+b=\sqrt{4ab+(a-b)^2}=\sqrt{4n+(a-b)^2}$. Για ένα ακριβώς από τα ζεύγη ισχύει η $(a-b)^2=(n-1)^2$, ενώ για τα...

Έστω φυσικός μεγαλύτερος του . Γνωρίζουμε ότι ο έχει συνολικά διαιρέτες στο πλήθος. Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των διαιρετών του υπερβαίνει τον αριθμό .

Να αποδειχθεί ότι,εάν τότε



***Παρέλειψα κατά τη μετατροπή σε τον όρο