Η αναζήτηση βρήκε 126 εγγραφές

από Filippos Athos
Τρί Φεβ 02, 2021 6:10 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 280

Re: ανισότητα

$\displaystyle{ABCD}$ κυρτό τετράπλευρο εγγεγαμένο σε κύκλο $\displaystyle{(O,r=1)}$ Aν $\displaystyle{(AB)(BC)(CD)(DA)\ge 4}$ να δείξετε ότι το $\displaystyle{ABCD}$ ειναι είναι τετράγωνο. Απο Θ.Πτολεμαίου $AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD\leq 2\cdot 2=4(1)$ επειδή οι χορδές είναι μικρότερες ή ίσε...
από Filippos Athos
Δευ Νοέμ 30, 2020 6:20 pm
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Τελευταίο ψηφίο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 617

Re: Τελευταίο ψηφίο

Μια αφιέρωση στα νεαρά μέλη μας aggeliki 260807 και Filippos Athos , που με χαρά βλέπω ότι ασχολούνται με διαγωνιστικά μαθηματικά: Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού $\displaystyle{7^{3^{22}}}$. Αλλη μία παρατηρούμε ότι υπάρχει περιοδικότητα στις δυνάμεις του $7$. το $7^{x}$ τελειώνει σε $7$ ...
από Filippos Athos
Κυρ Νοέμ 29, 2020 10:20 pm
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Τελευταίο ψηφίο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 617

Re: Τελευταίο ψηφίο

Μια αφιέρωση στα νεαρά μέλη μας aggeliki 260807 και Filippos Athos , που με χαρά βλέπω ότι ασχολούνται με διαγωνιστικά μαθηματικά: Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού $\displaystyle{7^{3^{22}}}$. Ευχαριστώ για την αφιέρωση! Θα δώσω την πρώτη λύση που μου ήρθε στο μυαλό χρησιμοποιώντας την συνά...
από Filippos Athos
Τρί Νοέμ 17, 2020 2:01 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 614

Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

ελέγχωντας $mod8$ στις περιπτώσεις οπου $n$ αρτιος και περιττός, πάντα $B\equiv 1mod8$ Φίλιππε, το λάθος κρύβεται στην παραπάνω! Έμμεσα έχεις χρησιμοποιήσει τη συνεπαγωγή: $a\equiv b\pmod{n} \Rightarrow |a|\equiv |b|\pmod{n}$ που δεν είναι αληθής (δες το με ένα αντιπαράδειγμα). Έτσι, το minimum της...
από Filippos Athos
Κυρ Νοέμ 15, 2020 8:44 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 614

Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

Δύο ασκήσεις στο ίδιο πνεύμα: Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή κάθε μίας από τις παραστάσεις (η πρώτη πιο απλή, η δεύτερη πιο σύνθετη): α) $A=\displaystyle{ |20^m −9^n|,}$ , όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$. β) $B=\left|3^n+7^n-25^m\right|$, όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$. Αλέξανδρος Για το β) Προφανώς $B\equiv...
από Filippos Athos
Κυρ Νοέμ 15, 2020 6:31 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Έκτη δύναμη από τα ψηφία του αριθμού
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 215

Re: Έκτη δύναμη από τα ψηφία του αριθμού

Η έκτη δύναμη ενός φυσικού αριθμού αποτελείται, σε αύξουσα σειρά, από τα ψηφία $0,\, 2,\,3, \,4,\,4, \,7,\, 8,\,8,\,9$. Ποιος είναι ο αρχικός φυσικός; Ας την αφήσουμε $24$ ώρες στους μαθητές μας Γυμνασίου, Λυκείου. Μπορούμε να ελεξουμε οτι ο αριθμός μας είναι $22\leq x\leq 31$ $(1)$ Οι αριθμοί που ...
από Filippos Athos
Πέμ Νοέμ 12, 2020 10:04 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εγκλωβίζοντας την ρίζα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 300

Re: Εγκλωβίζοντας την ρίζα

Είναι γνωστό ότι $a^5-a^3+a=2$. Να αποδείξετε, ότι $3< a^6 < 4$. Είναι πολύ ευκολο να αποδειχθεί ότι το $a$ έιναι θετικός οπότε απο ΑΜ-ΓΜ $2=(a^5+a)-a^3\geq 2a^{3}-a^{3}=a^{3}$ υψώνοντας στο τετράγωνο εχουμε $a^{6}< 4$ (η ισότητα προφανώς δεν ισχύει). Αφού $a^5-a^3+a=2\Rightarrow a^{6}-a^{4}+a^{2}=...
από Filippos Athos
Τετ Νοέμ 11, 2020 9:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Καλούτσικη.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 350

Re: Καλούτσικη.

77.png Καλησπέρα . Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ του παραπάνω σχήματος, η $AM$ είναι διάμεσος. Αν $DE=2$, να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς του $AB$. Απο τα όμοια τρίγωνα $ABE$ και $ABC$ εχουμε ότι $A\widehat{B}E=A\widehat{C}B=B\widehat{A}D\Rightarrow AD=DB ,A\widehat{B}M=90^{\circ}\Rightarrow AD=D...
από Filippos Athos
Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ εξάσκησης (2) - ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 460

Re: Τεστ εξάσκησης (2) - ΘΑΛΗΣ 2020

ΘΕΜΑ 1 Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων $(x,y)$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{x^2+4y^2-2xy-2x-4y-8=0.}$ Γεια σας! Λύνοντας ως προς τον $x$ έχουμε $x^2-x(2y+2)-4y-8+4y^2=0$ Για να έχει λύσεις η εξίσωση πρέπει $\Delta \geq 0\Leftrightarrow 4(y+1)^2+4(4y+8-4y^2)\geq 0\Leftrightarrow -3y^2+6y+9\geq...
από Filippos Athos
Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:09 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ εξάσκησης (2) - ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 460

Re: Τεστ εξάσκησης (2) - ΘΑΛΗΣ 2020

ΘΕΜΑ 1 Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων $(x,y)$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{x^2+4y^2-2xy-2x-4y-8=0.}$ Απο τα δεδομένα $x$ άρτιος , $x=2k$. Η εξίσωση γράφεται $4k^{2}+4y^{2}-4ky-4k-4y-8=0\Rightarrow k^{2}+y^{2}-(ky+k)-y-8=0\Rightarrow k^{2}-k(y+1)+y^{2}-y-8=0$ που έχει διακρίνουσα $(y+1)^{2}-4...
από Filippos Athos
Πέμ Νοέμ 05, 2020 2:39 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του 5
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 515

Re: Άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του 5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Νοέμ 04, 2020 9:40 pm
:10sta10:

Σε διαβάζω πάντα με προσοχή και με χαρά. Παρατηρώ ότι έχεις ώριμο γράψιμο, πολύ πέρα από την ηλικία σου, και έχεις εξαιρετική Μαθηματική ικανότητα.

Τα θερμά μου συγχαρητήρια.
Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για τα ωραία σας λόγια!
από Filippos Athos
Τετ Νοέμ 04, 2020 8:46 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του 5
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 515

Re: Άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του 5

Βασικά αν το άθροισμα των ψηφίων των αριθμών είναι $x_{k}+x_{k-1}+.....+x_{1}\equiv 0mod5$ και $x_{k}+x_{k-1}+.....+x_{1}+1\equiv 0mod5$ αυτό είναι άτοπο εκτός και αν υπάρχει υπερπίδηση δηλαδή $x_{1}=9$ $x_{k}+x_{k-1}+.....+x_{2}+9\equiv 0mod5$ $x_{k}+x_{k-1}+.....+(x_{2}+1)\equiv 0mod5$ με τον ίδιο...
από Filippos Athos
Τετ Νοέμ 04, 2020 2:37 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του 5
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 515

Re: Άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του 5

Ένας μαθητής έγραψε στην σειρά τους φυσικούς αριθμούς που το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του $5$. Έτσι, η συλλογή του αρχίζει ως $\,5,\, 14,\, 19, \, 23,\, 28,\, ... $ Ποια είναι η μικρότερη δυνατή διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών της συλλογής; (Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθ...
από Filippos Athos
Σάβ Οκτ 31, 2020 1:14 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Επικαλυπτόμενα τετράγωνα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 158

Re: Επικαλυπτόμενα τετράγωνα

Στο σχήμα από αριστερά προς τα δεξιά φαίνονται τεμνόμενα τετράγωνα με πλευρές $12,9,7,3$ αντίστοιχα. Κατά πόσο το άθροισμα των εμβαδών των μαύρων περιοχών είναι μεγαλύτερο από το εμβαδόν των γκρι; tetragwna_kai_emvada.png Εστω ότι τα εμβαδά των άσπρων περιοχών (απο αριστερά στα δεξιά) είναι $a$,$b$...
από Filippos Athos
Σάβ Οκτ 31, 2020 10:58 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μεσοκάθετος και διχοτόμος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 331

Re: Μεσοκάθετος και διχοτόμος

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\left( {A = 90^\circ } \right)$ είναι $AC > AB = 72$ Για σημείο $D$ εσωτερικό του $AB$ , είναι $AD = 28$ . Η κάθετη στο μέσο $M$ της υποτείνουσας $BC$ τέμνει την $AC$ στο $E$ . Αν η $DE$ είναι διχοτόμος της $\widehat {CDA}$ να υπολογιστούν τα τμήματα : $DC,AC,BC,EA,EC,EM,ED...
από Filippos Athos
Παρ Οκτ 30, 2020 7:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Πλευρά από ορθογώνιο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 292

Re: Πλευρά από ορθογώνιο

Πλευρά από ορθογώνιο.png$\bigstar$ Το τετράπλευρο $KLMN$ , το οποίο έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών : $CD , DA , AB , BC $ , αντίστοιχα , του τετραπλεύρου $ABCD$ , είναι ορθογώνιο . Αν : $AB=11 , BC= 9 , AD=7$ , υπολογίστε το μήκος της $CD$ . plevra apo.png Απο τα δεδομένα του προβλήματος οι διαγώ...
από Filippos Athos
Παρ Οκτ 30, 2020 4:14 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Από διαγώνισμα.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 234

Re: Από διαγώνισμα.

33.png Στο παραπάνω σχήμα τα σημεία $M$ και $N$ είναι μέσα των $AH, BH$ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι τα σημεία $P, N, H, M$ είναι ομοκυκλικά. Πρόκειται για άσκηση από διαγώνισμα των μαθητικών μου χρόνων. Τότε δηλαδή που για την Γεωμετρία έπεφτε και λίγο ξύλο. Προφανώς $NM//BA\Rightarrow NM\perp AC$ επ...
από Filippos Athos
Τετ Οκτ 28, 2020 7:23 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ψευδείς και αληθείς ανισότητες.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 400

Re: Ψευδείς και αληθείς ανισότητες.

Στον πίνακα είναι γραμμένες ορισμένες ανισότητες που αφορούν κάποιον αριθμό $a$. Συγκεκριμένα οι α) $2a>70$, β) $a<100$, γ) $4a>25$, δ) $3a>30$, ε) $3a>15$. Οι δύο από αυτές είναι αληθείς και οι υπόλοιπες τρεις είναι ψευδείς. Ποιες είναι οι αληθείς; (Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθητές μας. Είναι...
από Filippos Athos
Παρ Οκτ 23, 2020 2:21 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Αναμενόμενη συνευθειακότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 312

Re: Αναμενόμενη συνευθειακότητα

silouan έγραψε:
Παρ Οκτ 23, 2020 11:45 am
Filippos Athos έγραψε:
Πέμ Οκτ 22, 2020 8:03 pm
Δεν είμαι σίγουρος.... αλλά αν το σημείο του Miquel "δουλεύει" και αντίστροφα τοτε είναι προφανές.
Μπορείς να πεις το εξής: Έστω ότι η PS τέμνει την AC στο Q'. Τότε από Miquel (το ευθύ), τα T,S,C,Q' είναι ομοκυκλικά, άρα Q\equiv Q'.
Ωραία σας ευχαριστώ πολύ!!
από Filippos Athos
Πέμ Οκτ 22, 2020 8:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Αναμενόμενη συνευθειακότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 312

Re: Αναμενόμενη συνευθειακότητα

Αναμενόμενη συνευθειακότητα.pngΤο $S$ είναι τυχαίο σημείο της βάσης $BC$ τριγώνου $ABC$ , ενώ το $T$ τυχαίο , επίσης , σημείο του ελάσσονος τόξου $\starkel{BC}$ του περικύκλου του . Ο κύκλος $(B,T,S)$ τέμνει την $AB$ στο $P$ , ενώ ο $( C,T,S)$ την προέκταση της $AC$ στο $Q$ . Δείξτε ότι τα $P , S ,...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση