Η αναζήτηση βρήκε 422 εγγραφές

από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Ιούλ 19, 2019 12:06 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη τιμή διακρίνουσας
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 159

Μέγιστη τιμή διακρίνουσας

Έστω a,b,c ακέραιοι με a\neq 0 και f(x)=ax²+bx+c,x∈R.

Επίσης για τους ακέραιους k,l,m ισχύει  f(k)=f(l)=0, f(m)=z\neq 0 όπου z ακέραιος (σταθερός).

Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή της διακρίνουσας του τριωνύμου f(x).
από Λάμπρος Κατσάπας
Τετ Ιούλ 17, 2019 3:09 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 450

Re: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

Έστω $a,b$ δύο διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε: $\left | a-1 \right |+\left | b-1 \right |=\left | a \right |+\left | b \right |=\left | a+1 \right |+\left | b+1 \right |.$ Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του $\left | a-b \right |$ Βάζοντας στην ευθεία των πραγματικών τους $-1,0,1$ βλέπου...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τρί Ιούλ 16, 2019 4:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Σύνολο τιμών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 213

Re: Σύνολο τιμών

Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{1}\frac{e^t}{t+x}\,\mathrm{d}x,x>0.$ Λάμπρο, ωραία ασκησούλα αλλά, για να μην παιδεύονται οι μαθητές μας, ας επισημάνω ότι το $dx$ στο ολοκλήρωμα πρέπει να γίνει $dt$. Λύση αργότερα. Έχετε δίκιο κ.Λάμπρου. Το διόρθωσα. Ευχαριστώ.
από Λάμπρος Κατσάπας
Τρί Ιούλ 16, 2019 4:20 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Σύνολο τιμών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 213

Σύνολο τιμών

Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης \displaystyle f(x)=\int_{0}^{1}\frac{e^t}{t+x}\,\mathrm{d}t,x>0.

**Από Αντώνη Κυριακόπουλο.
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Ιούλ 12, 2019 12:29 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Έκφραση για πλήθος ριζών
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 260

Έκφραση για πλήθος ριζών

Δίνεται συνάρτηση $f:[a,b]\rightarrow R$ με συνεχή παράγωγο και επιπλέον 1. $f(a)f(b)\neq 0$ 2. Αν $f(x)=0$ τότε ${f}'(x)\neq 0.$ Με $N$ συμβολίζουμε το πλήθος των ριζών της $f$ και με $\displaystyle N_\varepsilon =\frac{1}{2\varepsilon }\int_{a}^{b}1(|f(x)|<\varepsilon )|{f}'(x)|\,\mathrm{d}x.$ (A)...
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Ιούλ 11, 2019 12:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο ολοκληρώματος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 477

Re: Όριο ολοκληρώματος

Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο: $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{x^2+1}\, \mathrm{d}x}$ Η απάντηση είναι $\dfrac{1}{2}.$ Αν και η απόδειξη που έχω κάνει είναι σχεδόν στοιχειώδης (μόνο ομοιόμορφη σύγκλιση χρησιμοποιώ) θεωρώ ότι δεν είναι για αυτό τον φάκε...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τρί Ιούλ 09, 2019 12:16 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο μήκος μονοπατιού
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 277

Re: Μέγιστο μήκος μονοπατιού

Παίρνουμε δύο σημεία $A,B$ στο επίπεδο με τη μεταξύ τους απόσταση $AB=1.$ Να βρεθεί το μέγιστο μήκος του μονοπατιού από το $A$ στο $B$ που αποτελείται από $n$ το πολύ ευθύγραμμα τμήματα και με την ιδιότητα ότι διανύοντας αυτό το μονοπάτι (από το $A$ στο $B$) κάθε χρονική στιγμή η απόστασή μας από τ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Ιούλ 08, 2019 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Παράσταση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 193

Re: Παράσταση

Γράφουμε a=\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{2020} και b= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{2019}}. H παράσταση γράφεται a(1+b)-(1+a)b=a-b. H συνέχεια απλή.
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Ιούλ 08, 2019 11:51 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο μήκος μονοπατιού
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 277

Μέγιστο μήκος μονοπατιού

Παίρνουμε δύο σημεία $A,B$ στο επίπεδο με τη μεταξύ τους απόσταση $AB=1.$ Να βρεθεί το μέγιστο μήκος του μονοπατιού από το $A$ στο $B$ που αποτελείται από $n$ το πολύ ευθύγραμμα τμήματα και με την ιδιότητα ότι διανύοντας αυτό το μονοπάτι (από το $A$ στο $B$) κάθε χρονική στιγμή η απόστασή μας από το...
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:56 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Με παράμετρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 294

Με παράμετρο

Δίνονται οι συναρτήσεις $ f, g: [0,1] \rightarrow R$ με $f_a(x)=1-x^a$ και $g_a(x)=(1-x)^a,$ όπου $a\in (1,+\infty).$ (1) Να δείξετε ότι οι εξισώσεις $f_a(x)=x,g_a(x)=x$ έχουν μοναδική λύση στο $(0,1)$ για κάθε $a.$ (2) Αν με $x_1(a),x_2(a)$ συμβολίσουμε τις ρίζες των $f_a(x)=x$ και $g_a(x)=x$ αντίσ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Ιούλ 04, 2019 11:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Θέμα: Δροσερό καφεδάκι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 377

Re: Δροσερό καφεδάκι

Τι πιθανότητα έχει αυτό; Έστω $X_n$ η τ.μ. που καταμετρεί το πλήθος από διαφορετικά παγάκια που έχουμε μαζέψει μέχρι την χρονική στιγμή $n$. Ορίζουμε $T=min(n:X_n=10).$ H $ T$ είναι χρόνος διακοπής (stopping time). Για την κατανομή της $T$ μπορούμε να δουλέψουμε με τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Ιούλ 01, 2019 12:21 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Συνδυαστική ταυτότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 277

Συνδυαστική ταυτότητα

Κατά την επίλυση ενός προβλήματος μου προέκυψε η παρακάτω ως δύο ''διαφορετικές'' απαντήσεις στο πρόβλημα οι οποίες

αναγκαστικά είναι ίδιες. Να δείξετε ότι

\displaystyle \binom{n}{k}\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^i\frac{\binom{n-k}{i}}{k+i+1}=\frac{1}{n+1},
για κάθε k=0,1,...,n.
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Ιουν 30, 2019 9:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Θέμα: Δροσερό καφεδάκι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 377

Re: Δροσερό καφεδάκι

Κάθε μέρα δροσίζω τον καφέ μου με 3 παγάκια, τα οποία παίρνω τυχαία από την 10θέσια παγοθήκη μου, και κατόπιν ξαναγεμίζω με νερό τις άδειες θέσεις, για να έχω μια γεμάτη παγοθήκη και την επόμενη μέρα. Κάθε πόσες μέρες (κατά μέσο όρο) ανανεώνονται όλες οι θήκες με καινούριο νερό; Αν με $E_n$ συμβολί...
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Ιουν 27, 2019 9:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Μερικά ξεχασμένα αρχαία Θεωρήματα ... Ομιλία, Αθήνα 26 Ιουνίου
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 732

Re: Μερικά ξεχασμένα αρχαία Θεωρήματα ... Ομιλία, Αθήνα 26 Ιουνίου

Η ομιλία ήταν εξαιρετική. Είχα την τύχη να την παρακολουθήσω. Ευχαριστούμε κ.Λάμπρου.
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Ιουν 20, 2019 8:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύγκλιση στο μέσο όρο.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 453

Re: Σύγκλιση στο μέσο όρο.

Επαναφορά.
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Ιουν 20, 2019 8:02 pm
Δ. Συζήτηση: Στατιστική-Πιθανότητες
Θέμα: Το κομμένο σχοινί
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 189

Re: Το κομμένο σχοινί

Επαναφορά.
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Ιουν 20, 2019 8:01 pm
Δ. Συζήτηση: Στατιστική-Πιθανότητες
Θέμα: Μετοχή
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 137

Re: Μετοχή

Επαναφορά.
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Ιουν 20, 2019 8:01 pm
Δ. Συζήτηση: Στατιστική-Πιθανότητες
Θέμα: Ουρά αλά Greek
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 205

Re: Ουρά αλά Greek

Επαναφορά.
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Ιουν 16, 2019 8:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύγκλιση στο μέσο όρο.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 453

Σύγκλιση στο μέσο όρο.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{matrix} a, &0\leq x<c \\ b& c\leq x\leq 1 \end{matrix}\right.,a\neq b.$ Συμβολίζουμε επίσης με $B_nf(x)$ το πολυώνυμο $\displaystyle \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^i(1-x)^{n-i}f\left (\frac{i}{n} \right ).$ Να δειχθεί ότι $B_nf(c)\rightarrow \dfrac{a+b}{2}$ όταν ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Ιουν 14, 2019 11:02 pm
Δ. Συζήτηση: Στατιστική-Πιθανότητες
Θέμα: Το κομμένο σχοινί
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 189

Το κομμένο σχοινί

Διαθέτουμε ένα σχοινί μήκους $1m$. Με ένα ψαλίδι κόβουμε το σχοινί σε ένα τυχαίο σημείο (ομοιόμορφα) και πετάμε το δεξί κομμάτι. Κόβουμε πάλι το κομμάτι που κρατήσαμε σε ένα τυχαίο σημείο και πετάμε ξανά το δεξί κομμάτι. Η διαδικασία συνεχίζεται επ’άπειρον. Ποια είναι η πιθανότητα κάποιο από τα κομμ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση