Η αναζήτηση βρήκε 34 εγγραφές

από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Κυρ Φεβ 24, 2019 9:21 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 8143

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Συγχαρητήρια σε όλους τους διακριθέντες!Παραθέτω για λόγους πλουραλισμού μία ακόμη αντιμέτωπιση για το πρόβλημα 3 των μεγάλων. Έστω, $x=\frac{a}{b}$ , $(a,b)=1$ και $y=\frac{c}{d}$ ,$(c,d)=1$ , όπου $a,b,c,d$ θετικοί ακέραιοι.Η αρχική σχέση γίνεται $c^{d}a^{c}=(c+d)^{d}b^{c}$ Αν $c>1$,τότε θεωρούμε ...
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Δευ Ιούλ 09, 2018 2:46 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Μέγιστη διαφορά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 497

Re: Μέγιστη διαφορά

Έστω ακέραιοι $m \geqslant n$ ώστε $m^3+n^3+1=4mn$. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του $m-n$. Γεια σου Ορέστη!Συγχαρητήρια για την πρόσφατη επιτυχία σου!Λοιπόν ας πάμε τώρα στο πρόβλημα :D. Αν $m=0$ παίρνουμε $n=-1$ άρα $m-n=1$ .Αν $n=-1$ τότε παίρνουμε $m=0$ που είναι αδύνατο λόγω της διάταξης των $m,...
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Παρ Ιούλ 06, 2018 12:31 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1058

Re: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Επαναφορά! (πρόκειται για δύσκολο πρόβλημα!Κρίνοντας τουλάχιστον από την λύση του).
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Παρ Ιουν 22, 2018 1:18 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1058

ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Να δείξετε ότι αν για κάθε n\in\mathbb{N} o αριθμός (a^n-1)(b^n-1) με a,b θετικούς ακεραίους είναι τέλειο τετράγωνο τότε a=b.
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Δευ Ιουν 18, 2018 1:55 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Έυρεση πρώτων!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 340

Έυρεση πρώτων!

Βρείτε όλους τους πρώτους \displaystyle{p,q} ώστε ο αριθμός \displaystyle{\frac{\left( 5^{p}-2^{p} \right )\left (5^{q}-2^{q}  \right )}{pq}} να είναι ακέραιος.
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Δευ Ιουν 18, 2018 1:38 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Λύσεις στους ρητούς
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 321

Λύσεις στους ρητούς

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: \displaystyle{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\left (x+y+z\right )+5=0} δεν έχει λύσεις στους ρητούς.
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Πέμ Ιουν 14, 2018 7:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 592

Re: Τέλειο τετράγωνο

Aν $\displaystyle{x y z}$ θετικοί ακέραιοι,ώστε $\displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z}$ και $\displaystyle{d}$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{dxyz}$ είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές). Η δοσμένη εξίσωση γράφεται $yz-xz=xy$. ...
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Πέμ Ιουν 14, 2018 3:25 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 549

Ανισότητα

Αν \displaystyle{a,\ b,\ c} \displaystyle{>0} , ώστε \displaystyle{a+b+c=3} να δείξετε ότι:
\displaystyle{\sqrt{\frac 23}\left(\sqrt[2018]{a}\ +\sqrt[2018]{b}\ + \sqrt[2018]{c}\hskip 0.05 in\right) 
+\sqrt{a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)\ }\geq\sqrt{6}.}
Πηγή: (Aops) (Δεν έχει ανέβει κάποια λύση ακόμη).
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Τετ Ιουν 13, 2018 1:10 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 592

Re: Τέλειο τετράγωνο

Aν $\displaystyle{x y z}$ θετικοί ακέραιοι,ώστε $\displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z}$ και $\displaystyle{d}$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{dxyz}$ είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές). Η δοσμένη εξίσωση γράφεται $yz-xz=xy$. ...
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 592

Τέλειο τετράγωνο

\displaystyle{x y z} θετικοί ακέραιοι,ώστε \displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z} και \displaystyle{d} ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{dxyz} είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Δευ Απρ 02, 2018 2:26 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018
Απαντήσεις: 37
Προβολές: 5362

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018

Η λύση μου για το 1ο.(Αν υπάρχει κάποιο σφάλφμα θα παρακάλουσα να αναφερθεί). Έστω, $a\geq b\geq c\geq d$ και $a+b<2$.Από την αρχική σχέση παίρνουμε ότι: $a^{2}+3b^{2}\geq 4$(1) και $a^{2}\geq 1\Leftrightarrow a\geq 1$ Όμως, $a+b<2\Rightarrow0 \leq a-1<1-b\Rightarrow 1-b>0$ και $a<2-b$ Άρα, από (1) ...
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Παρ Ιαν 19, 2018 8:27 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 80
Προβολές: 5346

Re: 15η άσκηση στα μονά-ζυγά

Το παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 κόκκινα και 9 μαύρα τετράγωνα. Μπορούμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς από το 1 έως και το 18, έναν σε κάθε τετράγωνο με τέτοιον τρόπο ώστε το άθροισμα των αριθμών στα κόκκινα τετράγωνα να είναι ίσο με το άθροισμα των αριθμών στα μαύρα τετράγωνα; Παράκλιση, οι γν...
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Παρ Ιαν 19, 2018 7:53 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 80
Προβολές: 5346

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

α)Ένα παράδειγμα είναι με το 1432. β)Για $n$ περιττό παρατηρούμε ότι ο $a_\frac{n+1}{2}$ προστίθεται με τον εαυτό του το οποίο μας δίνει άρτιο αριθμό .Άρα δεν γίνεται όλα τα ψηφία να είναι περιττά. Ανδρέα, προσοχή. Δεν είναι σωστό αυτό γιατί μπορεί να έχουμε κρατούμενο. Καλησπέρα, κύριε Μιχάλη έχετ...
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Τετ Ιαν 17, 2018 1:34 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 80
Προβολές: 5346

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Άσκηση 14 . Γράφουμε έναν n-ψήφιο αριθμό $\overline {a_1a_2...a_n}$ , τον αναποδογυρίζουμε $\overline {a_na_{n-1}...a_1}$ και μετά προσθέτουμε τους δύο. Για παράδειγμα ... $1764$ $+4671$ $----$ ... $6435$ α) Για $n$ άρτιο δώστε παράδειγμα όπου όλα τα ψηφία του αθροίσματος είναι περιττοί αριθμοί. β)...
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Τρί Ιαν 16, 2018 8:03 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 80
Προβολές: 5346

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

α) Αν $n=4N$ τότε χωρίζουμε τους αριθμούς σε τετράδες και κάθε τετράδα της μορφής $i, i+1, i+2, i+3$ γίνεται $i-(i+1)-(i+2)+(i+3)$ που κάνει $0$. Άρα όλες οι τετράδες μαζί κάνουν $0$. Αν $n=4N+3$ τότε παίρνουμε το $1$ και τον προτελευταίο αριθμό με $+$ και τον τελευταίο με $-$. Αυτό το άθροισμα κάν...
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Τετ Ιαν 03, 2018 10:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 2248

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση

Θα προσθέσω ακόμη μια ασκησή Α3) Αν $a,b,c$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε $abc=1$, να δείξετε ότι $a^3+b^3+c^3 \ge \frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ Μετά από πράξεις αρκεί ν.δ.ο : $\displaystyle{a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{3}{2} +\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+ab\cdot\le...
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Σάβ Νοέμ 11, 2017 5:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2017
Απαντήσεις: 167
Προβολές: 19412

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Καλησπέρα , σε όλους έχω μια απορία σχετικά με το τι συμβαίνει σε μια τέτοια περίπτωση:Στο 2ο θέμα της Α λυκείου από απροσεξία συμπλήρωσα λάθος το τετράγωνο στο τριώνυμο ως προς $z$ και έλυσα σωστά την εξής:$ \left (x-2\right )^{2}+\left (2y-1 \right )^{2}+9\left ( 3z+2)^{2}=35 $ :wallbash: μηδενίζε...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση