Η αναζήτηση βρήκε 195 εγγραφές

από min##
Δευ Ιουν 24, 2019 2:00 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 37
Προβολές: 1778

Re: JBMO 2019

Πολλά συγχαρητήρια στους μαθητές των 2 ομάδων,τους συνοδούς ,τους θεματοδότες και φυσικά τους διοργανωτές.
από min##
Κυρ Ιουν 16, 2019 2:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τρεις και μία καθετότητες
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 132

Re: Τρεις και μία καθετότητες

Έχουμε τη σύνθεση στροφής και ομοιοθεσίας κέντρου A που στέλνει το BE στο CF.Είναι γνωστό λοιπόν πως θα στέλνει και το BC στο EF καιάρα το μέσο του ενός στο μέσο του άλλου.Έτσι τα AMN,ABE είναι όμοια (Π-Γ-Π) κτλ.
από min##
Παρ Ιουν 14, 2019 12:50 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Αντιπαράλληλες και ισογώνιες
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 192

Re: Αντιπαράλληλες και ισογώνιες

Είναι (σχεδόν) θέμα ορισμού.Παρατήρησε τα όμοια (αντιστρόφως) τρίγωνα $AEF,ABC$ εξαιτίας των αντιπαράλληλων (ορισμός,πχ. $AFE \angle=C\angle$ και $AEF\angle=B\angle$).Από κει και πέρα τα αντίστοιχα τμήματα(διάμεσοι,διχοτόμοι,ύψη κτλ.) χωρίζουν τις αντίστοιχες πλευρές ομοίων τριγώνων σε ίσους λόγους ...
από min##
Δευ Ιουν 10, 2019 1:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Περίεργη συντρέχεια
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 474

Re: Περίεργη συντρέχεια

Εξαιρετική λύση, το χτυπάει στην "καρδιά" του. :coolspeak:
από min##
Κυρ Ιουν 09, 2019 7:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Περίεργη συντρέχεια
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 474

Περίεργη συντρέχεια

Ένα θέμα που μου προέκυψε (μπορεί να υπάρχει πολύ άμεση λύση,μπορεί και όχι):Έστω τρίγωνο $ABC$ και $A',B',C'$ τα αντιδιαμετρικά των κορυφών στον περίκυκλο.Έστω $X,Y$ τα μέσα των τόξων $AC,AB$ και $S,T$ οι τομές της ευθείας που ενώνει το περίκεντρο με το έκκεντρο του τριγώνου,με τις $AB,AC$.Αν $l$ η...
από min##
Σάβ Ιουν 08, 2019 7:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: 666 - Σατανικές συντρέχουσες ευθείες.
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1368

Re: 666 - Σατανικές συντρέχουσες ευθείες.

Άκυρος χρονικά,αλλά τώρα το είδα και μάρεσε :geek: . Μια σύντομη λύση με (3) μετασχηματισμούς: paracevianx perspector.png Το πρόβλημα είναι καθαρά αφινικό (στην προκειμένη περίπτωση εμπλέκει μονάχα συντρέχειες/παραλληλίες,ιδιότητες που διατηρούν οι αφινικοί μετασχηματισμοί). Το κλειδί είναι ότι μπορ...
από min##
Παρ Ιουν 07, 2019 3:07 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 969

Re: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)

Νομίζω βρήκα μια που βασίζεται στις ενελίξεις (involutions): Bradley.png Φιξάρω τα $B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$ και παίρνω μεταβλητό σημείο $A_{1}$ πάνω στην $BC$. Παίρνω τη μοναδική κωνική που εφάπτεται στις $BB_{1},BB_{2},CC_{1},CC_{2},AA_{1}$. Ορίζω το $A_{2]$ ως την τομή της δεύτερης εφαπτομένης απ...
από min##
Παρ Ιουν 07, 2019 12:46 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 969

Re: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10/11η τάξη 2014)

Ισχύει πως τα έξι σημεία γενικά βρίσκονται σε κωνική * οπότε έπεται άμεσα πως αν τα 5 ορίζουν κύκλο,και το 6ο ανήκει στον κύκλο. *βλ. Εδώ θεώρημα Bradley:https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://arxiv.org/pdf/1308.6144&ved=2ahUKEwiR0MvfidfiAhXR0qYKHUDWCJ4QFjAOegQIBBAB&usg=AOvVaw0...
από min##
Κυρ Ιουν 02, 2019 9:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Απαιτητική γεωμετρία
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1235

Re: Απαιτητική γεωμετρία

Μια λύση με συμμετρική αντιστροφή/μετρικές σχέσεις: mixtilinear1.png Παίρνουμε συμμετρική αντιστροφή κέντρου $A$ που στέλνει το $B$ στο $C$. Η $BC$ πάει στον $(ABC)$.Έτσι το $X$ πάει στο μέσο του τόξου $BC$, $X'$,ενώ το $A'$ από γνωστή ισογωνιότητα που αναφέρθηκε παραπάνω,πάει στην προβολή $D'$ του ...
από min##
Πέμ Μάιος 30, 2019 9:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Οικογένεια Feuerbach.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1431

Re: Οικογένεια Feuerbach.

Βάζω μια απόδειξη για το Λήμμα του Πάνου η οποία όμως βασίζεται σε (πολλά) λήμματα (γνωστά) για τις κωνικές. Καταλήγω να χρησιμοποιώ ουσιαστικά και Λήμματα της προηγούμενης ανάρτησης (άρα κάνω κύκλους ). Παρ'όλα αυτά το αγνοώ αυτό και επιλέγω άλλο δρόμο,ίσα ίσα για να υπάρχουν κι εδώ κάποια γνωστά α...
από min##
Πέμ Μάιος 30, 2019 8:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλίες από έκκεντρο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 178

Παραλληλίες από έκκεντρο

Πιθανότατα έναν φάκελο πιο κάτω (εξαρτάται από τη λύση :lol: ) αλλά σίγουρα ενδιαφέρον: Έστω τρίγωνο $ABC$,$K,L,M$ τα μέσα των $BC,AC,AB$ και $D,E,F$ οι προβολές του έκκεντρου σ'αυτές τις πλευρές αντίστοιχα. Αν $A'\equiv LM\cap EF,B'\equiv KM\cap DF,C'\equiv KL\cap DE$ νδο $AA',BB',CC'$ παράλληλες. ...
από min##
Τετ Μάιος 29, 2019 11:53 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 805

Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών

Α τέλεια :lol: :? .Λέω και γω,κάτι δεν μου κολλάει.Ευχαριστώ πάντως,θα το ξανακοιτάξω μπας και..
από min##
Τρί Μάιος 28, 2019 7:11 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 805

Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών

Πολύ πιθανό να κάνω πατάτα (...) αλλά δεν παρακάμπτεται αυτό με τις μονάδες; Είναι αρχικά πέρα από την τετριμμένη λύση $(n,x)=(0,2)$ $n$ περιττό. Το $13^n+3=x^2$ παραγοντοποιείται σε $(4+\sqrt{3})^n(4-\sqrt{3})^n=(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$. (Το $Z[\sqrt{3}]$ είναι UFD). Τα $(x+\sqrt{3}),(x-\sqrt{3})$...
από min##
Σάβ Μάιος 25, 2019 7:21 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Λήμμα με Miquel
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 783

Re: Λήμμα με Miquel

Παραθέτω μια γρήγορη νομίζω λύση έτσι για να υπάρχει: Ορίζουμε $T \equiv X_{C}X_{B} \cap LM,P \equiv X_{C}X_{A} \cap LM$. Δείχνουμε πως ο $(TPX_{C})$ περνάει από το $S$ και έχουμε τελειώσει: Αν δειχθεί αυτό,τότε με $T' \equiv MK \cap X_{C}X_{A},T'' \equiv MK \cap X_{C}X_{B}$,$P' \equiv KL \cap X_{C}...
από min##
Παρ Μάιος 24, 2019 11:44 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Λήμμα με Miquel
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 783

Re: Λήμμα με Miquel

Θα πρότεινα το πρώτο-δηλαδή με εγγράψιμα .(Ίσως όχι το MKLS ξέρω γω,αλλά κάτι ανάλογο..)Τείνω να πιστεύω ότι μάλλον είναι κάπως ζόρικο πρόβλημα οπότε όποιος δεν έχει πολύ χρόνο μην τον χαραμίσει :? .
από min##
Πέμ Μάιος 23, 2019 5:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Λήμμα με Miquel
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 783

Re: Λήμμα με Miquel

Δε φαίνεται καλά ,αλλά ναι είναι.
από min##
Πέμ Μάιος 23, 2019 12:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Λήμμα με Miquel
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 783

Re: Λήμμα με Miquel

Επαναφορά για όποιον έχει χρόνο :lol:
από min##
Τρί Μάιος 21, 2019 1:05 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Λήμμα με Miquel
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 783

Λήμμα με Miquel

Ίσως κι ένα επίπεδο χαμηλότερη: miquellemma.png Έστω τρίγωνο $ABC$,$K,L,M$ τα μέσα των $BC,CA,AB$ αντίστοιχα και $AXX_{A},BXX_{B},CXX_{C}$ τυχαίες σεβιανές.Έστω $A' \equiv X_{B}X_{C}\cap BC,B' \equiv X_{C}X_{A}\cap CA,C' \equiv X_{A}X_{B}\cap AB$.Να δειχτεί πως το σημείο Miquel του $A'C'X_{A}X_{C}.X...
από min##
Δευ Μάιος 20, 2019 3:27 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Πρωτάθλημα σκακιού υπολογιστών
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 1011

Re: Πρωτάθλημα σκακιού υπολογιστών

Φτάνουν σε τέτοιο βάθος;
Αν η ερώτηση είναι/ήταν σε πόσο βάθος "σκέφτονται" (πόσες κινήσεις μπροστά βλέπουν;) ποια θα ήταν η απάντηση;Βεβαίως και πρέπει να εξαρτάται και από τη θέση (π.χ. στο φινάλε πύργων/ίππου υπάρχουν άλλοι/λιγότεροι συνδυασμοί από ότι στην αρχή του παιχνιδιού).
από min##
Δευ Μάιος 20, 2019 3:18 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Πρωτάθλημα σκακιού υπολογιστών
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 1011

Re: Πρωτάθλημα σκακιού υπολογιστών

Καλησπέρα.
Σε αυτό με τις 500 κινήσεις δεν πρέπει να είναι εφικτό σε ''ανθρώπινα" παιχνίδια και για άλλους λόγους(βλ. κανόνα 50 κινήσεων https://en.wikipedia.org/wiki/Fifty-move_rule)
Edit:Διευκρινίστηκε παραπάνω :coolspeak:

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση