Η αναζήτηση βρήκε 73 εγγραφές

από Panagiotis11
Παρ Ιαν 26, 2018 12:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018
Απαντήσεις: 95
Προβολές: 18964

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Η λύση μου για το 2ο θέμα Β Λυκείου Αρκεί να αποδείξουμε πως $x^5+y^5=(x^3+y^3)(x^2+y^2)-(xy)^2(x+y)\in \mathbb{Z}$ Δηλαδή αρκεί $x^3+y^3\wedge xy\in \mathbb{Z}$ $\bullet$ Ισχύει ότι $(x+y)^2\in \mathbb{Z}$ άρα $x^2+y^2+2xy\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 2xy\in \mathbb{Z}$$(1)$ $\bullet$ Επίσης $(x^2...
από Panagiotis11
Τρί Ιαν 23, 2018 12:28 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018
Απαντήσεις: 95
Προβολές: 18964

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Η λύση μου για το 2ο θέμα Β Λυκείου Αρκεί να αποδείξουμε πως $x^5+y^5=(x^3+y^3)(x^2+y^2)-(xy)^2(x+y)\in \mathbb{Z}$ Δηλαδή αρκεί $x^3+y^3\wedge xy\in \mathbb{Z}$ $\bullet$ Ισχύει ότι $(x+y)^2\in \mathbb{Z}$ άρα $x^2+y^2+2xy\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 2xy\in \mathbb{Z}$$(1)$ $\bullet$ Επίσης $(x^2+...
από Panagiotis11
Τετ Ιαν 10, 2018 2:41 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Ημερομηνίες επιστημονικών μαθητικών διαγωνισμών
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 911

Re: Ημερομηνίες επιστημονικών μαθητικών διαγωνισμών

Αυτό είναι πράγματι ένα θέμα.Ας μη ξεχνάμε και πως ο διαγωνισμός Βιολογίας συμπίπτει με τον διαγωνισμό Αστρονομίας φέτος στις 3 Φεβρουαρίου .Γιατί να μην δίνουμε σε αυτά τα παιδιά τη δυνατότητα συμμετοχής/διάκρισης και στα δύο μαθήματα;
από Panagiotis11
Παρ Ιαν 05, 2018 12:42 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 2681

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση

NT3) Να βρείτε τις τριάδες $x,y,z> 0$,που ικανοποιούν την εξίσωση: $1+2^{x}3^{y}=z^{2}$ 1) $c=2^k$ και $c+1=3^y$. Έχουμε λοιπόν ότι $3^y-1=2^k$, από το θεώρημα $Catalan$ προκύπτει ότι μοναδική λύση είναι η $y=2$ και $k=3$, άρα $y=2$ και $x=5$, οπότε $z=17$. Πολύ ωραία λύση,μια μικρή παρατήρηση.Το θ...
από Panagiotis11
Παρ Ιαν 05, 2018 12:38 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 2681

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση

NT4) Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων, τέτοια ώστε το τελευταίο ψηφίο του αθροίσματός τους να είναι 3,
η διαφορά τους να είναι πρώτος αριθμός και το γινόμενο τους να είναι τετράγωνο θετικού ακεραίου.
από Panagiotis11
Σάβ Οκτ 14, 2017 7:20 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)
Απαντήσεις: 131
Προβολές: 84816

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Πρόβλημα 51 Η Λουκία παρατήρησε ότι οι αδερφές της είναι δύο περισσότερες από τους αδερφούς της. Ο Γρηγόρης, αδερφός της Λουκίας, παρατήρησε ότι οι αδερφές του είναι τριπλάσιες από τους αδερφούς του. Πόσα είναι όλα τα αδέρφια; Έστω $g$ ο αριθμός των κοριτσιών και $b$ των αγοριών $\left\{\begin{matr...
από Panagiotis11
Παρ Σεπ 22, 2017 11:42 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Με τι ισούται ;
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 850

Re: Με τι ισούται ;

Άμεση εφαρμογή του Κινέζικο θεωρήματος υπολοίπου(Chinese remainder theorem) οπότε μετά από πράξεις έχουμε την λύση 360n+11οπότε
με τον περιορισμό n=0,1,2,3 παίρνουμε τις λύσεις:
11,371,731,1091
από Panagiotis11
Τετ Σεπ 13, 2017 1:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Tricky θεωρία αριθμών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1029

Tricky θεωρία αριθμών

Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων(x,y) που ικανοποιούν την εξίσωση:

2(x^2+y^2)+x+y=5xy
από Panagiotis11
Πέμ Σεπ 07, 2017 3:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μεγάλος πρώτος διαιρέτης
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 816

Μεγάλος πρώτος διαιρέτης

Δίνεται ότι ο αριθμός 4^{11}+1 διαιρείται από κάποιον πρώτο μεγαλύτερο του 1000.Να βρείτε αυτόν τον πρώτο.
από Panagiotis11
Παρ Σεπ 01, 2017 3:06 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Δύσκολη διοφαντική
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 1372

Δύσκολη διοφαντική

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (x,y) που ικανοποιούν την εξίσωση:

2x^4+1=y^2
από Panagiotis11
Παρ Αύγ 18, 2017 1:28 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πυθαγόρεια Τριάδα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1300

Re: Πυθαγόρεια Τριάδα

Ύστερα αναγράφουμε όλες τις πυθαγόρειες τριάδες που ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη. Πώς επιβεβαίωσες ότι δεν υπάρχουν άλλες; Παίρνοντας τα πολλαπλάσια $(k,l,m)=(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17)$ που είναι τα μόνα που μπορούν να πραγματοποιήσουν τη συνθήκη που θέσαμε. Σε όλες τις υπόλοιπες πυθαγόρειες τ...
από Panagiotis11
Τρί Αύγ 15, 2017 5:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πυθαγόρεια Τριάδα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1300

Re: Πυθαγόρεια Τριάδα

Γεια σου Νικόλα.Η άσκηση δεν νομίζω ότι αντιστοιχεί σε προχωρημένο επίπεδο juniors. Πρώτα απ'όλα παίρνουμε $k,l,m$ με $1\leq k\leq 31$ $1\leq l\leq 12$ $17\leq m\leq 40$ συμβολίζοντας αντίστοιχα τις μέρες,τους μήνες και τα χρόνια αντίστοιχα. Επίσης χρειαζόμαστε να έχουμε ως υποτείνουσα το έτος οπότε...
από Panagiotis11
Σάβ Αύγ 12, 2017 1:03 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 969

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής. 1. Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακέραιων $(a,b,c)$ που ικανοποιούν την εξίσωση $a^3+b^3-3ab=2017^c+1$ Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. Είναι $a^3+b^3-3ab=2017^c+1 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow a^3+b^3 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow$ Καλ...
από Panagiotis11
Τετ Ιούλ 19, 2017 8:24 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2017
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 3006

Re: IMO 2017

Πρόβλημα 4 Έστω $R$ και $S$ διαφορετικά σημεία ενός κύκλου $\Omega$ τέτοια, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα $RS$ να μην είναι διάμετρός του. Έστω$\ell$ η εφαπτομένη του κύκλου $\Omega$ στο σημείο $R$. Σημείο $T$ είναι τέτοιο, ώστε το$S$ να είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος $RT$. Στο μικρότερο τόξο $...
από Panagiotis11
Παρ Ιούλ 14, 2017 3:32 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1000

Re: Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)

Πολύ ωραίες οι λύσεις σου Διονύση!

Όσο για την άσκηση 3,να περιμένω να λυθεί πρωτού ανεβάσω και τα επόμενα 3 προβλήματα ή όχι;

Μην ξεχνάτε ότι όπως είχα πει υπάρχουν και άλλοι τρόποι λύσης των ασκήσεων
1) Τριγωνομετρία
2)Φέρνουμε A'\equiv AO\cap HM,%O κέντρο του \bigtriangleup ABC
από Panagiotis11
Δευ Ιούλ 10, 2017 7:17 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1000

Re: Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)

Προσοχή! Αν ο διαγωνισμός είναι ακόμη σε εξέλιξη τότε μάλλον δεν είναι θεμιτό να συζητούμε τις ασκήσεις του εδώ. Παναγιώτη, μπορείς να μας ενημερώσεις σχετικά με τους κανονισμούς του διαγωνισμού; Καλησπέρα,ο διαγωνισμός έχει τελειώσει εδώ και κάμποσο καιρό.Οποιαδήποτε λύση σας είναι ευπρόσδεκτη! Επ...
από Panagiotis11
Δευ Ιούλ 10, 2017 2:23 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1000

Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)

1) Στο $\bigtriangleup ABC$,το σημείο $D$ βρίσκεται πάνω στη πλευρά $BC$ ώστε $AD$ κάθετη στη $BC$.Θεωρούμε $I$ το έκκεντρο του $\bigtriangleup ABC$ , $I_{B}$ το έκκεντρο του $\bigtriangleup ADB$, $I_{C}$ το έκκεντρο του $\bigtriangleup ACD$ και $I_{D}$ το έκκεντρο του $\bigtriangleup DI_{B}I_{C}$....
από Panagiotis11
Σάβ Ιούλ 08, 2017 2:47 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Κινέζικη ἀριθμοθεωρητική
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 876

Re: Κινέζικη ἀριθμοθεωρητική

Καλησπέρα αν και λίγο αργά! Πρώτα απ'όλα ας θεωρήσουμε ότι γίνεται να αναδιατάξουμε τα ψηφία του $2^a$ σε $2^b$ όπου $a<b$ και ας θεωρήσουμε $2^b-2^a$ Τότε επειδή το $2^b$ προέρχεται από τα ίδια ψηφία του $2^a$ από γνωστό λήμμα έχουμε ότι το $9|2^b-2^a$ Επειδή $2^3<10<2^4$ θα έχουμε το πολύ $4$ δυνά...
από Panagiotis11
Πέμ Ιούλ 06, 2017 9:33 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Όμορφη άσκηση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 1008

Όμορφη άσκηση

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των ακεραίων k στο οποίο το σύστημα

\left\{\begin{matrix}x^2-xy=k^2+k & & \\ y^2-xy=k-99 & & \end{matrix}\right.

δεν έχει πραγματικές λύσεις (x,y) ;

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση