Για να κλείνει: Γ) Αρχικά παρατηρούμε ότι για $x=2$ η δοσμένη ισχύει ως ισότητα. Τη μετασχηματίζουμε ως εξής: $ \displaystyle {x^x}{(4 - x)^{4 - x}} \ge 16 \Rightarrow x\ lnx + (4-x)\ ln(4-x) \geq 4\ ln2 \Rightarrow f(x) + f(4-x) \geq 2f(2)$ Αν $x\in (2,4)$ τότε εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ για την $f$ στα...

Καλησπέρα !! Για το Β: α) ${g}'(x)= \frac{(x+1)\ln(x+1)-x\ lnx }{x(x+1)(\ln(x+1)^2)}$ με $x>1$. Θα εκμεταλλευτούμε τη μονοτονία της $f$. Αφού $x>1$ προφανώς ο αριθμητής της ${g}' $ είναι θετικός και άρα και η παραγωγός της $g$ θετική (αφού η $f$ γνησίως αύξουσα στο $(1,\,+\infty)$. Οπότε η $g$ γνησ...

Καλησπέρα !! Για το Β: α) ${g}'(x)= \frac{(x+1)\ln(x+1)-x\ lnx }{x(x+1)(\ln(x+1)^2)}$ με $x>1$. Θα εκμεταλλευτούμε τη μονοτονία της $f$. Αφού $x>1$ προφανώς ο αριθμητής της ${g}' $ είναι θετικός και άρα και η παραγωγός της $g$ θετική (αφού η $f$ γνησίως αύξουσα στο $(1,\,+\infty)$. Οπότε η $g$ γνησί...

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $2^n + 3^n$ δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού $n$. Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου. Η Άσκηση είναι απλή για $n=1$ άτοπο οπότε θα δουλέψουμε για $n\geq 2$, $2^{n}+3^{n}=k^{2}$ ΜΕ $k$ περιττό ακέραιο που προφανώς δεν διαιρείται με το $2,3$ οπότε έχουμ...

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού .

Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου.

Καλησπέρα!! :logo: Προσωπικά εγώ θα έλυνα την άσκηση διαφορετικά. Έστω $x_1< x_2$ με $x_1,x_2 \in (-\infty,0)$ και έστω ότι ισχύει: $f^{-1}(x_1)\ge f^{-1}(x_2)$ Τότε λόγω υπόθεσης θα έχουμε $f(f^{-1}(x_1))\ge f( f^{-1}(x_2))$ το οποίο είναι ισοδύναμο με το: $x_1\ge x_2$ Καταλήγουμε έτσι σε άτοπο και...

Καλησπέρα :logo: και χρόνια πολλά!! :mathexmastree: Όντας ανήσυχος μαθητής της Γ' Λυκείου έχω την εξής απορία. Πού θα μπορούσα να βρω ασκήσεις απαιτητικές-δύσκολες, ή πρωτότυπες, που να ξεφεύγουν (ως έναν βαθμό) από τις τυπικές ασκήσεις τις οποίες συναντά κάθε μαθητής Λυκείου κατά τη διάρκεια της πρ...

Καλησπέρα σας!

Πρόσφατα συνάντησα σε άσκηση υπολογισμού ορίου την τεχνική (;) της επαύξησης κλάσματος(τουλάχιστον έτσι αναφερόταν). Γνωρίζει κάποιος αυτήν την τεχνική και αν ναι πως χρησιμοποιείται σε ασκήσεις ορίων;
Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Αναρτώ και τη λύση μου στην οποία δε χρειάζεται να συμπληρώσουμε κάτι πάνω στο ήδη υπάρχον σχήμα. Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο $ABS$ έχουμε: $AB^2=BS^2+AS^2-2BS\cdot AS\cos \frac{\pi}{4} \Rightarrow AB^2=16+AS^2-4\sqrt{2}AS$ Αντίστοιχα στο $ASC$: $AC^2=SC^2+AS^2-2AS\cdot SC\cos\frac{\pi}{4} \Rig...

Τελικά είχα αριθμητικό λάθος.

Ευχαριστώ τον χρήστη για την επισήμανση.

Υ.Γ: Δε γνωρίζω με ποιον τρόπο να παραθέτω ακριβώς το nickname των χρηστών γι΄ αυτό προτίμησα να το γράψω σε Latex.

Να λυθεί:

όπου

Καλησπέρα, Ευχαριστώ για την προσπάθεια και το χρόνο σου για την λύση του προβλήματος. Μερικές παρατηρήσεις: Προσοχή σε ποιό διάστημα εξετάζεις το $ \phi$ πρέπει να είναι στο διάστημα του προβλήματος και όχι στο $[0,2\pi]$ , μπορεί να επιρεάζει την λύση αν όχι πρέπει να δικαιολογηθεί. Για την εκάστ...

Καλημέρα σας. Αρχικά θα πρέπει να βρούμε τις διαφορετικές ρίζες που προκύπτουν από τη δοσμένη εξίσωση. Έχουμε: $\cos x- \sin 2x +\sin 4x = a(\cot x+2\cos 3x)$ $\p$ φυσικά με $x\neq k\pi, k\in Z$ Το πρώτο μέλος είναι ίσο με: $\cos x- \sin 2x +\sin 4x = \cos x(1-6\sin x+8\sin x\cos^2 x)$ $\p$ , ενώ το...

Καλημέρα. Νομίζω το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα αν "σπάσουμε" κατάλληλα την παράσταση. Έχουμε: $\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}+\frac{d+b+c}{a}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+b+c}{d}$ Παίρνω τα κλάσματα $\frac{a}{b+c+d} $ και $\frac{b+c+d}{a}$ τα οποία είν...

Γεια σας και πάλι και σας ευχαριστώ για τις συμβουλές. Στην άσκηση τώρα: Αρχικά στη δοσμένη εξίσωση πρέπει να λάβουμε υπόψιν τους περιορισμούς. Συγκεκριμένα πρέπει $\cos(x)\neq0 \Rightarrow x\neq k\pi+\frac{\pi}{2} , k\in Z$ Έχουμε: $\sin\left(\dfrac{4x}{13}\right)\cdot\tan(x)=0$ Η εξίσωση αυτή έχει...

Καλησπέρα σας. Θα ήθελα λίγη καθοδήγηση αν γίνεται.

Βρήκα τις ρίζες της εξίσωσης αλλά δεν ξέρω πώς να συνεχίσω.

Καμιά ιδέα;

Σας ευχαριστώ.

Η διακρίνουσα του τριωνύμου (ως προς $x$) είναι: $D=49(49+4c)$ και άρα $x=\frac{2c+49\pm 7\sqrt{49+4c}}{2}$ Εκτελώντας τις πράξεις στην περίπτωση του $(+)$ γρήγορα καταλήγουμε σε μια αδύνατη εξίσωση. Δεν μου φαίνεται και πολύ προφανές αυτό το κομμάτι, πως καταλήγεις σε αδύνατη εξίσωση; Μάλιστα η λύ...

Καλησπέρα σας. Αναρτώ τη λύση μου με επιφυλακτικότητα ως προς την εγκυρότητά της. Έχουμε: $6x+15\sqrt{x}=4k+1$ $2x-13\sqrt{x}=4m+1$ Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη προκύπτει ότι: $4x+28\sqrt{x}=4k-4m \Rightarrow x+7\sqrt{x}=k-m$ Προφανώς πρέπει $x\geq0$ και επομένως για να έχει λύση η εξίσωση π...

Θέμα $3$ Για τη συνάρτηση $ f(x)=\kappa\sin (x)+\lambda\cos(x) $ ισχύει ότι : $f(x)\leq\sqrt{\kappa^2+\lambda^2} $ για κάθε $x$ Όμως $\kappa^2+\lambda^2=\sin^2(a)\sin^2(b)+\cos^2(a)\cos^2(b)$ σχέση $(1)$ Ακόμα ισχύει ότι: $\cos^2(a-b)=\cos^2(a)\cos^2(b)+\sin^2(a)\sin^2(b)+2\sin(a)\sin(b)\cos(a)\cos...

Καλησπέρα, θα ήθελα να ρωτήσω το εξής σχετικά με το θέμα $3$. Αν έχουμε την παράσταση $ \sin^2(a)sin^2(b)+\cos^2(a)\cos^2(b) $ , τότε είναι λάθος να θέσω $ \sin^2(a)=\sin(\phi) $ και $ \cos^2(a)=\cos(\phi) $ και να δημιουργήσω συνάρτηση έστω $ g(\phi)=\sin^2(b)\sin(\phi)+\cos^2(b)\cos(\phi) , \phi ...