Η αναζήτηση βρήκε 213 εγγραφές

από mikemoke
Κυρ Ιουν 16, 2019 1:01 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Υπάρχει m
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 133

Re: Υπάρχει m

Έστω $a_1, a_2, \dots , a_n$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι υπάρχει $1 \leq m \leq n -1$ με την ιδιότητα: $\displaystyle{ \left | \sum_{k=1}^{m} a_k - \sum_{k=m+1}^{n} a_k \right | \leq \max \left \{ a_1, a_2, \dots, a_n \right \}}$ Είναι η άσκηση 37 του πρώτου κεφαλαίου . https://ecla...
από mikemoke
Πέμ Απρ 11, 2019 10:24 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: σημείο συμπύκνωσης
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 201

Re: σημείο συμπύκνωσης

Με αφορμή αυτό. https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=9&t=64234 Αν $A\subseteq \mathbb{R}$ και $x\in A$ . Το $x$ λέγεται σημείο συμπύκνωσης του $A$ αν για κάθε $\epsilon > 0$ το σύνολο $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\cap A$ είναι υπεραριθμήσιμο. Να δειχθεί ότι : Αν $A\subseteq \mathbb{R}$ είν...
από mikemoke
Τετ Απρ 10, 2019 6:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 430

Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.

...Τότε $\forall x\in A \exists \epsilon_{x}>0 : (x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x}) \cap A\, {\color{red}{=\varnothing}$ ... Άσχετα με την άσκηση, η σημειωμένη πρόταση δεν είναι αληθής, αφού $x\in A$ και $ x\in(x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x})$. Κάτι άλλο είχατε κατά νου... Ευχαριστώ , το σωστό είναι :$...
από mikemoke
Τετ Απρ 10, 2019 4:17 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 430

Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.

Να αποδειχθεί ότι κάθε υπεραριθμήσιμο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ (εφοδιασμένο με την συνήθη μετρική) περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσής του. Έστω $A$ το παραπάνω σύνολο. Τότε υποθέτουμε ότι κανένα $x\in A$ δεν είναι σ.σ του $A$. Τότε $\forall x\in A \exists \epsilon_{x}>0 : (x-\epsilon_{x}...
από mikemoke
Πέμ Φεβ 21, 2019 7:52 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 233

Re: Ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας

M.S.Vovos έγραψε:
Πέμ Φεβ 21, 2019 5:54 pm
Αναρωτιέμαι αν κάποιος γνωρίζει την απόδειξη της μοναδικότητας ανηγμένου κλιμακωτού πίνακα. Δυστυχώς οι σημειώσεις μου δεν έχουν την απόδειξη.

Φιλικά,
Μάριος
https://www.maa.org/sites/default/files/Yuster19807.pdf
από mikemoke
Τρί Φεβ 19, 2019 12:38 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Όριο ολοκληρωμάτων
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 610

Re: Όριο ολοκληρωμάτων

Έστω ότι $f$ συνεχής για $x=0$ και φραγμένη. $s_n=\frac{\int_{-1}^{1}f(x)(1-x^2)^ndx}{\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx}= \frac{\int_{-\delta }^{\delta }f(x)(1-x^2)^ndx}{\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx}+\frac{\int_{A_{\delta}} f(x)(1-x^2)^ndx}{\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx}$ (1) όπου $A_\delta =[-1,1]\setminus [-\delta ...
από mikemoke
Κυρ Φεβ 10, 2019 12:45 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο αθροίσματος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 387

Re: Όριο αθροίσματος

Για περισσότερα βλέπε και εδώ
https://artofproblemsolving.com/communi ... and_limsup
από mikemoke
Παρ Φεβ 08, 2019 4:14 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο αθροίσματος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 387

Re: Όριο αθροίσματος

Έστω ακολουθία $a_n$ τέτοια ώστε $a_n>0$ , $\limsup a_n =2$ , $\liminf a_n =1$ και $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n{a_k}}=1}$. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{a_k}=1}$. Θα την έβαζα στο νέο φάκελο "Ασκήσεις ΜΟΝΟ ...
από mikemoke
Δευ Ιαν 28, 2019 3:19 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Dirichlet για γενικευμένα.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 357

Re: Dirichlet για γενικευμένα.

Εστω $f,g:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ με τις ιδιότητες Η $f$ είναι φθίνουσα και $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0$ Υπάρχει $M>0$ ώστε για κάθε $x>0$ είναι $\displaystyle|\int_{0}^{x}g(t)dt|\leq M$ Να δειχθεί ότι το ολοκλήρωμα $\displaystyle\int_{0}^{\infty }f(t)g(t)dt$ συγκλίνει Έστω $x\geq...
από mikemoke
Πέμ Ιαν 03, 2019 7:35 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ψάχνουμε τον εκθέτη
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 433

Re: Ψάχνουμε τον εκθέτη

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.$ Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης $k$ για τον οποίον υπάρχουν σταθερές $C\geq 0,a>0$ ώστε να ισχύει $\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R)$ για κάθε $x \in R$ με $\left | x-x_0 \right |<a.$ Edit: Μελετήστ...
από mikemoke
Πέμ Ιαν 03, 2019 7:13 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ψάχνουμε τον εκθέτη
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 433

Re: Ψάχνουμε τον εκθέτη

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.$ Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης $k$ για τον οποίον υπάρχουν σταθερές $C\geq 0,a>0$ ώστε να ισχύει $\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R)$ για κάθε $x \in R$ με $\left | x-x_0 \right |<a.$ Edit: Μελετήστ...
από mikemoke
Κυρ Δεκ 30, 2018 3:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 648

Re: Ακολουθία

Έστω $\displaystyle{x_{n}, n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία θετικών πραγματικών τέτοια ώστε: $\displaystyle{x_{m+n}\leq x_{m}+x_{n} , m,n \in \mathbb{N}}$ να δειχθεί ότι: (Ι) $\displaystyle{\frac{x_{n}}{n}}$ συγκλίνει. (ΙΙ) Έστω $k $ θετικός ακέραιος, αν η συνθήκη ισχύει για: $\displaystyle{|m-n| < k}$...
από mikemoke
Σάβ Δεκ 29, 2018 11:24 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 648

Re: Ακολουθία

Οργάνωνα κάτι σημειώσεις εν όψει εξεταστικής και έπεσα πάνω σε αυτή την άσκηση Απειροστικού 2, μου φάνηκε ενδιαφέρουσα, οπότε και την προτείνω: Έστω $\displaystyle{x_{n}, n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία θετικών πραγματικών τέτοια ώστε: $\displaystyle{x_{m+n}\leq x_{m}+x_{n} , m,n \in \mathbb{N}}$ να δ...
από mikemoke
Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: midpoint convex και φραγμένη άνω είναι κυρτή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 491

Re: midpoint convex και φραγμένη άνω είναι κυρτή

Εστω $I\subseteq \mathbb{R}$ανοικτό διάστημα και $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση που είναι άνω φραγμένη σε κάθε $[a,b]\subseteq I$ (το φράγμα μπορεί να εξαρτάται από το κλειστό διάστημα) Αν για κάθε $x_{1},x_{2}\in I$ ισχύει ότι $f(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2})\leq \dfrac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$ τότ...
από mikemoke
Σάβ Αύγ 11, 2018 5:42 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 261

Re: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Με αφορμή αυτό https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=53&t=62341 Δίνεται η οικογένεια συναρτήσεων $f_a(x)=2e^{x-a}-x^2,x>0,a>1$ η οποία έχει δύο θέσεις τοπικών ακροτάτων $x_1,x_2$ με $x_1\in(0,1)$ και $x_2\in(a,+\infty ).$ Συμβολίζουμε $x_1:=x_1(a),x_2:=x_2(a)$ τις θέσεις όταν παράμετρος είνα...
από mikemoke
Παρ Αύγ 10, 2018 2:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 769

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Μια ακόμη προσπάθεια. $(\Rightarrow )$ $f$ αύξουσα $\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in [a,b](x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)) \Rightarrow \forall x\in [a,b) \forall h\in(0,b-x) \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0$ $ \Rightarrow \sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq \inf\left...
από mikemoke
Κυρ Αύγ 05, 2018 5:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 769

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Η κατεύθυνση $\Leftarrow$ αποδίδεται στον A.Zygmund. Την κατεύθυνση $\Rightarrow$ από ένα πρόχειρο ψάξιμο σε ''παλιά'' βιβλία δεν την βρήκα. Δεν μπορεί θα είναι γνωστή ίσως σε μια ισχυρότερη μορφή. Αξίζουν συγχαρητήρια στον mikemoke μόνο και μόνο που ασχολείται με το θέμα. Ηδη την μια κατεύθυνση τη...
από mikemoke
Πέμ Αύγ 02, 2018 4:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 769

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

$(\Rightarrow )$ $T\equiv \left \{ x\in [a,b]|\exists y\in [a,b]-\left \{ x \right \} :f(x)=f(y) \right \}$ $\forall \eta\in f(T) T_\eta\equiv \left \{ x\in T |f(x)=\eta \right \}$ Από τον ορισμό των $T,T_\eta$ την συνέχεια της $f$ και ότι είναι αύξουσα προκύπτει ότι : $\forall \eta\in f(T) (\inf T_...
από mikemoke
Τρί Ιούλ 31, 2018 1:27 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 769

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Εστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση. Θέτουμε $E=\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \right \}$ Να δειχθεί ότι η $f$ είναι αύξουσα αν και μόνο αν το $f(E)$ δεν περιέχει διάστημα. Σημείωση.Είναι $D^{+}f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \del...
από mikemoke
Πέμ Ιούλ 12, 2018 9:36 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 360

Re: Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών

Εστω $a_{1},a_{2},....a_{m}$ μη αρνητικοί πραγματικοί και $a_{m+1},a_{m+2},....a_{n}$ μη θετικοί πραγματικοί. οπου $m<n$ θετικοί φυσικοί. Να δειχθεί ότι υπάρχει $1\leq j\leq n$ ώστε $\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\left | a_{k} \right |\leq \left | \sum_{k=1}^{j}a_{k} \right |$ Αν $\left | \sum_{k=m+1}^{...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση