Η αναζήτηση βρήκε 215 εγγραφές

από mikemoke
Πέμ Σεπ 19, 2019 11:42 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Σύγκλιση σε χώρο με νόρμα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 158

Re: Σύγκλιση σε χώρο με νόρμα

Εστω $X$ χώρος με νόρμα. Για $x\in X-\left \{ 0 \right \}$ θέτουμε $\hat{x}=\frac{x}{\left \| x \right \|}$ Εστω $x_{n},x\in X-\left \{ 0 \right \} $ με $x_{n}\rightarrow 0$ Να δείξετε ότι $\hat{x_{n}}\rightarrow \hat{x}$ αν και μόνο αν υπάρχει ακολουθία φυσικών $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ με $a_{n...
από mikemoke
Πέμ Αύγ 15, 2019 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Συνθήκη για ομοιόμορφη σύγκλιση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 320

Re: Συνθήκη για ομοιόμορφη σύγκλιση

Την συζητούσαμε με τον συνοδοιπόρο Ιάσονα Προδρομίδη και φάνηκε ενδιαφέρουσα: Έστω $f_{n},f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ όπου $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty} $ ακολουθία Lebesgue ολοκληρώσιμων συναρτήσεων τέτοιες ώστε $\forall \varepsilon >0, \exists N, \forall n\geq N$ και για κάθε διάστημα $I$ στο $[0...
από mikemoke
Κυρ Ιουν 16, 2019 1:01 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Υπάρχει m
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 238

Re: Υπάρχει m

Έστω $a_1, a_2, \dots , a_n$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι υπάρχει $1 \leq m \leq n -1$ με την ιδιότητα: $\displaystyle{ \left | \sum_{k=1}^{m} a_k - \sum_{k=m+1}^{n} a_k \right | \leq \max \left \{ a_1, a_2, \dots, a_n \right \}}$ Είναι η άσκηση 37 του πρώτου κεφαλαίου . https://ecla...
από mikemoke
Πέμ Απρ 11, 2019 10:24 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: σημείο συμπύκνωσης
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 301

Re: σημείο συμπύκνωσης

Με αφορμή αυτό. https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=9&t=64234 Αν $A\subseteq \mathbb{R}$ και $x\in A$ . Το $x$ λέγεται σημείο συμπύκνωσης του $A$ αν για κάθε $\epsilon > 0$ το σύνολο $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\cap A$ είναι υπεραριθμήσιμο. Να δειχθεί ότι : Αν $A\subseteq \mathbb{R}$ είν...
από mikemoke
Τετ Απρ 10, 2019 6:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 564

Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.

...Τότε $\forall x\in A \exists \epsilon_{x}>0 : (x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x}) \cap A\, {\color{red}{=\varnothing}$ ... Άσχετα με την άσκηση, η σημειωμένη πρόταση δεν είναι αληθής, αφού $x\in A$ και $ x\in(x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x})$. Κάτι άλλο είχατε κατά νου... Ευχαριστώ , το σωστό είναι :$...
από mikemoke
Τετ Απρ 10, 2019 4:17 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 564

Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.

Να αποδειχθεί ότι κάθε υπεραριθμήσιμο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ (εφοδιασμένο με την συνήθη μετρική) περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσής του. Έστω $A$ το παραπάνω σύνολο. Τότε υποθέτουμε ότι κανένα $x\in A$ δεν είναι σ.σ του $A$. Τότε $\forall x\in A \exists \epsilon_{x}>0 : (x-\epsilon_{x}...
από mikemoke
Πέμ Φεβ 21, 2019 7:52 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 331

Re: Ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας

M.S.Vovos έγραψε:
Πέμ Φεβ 21, 2019 5:54 pm
Αναρωτιέμαι αν κάποιος γνωρίζει την απόδειξη της μοναδικότητας ανηγμένου κλιμακωτού πίνακα. Δυστυχώς οι σημειώσεις μου δεν έχουν την απόδειξη.

Φιλικά,
Μάριος
https://www.maa.org/sites/default/files/Yuster19807.pdf
από mikemoke
Τρί Φεβ 19, 2019 12:38 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Όριο ολοκληρωμάτων
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 744

Re: Όριο ολοκληρωμάτων

Έστω ότι $f$ συνεχής για $x=0$ και φραγμένη. $s_n=\frac{\int_{-1}^{1}f(x)(1-x^2)^ndx}{\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx}= \frac{\int_{-\delta }^{\delta }f(x)(1-x^2)^ndx}{\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx}+\frac{\int_{A_{\delta}} f(x)(1-x^2)^ndx}{\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx}$ (1) όπου $A_\delta =[-1,1]\setminus [-\delta ...
από mikemoke
Κυρ Φεβ 10, 2019 12:45 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο αθροίσματος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 495

Re: Όριο αθροίσματος

Για περισσότερα βλέπε και εδώ
https://artofproblemsolving.com/communi ... and_limsup
από mikemoke
Παρ Φεβ 08, 2019 4:14 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο αθροίσματος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 495

Re: Όριο αθροίσματος

Έστω ακολουθία $a_n$ τέτοια ώστε $a_n>0$ , $\limsup a_n =2$ , $\liminf a_n =1$ και $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n{a_k}}=1}$. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{a_k}=1}$. Θα την έβαζα στο νέο φάκελο "Ασκήσεις ΜΟΝΟ ...
από mikemoke
Δευ Ιαν 28, 2019 3:19 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Dirichlet για γενικευμένα.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 440

Re: Dirichlet για γενικευμένα.

Εστω $f,g:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ με τις ιδιότητες Η $f$ είναι φθίνουσα και $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0$ Υπάρχει $M>0$ ώστε για κάθε $x>0$ είναι $\displaystyle|\int_{0}^{x}g(t)dt|\leq M$ Να δειχθεί ότι το ολοκλήρωμα $\displaystyle\int_{0}^{\infty }f(t)g(t)dt$ συγκλίνει Έστω $x\geq...
από mikemoke
Πέμ Ιαν 03, 2019 7:35 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ψάχνουμε τον εκθέτη
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 553

Re: Ψάχνουμε τον εκθέτη

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.$ Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης $k$ για τον οποίον υπάρχουν σταθερές $C\geq 0,a>0$ ώστε να ισχύει $\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R)$ για κάθε $x \in R$ με $\left | x-x_0 \right |<a.$ Edit: Μελετήστ...
από mikemoke
Πέμ Ιαν 03, 2019 7:13 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ψάχνουμε τον εκθέτη
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 553

Re: Ψάχνουμε τον εκθέτη

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.$ Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης $k$ για τον οποίον υπάρχουν σταθερές $C\geq 0,a>0$ ώστε να ισχύει $\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R)$ για κάθε $x \in R$ με $\left | x-x_0 \right |<a.$ Edit: Μελετήστ...
από mikemoke
Κυρ Δεκ 30, 2018 3:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 797

Re: Ακολουθία

Έστω $\displaystyle{x_{n}, n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία θετικών πραγματικών τέτοια ώστε: $\displaystyle{x_{m+n}\leq x_{m}+x_{n} , m,n \in \mathbb{N}}$ να δειχθεί ότι: (Ι) $\displaystyle{\frac{x_{n}}{n}}$ συγκλίνει. (ΙΙ) Έστω $k $ θετικός ακέραιος, αν η συνθήκη ισχύει για: $\displaystyle{|m-n| < k}$...
από mikemoke
Σάβ Δεκ 29, 2018 11:24 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 797

Re: Ακολουθία

Οργάνωνα κάτι σημειώσεις εν όψει εξεταστικής και έπεσα πάνω σε αυτή την άσκηση Απειροστικού 2, μου φάνηκε ενδιαφέρουσα, οπότε και την προτείνω: Έστω $\displaystyle{x_{n}, n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία θετικών πραγματικών τέτοια ώστε: $\displaystyle{x_{m+n}\leq x_{m}+x_{n} , m,n \in \mathbb{N}}$ να δ...
από mikemoke
Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: midpoint convex και φραγμένη άνω είναι κυρτή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 567

Re: midpoint convex και φραγμένη άνω είναι κυρτή

Εστω $I\subseteq \mathbb{R}$ανοικτό διάστημα και $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση που είναι άνω φραγμένη σε κάθε $[a,b]\subseteq I$ (το φράγμα μπορεί να εξαρτάται από το κλειστό διάστημα) Αν για κάθε $x_{1},x_{2}\in I$ ισχύει ότι $f(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2})\leq \dfrac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$ τότ...
από mikemoke
Σάβ Αύγ 11, 2018 5:42 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 295

Re: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Με αφορμή αυτό https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=53&t=62341 Δίνεται η οικογένεια συναρτήσεων $f_a(x)=2e^{x-a}-x^2,x>0,a>1$ η οποία έχει δύο θέσεις τοπικών ακροτάτων $x_1,x_2$ με $x_1\in(0,1)$ και $x_2\in(a,+\infty ).$ Συμβολίζουμε $x_1:=x_1(a),x_2:=x_2(a)$ τις θέσεις όταν παράμετρος είνα...
από mikemoke
Παρ Αύγ 10, 2018 2:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 852

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Μια ακόμη προσπάθεια. $(\Rightarrow )$ $f$ αύξουσα $\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in [a,b](x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)) \Rightarrow \forall x\in [a,b) \forall h\in(0,b-x) \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0$ $ \Rightarrow \sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq \inf\left...
από mikemoke
Κυρ Αύγ 05, 2018 5:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 852

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Η κατεύθυνση $\Leftarrow$ αποδίδεται στον A.Zygmund. Την κατεύθυνση $\Rightarrow$ από ένα πρόχειρο ψάξιμο σε ''παλιά'' βιβλία δεν την βρήκα. Δεν μπορεί θα είναι γνωστή ίσως σε μια ισχυρότερη μορφή. Αξίζουν συγχαρητήρια στον mikemoke μόνο και μόνο που ασχολείται με το θέμα. Ηδη την μια κατεύθυνση τη...
από mikemoke
Πέμ Αύγ 02, 2018 4:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 852

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

$(\Rightarrow )$ $T\equiv \left \{ x\in [a,b]|\exists y\in [a,b]-\left \{ x \right \} :f(x)=f(y) \right \}$ $\forall \eta\in f(T) T_\eta\equiv \left \{ x\in T |f(x)=\eta \right \}$ Από τον ορισμό των $T,T_\eta$ την συνέχεια της $f$ και ότι είναι αύξουσα προκύπτει ότι : $\forall \eta\in f(T) (\inf T_...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση