Η αναζήτηση βρήκε 216 εγγραφές

από Γιάννης Μπόρμπας
Τρί Απρ 09, 2019 1:19 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 2440

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2

Τέλος πάντων Διάβασα την λυση της Χριστινας και κατάλαβα την λυση Ο άλλος την έχει λύσει εντελώς ακαταλαβίστικα Θα ξεχάσουμε και αυτά που ξέρουμε Είναι και φοιτητής τρομάρα του! Ανεπιθύμητα σχόλια, δημιουργούν ανεπιθύμητους χώρους. Δεν είναι κρίμα να χάσουμε μία παραπάνω λύση από έναν μαθητή που φο...
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Ιαν 28, 2019 4:22 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 2146

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1

Θα μπορούσε κάποιος να ανεβάσει μια λυση ή υπόδειξη στο πρόβλημα 2 γιατί έχω κολλήσει; Καλησπέρα Αλέξανδρε, εάν $P(x)=x^n+ax^{n-1}+R_1(x)$ με $\deg(R_1)<n-1$ και $Q(x)=x^m+R_2(x)$ με $\deg(R_2)<m$ δείξε ότι ο μεγιστοβάθμιος όρος του πολυωνύμου $P(x+p)-P(x-p)$ είναι ανεξάρτητος του $R_1(x)$ καθώς κα...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Ιαν 12, 2019 2:25 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 2440

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2

Διαγώνισμα 2 Επίπεδο: Αρχιμήδης Πρόβλημα 1 Να λυθεί στους πρώτους αριθμούς η εξίσωση: $2^{p+4}+q^2=r^3$ Πρόβλημα 2 Αν για τα πολυώνυμα: $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ και $Q(x)=(a-b)x^3+(b-c)x^2+(c-d)x+(d-a)$ όπου $a,b,c,d$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ισχύει ότι: (1) Το κάθε ένα από αυτά έχει 3 διαφορε...
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Ιαν 11, 2019 12:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 2019, ένας ενδιαφέρων αριθμός
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 946

Re: 2019, ένας ενδιαφέρων αριθμός

Να πάμε και στις πολυαγαπημένες μου δυνάμεις ακεραίων, μιας και το άθροισμα των πρώτων $22$ τέλειων δυνάμεων ισούται με $2019$! (Όχι παραγοντικό :D ) $2019 = 1 + 4 + 8 + 9 + 16 + 25 + 27 + 32 + 36 + 49 + 64 + 81 +$ $+ 100 + 121 + 125 + 128 + 144 + 169 + 196 + 216 + 225 + 243$ Μετά υπομονή μέχρι το $...
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Ιαν 11, 2019 12:39 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 2440

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2

Διαγώνισμα 2 Επίπεδο: Αρχιμήδης Πρόβλημα 1 Να λυθεί στους πρώτους αριθμούς η εξίσωση: $2^{p+4}+q^2=r^3$ Πρόβλημα 2 Αν για τα πολυώνυμα: $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ και $Q(x)=(a-b)x^3+(b-c)x^2+(c-d)x+(d-a)$ όπου $a,b,c,d$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ισχύει ότι: (1) Το κάθε ένα από αυτά έχει 3 διαφορε...
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Αύγ 20, 2018 5:20 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κινήσεις στο επίπεδο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 363

Κινήσεις στο επίπεδο

Στο επίπεδο, ονομάζουμε "ακέραια" τα σημεία που έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Ο Νίκος και ο Θανάσης παίζουν το εξής παιχνίδι: Αρχικά, ο Νίκος επιλέγει ένα ακέραιο σημείο, και στην συνέχεια επιλέγει και ο Θανάσης ένα ακέραιο σημείο, διαφορετικό από αυτό του Νίκου. Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι ο Νίκο...
από Γιάννης Μπόρμπας
Τετ Μάιος 09, 2018 8:08 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 2440

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2

Διαγώνισμα 2 Επίπεδο: Αρχιμήδης Πρόβλημα 4 Οι αριθμοί $1,2, ... ,n$ είναι γραμμένοι σε έναν πίνακα όπου $n$ θετικός ακέραιος. Σε κάθε κίνηση, μπορούμε να διαγράψουμε $2$ αριθμούς από τον πίνακα, και στην θέση τους να τοποθετήσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους. Ύστερα από $k$ κινήσεις, εκτελού...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Απρ 21, 2018 2:07 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1737

Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14

Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 4 Δίνεται το σύνολο $S=\{1, 2, ...,n\}$. Ένα υποσύνολο του $S$ (έστω $A=\{a_1, a_2, ..., a_k\}$ με $a_1<a_2<...<a_k$) θα ονομάζεται "προοπτικό" εάν: (1) $gcd(a_i,a_{i+1})|a_{i+2} , \forall i=1, 2, ..., k-2$. (2) $a_i|lcm(a_{i+1},a_{i+2...
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Απρ 06, 2018 7:38 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 1954

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10

Διαγώνισμα 10 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 3 Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων $(x,y,z)$ που ικανοποιούν την εξίσωση: $2x^3+2y^3=3x^2y^2+4^z+1$ Προφανώς, $z \geqslant 0$. Έστω $z \geqslant 1$. Είναι $3x^2y^2=2x^3+2y^3-4^z-1 \Rightarrow xy \equiv 1 \pmod 2 \Rightarrow x=2x_1+1, \, y=2y_...
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Απρ 01, 2018 7:36 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018
Απαντήσεις: 37
Προβολές: 5313

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018

Καλή επιτυχία στους συμμετέχοντες!
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Μαρ 19, 2018 4:02 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μόνο εκεί μηδενίζεται;
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 642

Μόνο εκεί μηδενίζεται;

Έστω P(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n) όπου 0<x_1,x_2,...,x_n<3 είναι πραγματικές σταθερές, και επιπλέον το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι: x_i\in \{ \frac{3\pm \sqrt{5}}{2} ,1,2\} για κάθε i\in \{ 1,2,...,n\}

Πηγή: Aops
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Μαρ 04, 2018 4:19 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 7303

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Για τα θέματα των μεγάλων μπορείτε να δείτε και διαφορετικές (ίσως) λύσεις εδώ:
Πρόβλημα 1
Πρόβλημα 2
Πρόβλημα 3
Πρόβλημα 4
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Δεκ 29, 2017 8:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη τιμή ακεραίου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 596

Μέγιστη τιμή ακεραίου

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του θετικού ακεραίου n για την οποία ισχύει ότι ο αριθμός:
\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\lfloor \sqrt{i}\rfloor} είναι πρώτος.
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Δεκ 29, 2017 6:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 120
Προβολές: 12255

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

ΑΣΚΗΣΗ 23 Να αποδειχθεί ότι για φυσικούς $m,n$ με $m < n$, το $x^m-a^m$ διαιρεί το $x^n-a^n$ αν και μόνον $m|n$. Έστω $m,n$ φυσικοί τέτοιοι ώστε: $x^m-a^m|x^n-a^n$. Έστω $n=km+u$ με $0\leq u<m$. Τότε $x^m-a^m|x^{km+u}-a^{km+u}$. (1) Όμως $x^m-a^m|x^u(x^{km}-a^{km})=x^{km+u}-x^ua^{km}$. (2) Αφαιρώντ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Δεκ 29, 2017 7:37 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία και σύγκλιση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 525

Ακολουθία και σύγκλιση

Εάν για την ακολουθία \{a_n\} ισχύει ότι:
a_1=c, a_{n+1}=2\sqrt{4-2a_n} \forall n\in\mathbb{N} να υπολογίσετε το άθροισμα:
a_1\sqrt{a_2+a_3\sqrt{a_4+...}}.
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Δεκ 29, 2017 5:37 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 120
Προβολές: 12255

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

ΑΣΚΗΣΗ 22 Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ 1 + x + \frac {x(x+1)}{2!}+ ... \, + \frac {x(x+1)...(x+n-1)}{n!}=0}$ Καλησπέρα σας κ.Λάμπρου και χρόνια πολλά! Ορίζουμε $P_n(x)=1+x+...+\frac{x(x+1)...(x+n-1)}{n!}$. Αρχικά θα δείξουμε ότι: $P_n(-n)=0$. Πράγματι: $P_n(-n)=1+(-n)+\frac{(-n)(-n+1)}{2!}+.....
από Γιάννης Μπόρμπας
Τετ Δεκ 27, 2017 3:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Υπολογισμός ορίου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 392

Υπολογισμός ορίου

Έστω f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} δύο φορές παραγωγίσιμη και f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=1, a\in\mathbb{R}.
Να υπολογίσετε το όριο: \lim_{x\to +\infty}\left( f(\frac{a}{\sqrt{x}}) \right)^x}
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Σεπ 28, 2017 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 691

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Ευκλείδης Α' Λυκείου Πρόβλημα 3 Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση: $(x^2-x+1)(x^2+1)(x^2+x+1)=6x^3$. $(x^2-x+1)(x^2+1)(x^2+x+1)\ge 0$ για κάθε πραγματικό χ Άρα θα δουλέψουμε για μη αρνητικά χ Όμως τότε $x^2-x+1\ge x$ $x^2+1 \ge 2x$ $x^2+x+1 \ge 3x$ Και πολλαπλασιάζοντας $...
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Σεπ 28, 2017 8:30 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 691

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Πρόβλημα 1 α) Να διατάξετε τους αριθμούς $A_1, A_2, ..., A_{10}$ σε αύξουσα σειρά εάν $\displaystyle{A_n=\frac{13na+12}{na+1}}$ όπου $a$ θετικός πραγματικός αριθμός. β) Υπάρχει άραγε θετικός ακέραιος $n$ και θετικός πραγματικός $a$ έτσι ώστε μεταξύ των $A_1$ και $A_n$ να υπάρχει ακέραιος αριθμός; Γ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση