Η αναζήτηση βρήκε 214 εγγραφές

από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Ιαν 12, 2019 2:25 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1148

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2

Διαγώνισμα 2 Επίπεδο: Αρχιμήδης Πρόβλημα 1 Να λυθεί στους πρώτους αριθμούς η εξίσωση: $2^{p+4}+q^2=r^3$ Πρόβλημα 2 Αν για τα πολυώνυμα: $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ και $Q(x)=(a-b)x^3+(b-c)x^2+(c-d)x+(d-a)$ όπου $a,b,c,d$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ισχύει ότι: (1) Το κάθε ένα από αυτά έχει 3 διαφορε...
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Ιαν 11, 2019 12:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 2019, ένας ενδιαφέρων αριθμός
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 687

Re: 2019, ένας ενδιαφέρων αριθμός

Να πάμε και στις πολυαγαπημένες μου δυνάμεις ακεραίων, μιας και το άθροισμα των πρώτων $22$ τέλειων δυνάμεων ισούται με $2019$! (Όχι παραγοντικό :D ) $2019 = 1 + 4 + 8 + 9 + 16 + 25 + 27 + 32 + 36 + 49 + 64 + 81 +$ $+ 100 + 121 + 125 + 128 + 144 + 169 + 196 + 216 + 225 + 243$ Μετά υπομονή μέχρι το $...
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Ιαν 11, 2019 12:39 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1148

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2

Διαγώνισμα 2 Επίπεδο: Αρχιμήδης Πρόβλημα 1 Να λυθεί στους πρώτους αριθμούς η εξίσωση: $2^{p+4}+q^2=r^3$ Πρόβλημα 2 Αν για τα πολυώνυμα: $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ και $Q(x)=(a-b)x^3+(b-c)x^2+(c-d)x+(d-a)$ όπου $a,b,c,d$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ισχύει ότι: (1) Το κάθε ένα από αυτά έχει 3 διαφορε...
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Αύγ 20, 2018 5:20 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κινήσεις στο επίπεδο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 253

Κινήσεις στο επίπεδο

Στο επίπεδο, ονομάζουμε "ακέραια" τα σημεία που έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Ο Νίκος και ο Θανάσης παίζουν το εξής παιχνίδι: Αρχικά, ο Νίκος επιλέγει ένα ακέραιο σημείο, και στην συνέχεια επιλέγει και ο Θανάσης ένα ακέραιο σημείο, διαφορετικό από αυτό του Νίκου. Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι ο Νίκο...
από Γιάννης Μπόρμπας
Τετ Μάιος 09, 2018 8:08 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1148

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2

Διαγώνισμα 2 Επίπεδο: Αρχιμήδης Πρόβλημα 4 Οι αριθμοί $1,2, ... ,n$ είναι γραμμένοι σε έναν πίνακα όπου $n$ θετικός ακέραιος. Σε κάθε κίνηση, μπορούμε να διαγράψουμε $2$ αριθμούς από τον πίνακα, και στην θέση τους να τοποθετήσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους. Ύστερα από $k$ κινήσεις, εκτελού...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Απρ 21, 2018 2:07 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1547

Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14

Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 4 Δίνεται το σύνολο $S=\{1, 2, ...,n\}$. Ένα υποσύνολο του $S$ (έστω $A=\{a_1, a_2, ..., a_k\}$ με $a_1<a_2<...<a_k$) θα ονομάζεται "προοπτικό" εάν: (1) $gcd(a_i,a_{i+1})|a_{i+2} , \forall i=1, 2, ..., k-2$. (2) $a_i|lcm(a_{i+1},a_{i+2...
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Απρ 06, 2018 7:38 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1472

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10

Διαγώνισμα 10 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 3 Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων $(x,y,z)$ που ικανοποιούν την εξίσωση: $2x^3+2y^3=3x^2y^2+4^z+1$ Προφανώς, $z \geqslant 0$. Έστω $z \geqslant 1$. Είναι $3x^2y^2=2x^3+2y^3-4^z-1 \Rightarrow xy \equiv 1 \pmod 2 \Rightarrow x=2x_1+1, \, y=2y_...
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Απρ 01, 2018 7:36 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018
Απαντήσεις: 32
Προβολές: 3622

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018

Καλή επιτυχία στους συμμετέχοντες!
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Μαρ 19, 2018 4:02 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μόνο εκεί μηδενίζεται;
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 526

Μόνο εκεί μηδενίζεται;

Έστω P(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n) όπου 0<x_1,x_2,...,x_n<3 είναι πραγματικές σταθερές, και επιπλέον το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι: x_i\in \{ \frac{3\pm \sqrt{5}}{2} ,1,2\} για κάθε i\in \{ 1,2,...,n\}

Πηγή: Aops
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Μαρ 04, 2018 4:19 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 6541

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Για τα θέματα των μεγάλων μπορείτε να δείτε και διαφορετικές (ίσως) λύσεις εδώ:
Πρόβλημα 1
Πρόβλημα 2
Πρόβλημα 3
Πρόβλημα 4
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Δεκ 29, 2017 8:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη τιμή ακεραίου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 493

Μέγιστη τιμή ακεραίου

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του θετικού ακεραίου n για την οποία ισχύει ότι ο αριθμός:
\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\lfloor \sqrt{i}\rfloor} είναι πρώτος.
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Δεκ 29, 2017 6:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 119
Προβολές: 10872

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

ΑΣΚΗΣΗ 23 Να αποδειχθεί ότι για φυσικούς $m,n$ με $m < n$, το $x^m-a^m$ διαιρεί το $x^n-a^n$ αν και μόνον $m|n$. Έστω $m,n$ φυσικοί τέτοιοι ώστε: $x^m-a^m|x^n-a^n$. Έστω $n=km+u$ με $0\leq u<m$. Τότε $x^m-a^m|x^{km+u}-a^{km+u}$. (1) Όμως $x^m-a^m|x^u(x^{km}-a^{km})=x^{km+u}-x^ua^{km}$. (2) Αφαιρώντ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Δεκ 29, 2017 7:37 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία και σύγκλιση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 456

Ακολουθία και σύγκλιση

Εάν για την ακολουθία \{a_n\} ισχύει ότι:
a_1=c, a_{n+1}=2\sqrt{4-2a_n} \forall n\in\mathbb{N} να υπολογίσετε το άθροισμα:
a_1\sqrt{a_2+a_3\sqrt{a_4+...}}.
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Δεκ 29, 2017 5:37 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 119
Προβολές: 10872

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

ΑΣΚΗΣΗ 22 Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ 1 + x + \frac {x(x+1)}{2!}+ ... \, + \frac {x(x+1)...(x+n-1)}{n!}=0}$ Καλησπέρα σας κ.Λάμπρου και χρόνια πολλά! Ορίζουμε $P_n(x)=1+x+...+\frac{x(x+1)...(x+n-1)}{n!}$. Αρχικά θα δείξουμε ότι: $P_n(-n)=0$. Πράγματι: $P_n(-n)=1+(-n)+\frac{(-n)(-n+1)}{2!}+.....
από Γιάννης Μπόρμπας
Τετ Δεκ 27, 2017 3:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Υπολογισμός ορίου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 333

Υπολογισμός ορίου

Έστω f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} δύο φορές παραγωγίσιμη και f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=1, a\in\mathbb{R}.
Να υπολογίσετε το όριο: \lim_{x\to +\infty}\left( f(\frac{a}{\sqrt{x}}) \right)^x}
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Σεπ 28, 2017 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 589

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Ευκλείδης Α' Λυκείου Πρόβλημα 3 Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση: $(x^2-x+1)(x^2+1)(x^2+x+1)=6x^3$. $(x^2-x+1)(x^2+1)(x^2+x+1)\ge 0$ για κάθε πραγματικό χ Άρα θα δουλέψουμε για μη αρνητικά χ Όμως τότε $x^2-x+1\ge x$ $x^2+1 \ge 2x$ $x^2+x+1 \ge 3x$ Και πολλαπλασιάζοντας $...
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Σεπ 28, 2017 8:30 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 589

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Πρόβλημα 1 α) Να διατάξετε τους αριθμούς $A_1, A_2, ..., A_{10}$ σε αύξουσα σειρά εάν $\displaystyle{A_n=\frac{13na+12}{na+1}}$ όπου $a$ θετικός πραγματικός αριθμός. β) Υπάρχει άραγε θετικός ακέραιος $n$ και θετικός πραγματικός $a$ έτσι ώστε μεταξύ των $A_1$ και $A_n$ να υπάρχει ακέραιος αριθμός; Γ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Σεπ 28, 2017 7:51 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 589

Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Ευκλείδης Α' Λυκείου Πρόβλημα 1 α) Να διατάξετε τους αριθμούς $A_1, A_2, ..., A_{10}$ σε αύξουσα σειρά εάν $\displaystyle{A_n=\frac{13na+12}{na+1}}$ όπου $a$ θετικός πραγματικός αριθμός. β) Υπάρχει άραγε θετικός ακέραιος $n$ και θετικός πραγματικός $a$ έτσι ώστε μεταξύ των $A...
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Σεπ 28, 2017 5:57 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 7
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1015

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 7

Διαγώνισμα 7 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Juniors Πρόβλημα 3 Δίνεται τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $c(O,R)$. Οι εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται από τα $B,C$ τέμνονται στο $D$. Η $AD$ τέμνει την $BC$ στο $E$. Η $AO$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $c_1$ του τριγώνου $BOC$ στο $K$. Αν...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση