η παραλλαγή του κ Λάμπρου φαντάζει ασύλληπτη στο νου ενός μαθητή. Επιτρέψτε μου να δώσω μια δική μου που πιστεύω ότι είναι πιο κατανοητή και σίγουρα γενικότερη. Χάνω κάτι; Αυτό που έκανα είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό που γράφεις. Μάλιστα κατά τι ευκολότερο γιατί τα $r_1,\, r_2$ είναι ειδικοί αριθμο...

Νομίζω ότι μια λύση με το μετασχηματισμό του D' Alembert όπως αυτή του κ Μάγγου και η παραλλαγή του κ Λάμπρου φαντάζει ασύλληπτη στο νου ενός μαθητή. Επιτρέψτε μου να δώσω μια δική μου που πιστεύω ότι είναι πιο κατανοητή και σίγουρα γενικότερη. Να λυθεί η εξίσωση ${f}''+b{f}'+cf=0$ (1) όταν $b^{2}-4...

Κύριε Σμυρλή δεν είπα πουθενά κάτι τέτοιο. Αν πραγματικά ίσχυε, η απόδειξή μου θα τελείωνε στη μέση περίπου. Αυτό ακριβώς με ανάγκασε σε περαιτέρω επεξεργασία. Ευχαριστώ. Αν $limsup\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=a> 1$ τότε η $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ θα είχε μια υπ ακολουθία ας πούμε $\frac{y_{n+1}}{y_{n}}$ η ...

Κριτήριο ριζών του Cauchy.Θα δείξουμε ότι $limsup\sqrt[n]{\frac{n^{2}}{x_{n}S{_{n}^{2}}}}< 1$ Έχουμε$S_{n}= \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+....+\frac{1}{x_{n}}>\frac{1}{x_{n}}\Rightarrow S_{n}^{2}>\frac{1}{x_{n}^{2}}\Rightarrow x_{n}S_{n}^{2}>\frac{1}{x_{n}}\Rightarrow \frac{1}{x_{n}S_{n}^{2}}< x_{...

Καλημέρα. Πως αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση $f(x)=x^{a},a\in R-\mathbb{Z}$ για $a>1$ είναι παραγωγίσιμη και στο $0$ με παράγωγο $0$; Νομίζω πως είναι ευκαιρία να ξεκαθαρίσουμε κάποια πράγματα σχετικά με τη συνάρτηση $f(x)=x^{a}$. Όταν γενικώς βλέπουμε $f(x)=x^{a}$ εννοούμε $f(x)=e^{alnx}$ η οποία ε...

Από ${h}'(x){g}'(x)>0 \Rightarrow {h}'(x)\neq 0$ και ${g}'(x)\neq 0$ που σημαίνει ότι οι ${h}'(x)$ και ${g}'(x)$ διατηρούν πρόσημο και μάλιστα το ίδιο σε όλο το Π.Ο. τους. Ας υποθέσουμε ότι είναι θετικές (η περίπτωση αρνητικών αντιμετωπίζεται παρομοίως). Τότε οι συναρτήσεις h και g είναι και οι δυο ...

Αγαπητέ συνάδελφε δεν είχα σκοπό να σας στενοχωρήσω. Δε σας γνωρίζω και φυσικά δεν ήξερα ότι η άσκηση ήταν, όπως καταλαβαίνω, δική σας κατασκευής. Από το προηγούμενό μου σχόλιο αφήρεσα παρεξηγήσιμες λέξεις όχι όμως την άποψή μου ότι το $\pi$ δεν έπρεπε να υπάρχει και θα σας πω γιατί. Μόλις είδα την ...

Η παρουσία του όπως και οποιουδήποτε άλλου σταθερού αριθμού στη θέση του νομίζω είναι άνευ σημασίας. Πιο όμορφο και απλό είναι το 1.
ΠΚ

Παρατηρώντας προσεκτικά το πιο πάνω θέμα μπορεί κανείς να κάνει τις εξής διαπιστώσεις: 1) Η f είναι η ρίζα του γινομένου των συναρτήσεων $e^{x}-1$ και $1-ln(e-x)$ ορισμένων εκατέρωθεν του μηδενός και που μηδενίζονται στο μηδέν. 2) Οι συναρτήσεις αλλάζουν πρόσημο στο 0, παραγωγίζονται παντού και έχου...

Ας μου επιτραπεί να κάνω ένα δεύτερο και τελευταίο σχόλιο, όχι για κανένα άλλο λόγο αλλά γιατί τέτοιες κουβέντες μπορεί να γίνουν ατέρμονες. Συνάδελφε Christo N. Συμφωνώ ότι, ο ορισμός της ισότητας των συναρτήσεων, καλύπτει το μειονέκτημα των δυο διαδικασιών $(x+1)^{2}$ και $2x+1+x^{2}$ που ανέφερα ...

Στα σχολικά βιβλία οι ορισμοί δεν απολαμβάνουν ιδιαιτέρας εκτιμήσεως όπως και θα έπρεπε. Όχι όμως και στα πανεπιστημιακά. Ο ορισμός του ορίου σε ένα σημείο $x_{0}$ προηγείται αυτού της συνεχείας και δεν έχει καμία σχέση με το εάν το σημείο αυτό ανήκει στο Π.Ο. της. Σκεφθείτε ότι το σημείο $x_{0}$ μπ...

Αν έχετε την ευχαρίστηση εξηγήστε πως συνδέετε τη μονοτονία της με την εξίσωση
Ευχαριστώ
ΠΚ

Όπως είπαμε η σχέση $2e^{x^{2}}> xe^{x}+x+1$ πρέπει να αποδειχθεί και στο διάστημα (0,1) για να ισχύει σ όλο το R. Προς τούτο θα δείξουμε ότι η συνάρτηση $f\left ( x \right )=2e^{x^{2}}-xe^{x}-x$ στο διάστημα (0,1) έχει ελάχιστο μεγαλύτερο του 1. Φαίνεται ότι η γνωστή σχέση $e^{x}\geq x+1$ εμπεριέχε...

Η ανισότητα $2e^{x^{2}}\geq xe^{x}+x$ έχει πολλές αποδείξεις όπως φαίνεται από τα παραπάνω. Δεν θα είχε λοιπόν ενδιαφέρον να παραθέσω άλλη μια. Όμως είναι ενδιαφέρουσα η αποκάλυψη κάποιων σημείων που νομοτελειακά οδηγούν σε κάποιο προκλητικό ερώτημα. Ι. $e^{x^{2}}\geq x^{2}+1\geq x+\frac{3}{4}$ και ...

Η νύχτα είναι κακός σύμβουλος και εγώ απρόσεκτος. Ήταν πατάτα. Ίσως είμαι πρόβλημα γιαυτό φεύγω. Να είστε καλά.

Η δευτέρα παράγωγος της $ln(\frac{e^{x}-1}{x})$ είναι η $\frac{e^{2x}-x^{2}e^{x}-2e^{x}+1}{x^{2}(e^{x}-1)^{2}}$ της οποίας το πρόσημο φυσικά καθορίζεται από τον αριθμητή $h_{1}(x)= e^{2x}-x^{2}e^{x}-2e^{x}+1$ με $h_{1}(0)=0$ και ${h_{1}}'(x)= e^{x}\left ( 2e^{x}-2x-x^{2}-2 \right )$ Το πρόσημο αυτής...

Αν $g(x)=lnf(x)$ τότε είναι $g''(x)=\dfrac{f''(x)f(x)-(f'(x))^{2}}{(f(x))^{2}}$ Αρκεί να δείξουμε ότι για $x\neq 0$ $f''(x)f(x)-(f'(x))^{2}>0$ Αλλά κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε ότι $f''(x)f(x)-(f'(x))^{2}=\dfrac{r(x)}{x^{4}}$ οπου $r(x)=e^{2x}-x^{2}e^{x}-2e^{x}+1=e^{x}(e^{x}+e^{-x}-2-x^{2})$ Αρκε...

Εύκολα βγαίνει ότι η $f$ είναι αμφιμονοσήμαντη οπότε $f= f^{-1}$. Δηλαδή η $f$ είναι συμμετρική ως προς την πρώτη διχοτόμο. Έχουμε $f\left ( x+2 \right )=f\left ( x+1+1 \right )= \frac{f(x+1)}{f(x+1)+1}=\frac{f(x)}{2f(x)+1}$ Γενικότερα $f\left ( x+k \right )=\frac{f(x)}{kf(x)+1}$ $\Rightarrow \lim_{...

κ Παπαδόπουλε ευχαριστώ για την παρατήρηση.Εν μέρει έχεις δίκαιο. Εχθές αργά στη βιασύνη μου να προλάβω επικείμενη δική σου απάντηση κάτι παρέλειψα και κάτι έγραψα λάθος. Τα ξαναγράφω σωστά με την επισήμανση ότι δεν επηρεάζουν την απόδειξη που έδωσα. Για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση $x^{n}+a_{n-1}x^{n...

Για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση αρτίου βαθμού ισχύουν τα εξής: Τα ελάχιστα είναι κατά ένα περισσότερα των μεγίστων. Επίσης αριστερά του πρώτου ελαχίστου είναι φθίνουσα και δεξιά του τελευταίου αύξουσα. Τα αντίθετα ισχύουν για πολυωνυμικές περιττού βαθμού. Αυτό καλύπτει 2 και 3. Η δευτέρα παράγωγος έχ...