Η αναζήτηση βρήκε 1823 εγγραφές

από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Ιούλ 04, 2024 12:09 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2024
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1313

Re: JBMO 2024

[...] Αγόρι μου , τι ακριβώς είναι ντροπή; Ένα όνομα είναι απλά μια λέξη. Τι ακριβώς σε θίγει εσένα προσωπικά αυτό; Καλησπέρα σας. Αυτό θα είναι το τελευταίο μου μήνυμα σε αυτό το νήμα, γιατί ξεφεύγουμε από τη θεματολογία του forum. Πρώτον, για τους περισσότερους είμαι ο Ορέστης . Για εσάς, αν θέλε...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Ιούλ 02, 2024 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2024
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1313

Re: JBMO 2024

Επειδή μπορεί κάποια μέλη μας να μην έχουν facebook, αντιγράφω κι εδώ τα αποτελέσματα της Ελληνικής Αποστολής στην φετινή JBMO. Μιχαήλ Τσουρέκας : Αργυρό Μετάλλιο :winner_second_h4h: Πέτρος Κανελλόπουλος : Χάλκινο Μετάλλιο :winner_third_h4h: Μαρία-Στεφανία Κολέττα : Χάλκινο Μετάλλιο :winner_third_h4...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Φεβ 23, 2024 6:24 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Αναδρομική ακολουθία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 384

Re: Αναδρομική ακολουθία

Πρόβλημα . Δίδεται ἡ ἀναδρομικὴ ἀκολουθία $\displaystyle{ a_1=a>0, \quad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+na_n^2}, \quad n\in\mathbb N. }$ Δείξατε ὅτι $\,\lim_{n\to\infty} n\,a_n=1$. Θέτουμε $b_n=1/a_n$, οπότε έχουμε ότι $b_1=b=1/a>0$ και $b_{n+1}=\dfrac{b_n^2+n}{b_n}$. Παρατηρούμε ότι $b_2=\dfrac{b_1^2+1}{b_1...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Νοέμ 27, 2023 11:47 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Από εξέταση Απειροστικού Λογισμού Ι
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 3220

Από εξέταση Απειροστικού Λογισμού Ι

Το παρακάτω θέμα αποτέλεσε (αλλαγμένο) το τελευταίο εξέτασης Απ. Λογισμού Ι στο Τμήμα Μαθηματικών του ΕΚΠΑ. Το βρήκα ενδιαφέρον. Έστω $I \subseteq \mathbb{R}$ μη τετριμμένο διάστημα, $f,g : I \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις με $g'(x) \neq 0$ για κάθε $x \in I$ και το σύνολο $A=\{\d...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Νοέμ 24, 2023 8:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εύρεση συναρτήσεων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 643

Re: Εύρεση συναρτήσεων

Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,\,$, όπου $f\left( xf(y) \right)+f\left( \left( {{y}^{2023}} \right)f(x) \right)=xy+x{{y}^{2023}}$, για $\forall \,x,y\in \mathbb{R}$ Καλησπέρα συνονόματε :) Με $x=y=1$ στην αρχική είναι $f(f(1))=1$ και με $x=f(1),y=1$ είναι $f(f(1)^2)=f(1)$....
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Νοέμ 12, 2023 4:34 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1218

Re: Συναρτησιακή!

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ οι οποίες είναι τέτοιες, ώστε $f(x)f(yf(x)-1)=x^2f(y)-f(x)$ Καλησπέρα σε όλους. Ευχαριστώ τον κ. Δημήτρη για την λύση. Η πηγή της άσκησης είναι από το Topics in Functional Equations των Andreescu, Boreico, Mushkarov και Nikolov (...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Νοέμ 01, 2023 8:53 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1218

Συναρτησιακή!

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} οι οποίες είναι τέτοιες, ώστε

f(x)f(yf(x)-1)=x^2f(y)-f(x)
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Οκτ 22, 2023 10:30 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Αριθμός λύσεων εξίσωσης
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 901

Αριθμός λύσεων εξίσωσης

Να προσδιορίσετε τον αριθμό των λύσεων της εξίσωσης xe^{\sin x}=e^x \cos x στο διάστημα (-2023,2023).

Σημείωση: Η άσκηση είναι εμπνευσμένη από ένα ερώτημα του Θέματος 14 Δ στη σελίδα 55 του εξαιρετικού βιβλίου "Μαθηματικά Γ' Λυκείου - Η επανάληψη στην ύλη 2021" της Ντίνας Ψαθά.
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Οκτ 17, 2023 8:35 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τεμνόμενοι κύκλοι και κάθετα τμήματα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 842

Re: Τεμνόμενοι κύκλοι και κάθετα τμήματα

Τεμνόμενοι κύκλοι και κάθετα τμήματα.png Δύο κύκλοι $(W),\,\,(J)\,\,$ τέμνονται στα $A,\,\,B$. Μια αυθαίρετη ευθεία διερχόμενη από το $A\,\,$ τέμνει τον $(W)\,\,$ στο $C\,\,$ και τον $(J)\,\,$ στο $D$. Αν $M\,\,$ είναι το μέσο του τόξου $BC\,\,$ που δεν περιέχει το $A$ και $N\,\,$ το μέσο του τόξου...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Οκτ 15, 2023 8:28 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ανισότητα τιμών συνάρτησης.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 778

Re: Ανισότητα τιμών συνάρτησης.

Έστω $f(x)={{e}^{x}}\ln (1+x)$. Αποδείξτε ότι, για τυχόντες θετικούς πραγματικούς αριθμούς $s,\,\,t\,\,$ , ισχύει η ανισότητα $f(s+t)>f(s)+f(t)$. Για $x>0$, είναι $f''(x)=\dfrac{e^x(2x+1+\ln(1+x)(1+x)^2)}{(1+x)^2},$ συνεπώς η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή στο $(0,+\infty)$. Σταθεροποιούμε το $t$, και έ...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Οκτ 13, 2023 12:01 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σύνολο με ιδιότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 839

Re: Σύνολο με ιδιότητα

Θεωρούμε θετικό ακέραιο $n$. Να βρεθούν όλα τα υποσύνολα των θετικών ακεραίων $\mathbb{S}$ με την εξής ιδιότητα: Κάθε θετικός ακέραιος $m$ μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα της μορφής $\displaystyle m=\sum_{x\in \mathbb{S}} x\cdot c_x$ με τα $0\leq c_x<n$ να είναι ακέραιοι. Απάντηση:...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Οκτ 09, 2023 9:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Πρωτότυπο Όριο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 646

Πρωτότυπο Όριο

Έστω η συνάρτηση f(x)=x^{x+1}, με x>0. Να υπολογίσετε το όριο

\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n} \displaystyle f(\dfrac{k}{n^2}),

αν αυτό υπάρχει.
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Οκτ 09, 2023 9:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο και Ολοκλήρωμα!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 942

Όριο και Ολοκλήρωμα!

Να υπολογίσετε το όριο

\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^2 \int_{0}^{1/n} x^{x+1} dx,

αν αυτό υπάρχει.
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Σεπ 28, 2023 8:38 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ύπαρξη ξ_1, ξ_2 #2
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 933

Re: Ύπαρξη ξ_1, ξ_2 #2

Σε συνέχεια αυτής της άσκησης ... θέτω τη παρακάτω. Δίδεται συνάρτηση $f$ συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ και παραγωγίσιμη στο $(\alpha, \beta)$ με $f(\alpha) \neq f(\beta)$. Να δειχθεί ότι υπάρχουν $\xi_1, \xi_2$ διαφορετικά μεταξύ τους τέτοια ώστε $\displaystyle{f'(\xi_1) f'(\xi_2) = \left ( \frac{...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Σεπ 26, 2023 12:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: Τι; Δεν ισχύει το Θ.Μ.Τ.; Αν είναι δυνατόν!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1116

Re: Τι; Δεν ισχύει το Θ.Μ.Τ.; Αν είναι δυνατόν!

Μία συνάρτηση $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R $ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και υπάρχει $\xi$ τέτοιο ώστε για κάθε $a, \, b \in \mathbb R $ με $a\ne b$ ισχύει $\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a} \ne f'(\xi) $ α) Βρείτε παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης. β) Δείξτε ότι $f''(\xi ) =0$. α) Η $f(x)=x^3$. Για $\xi=...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Σεπ 21, 2023 12:34 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο με ακολουθία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 798

Όριο με ακολουθία

Έστω $a_0 \in \mathbb{R}$ και η γνησίως αύξουσα ακολουθία $(a_n)$ τέτοια, ώστε $a_{n+1}=\sqrt{\dfrac{a_n+1}{2}}$ για κάθε $n \geq 0$. Για τις διάφορες τιμές του $k \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} k^n(1-a_n)$. (Η άσκηση είναι παραλλαγή της ά...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Αύγ 17, 2023 9:28 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Με συνεχή συνάρτηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 938

Με συνεχή συνάρτηση

Έστω f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} μια συνεχής συνάρτηση και \epsilon >0 ένας θετικός αριθμός. Να δείξετε ότι υπάρχει k>0 τέτοιο, ώστε

|f(x)-f(y)|<\epsilon+k|x-y|^{1/2023},

για κάθε x,y \in [0,1].
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιούλ 01, 2023 10:57 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σύστημα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 687

Re: Σύστημα

Να λύσετε στο $\mathbb{R}$ το σύστημα: $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {x^2} = {y^3} - 3{y^2} + 2y \hfill \\ {y^2} = {x^3} - 3{x^2} + 2x \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Έχουμε τον ακόλουθο Ισχυρισμό. Ισχυρισμός: $x=y$. Απόδειξη: Έστω ότι $x \neq y$. Τότε, είναι $(y^3-3y^2+2y)-(x^3-3x^2+2x...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιουν 26, 2023 10:33 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 3533

Re: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ

Πρόβλημα 1. Να βρείτε όλα τα ζεύγη $(a,b)$ θετικών ακέραιων αριθμών τέτοια ώστε οι αριθμοί $a!+b$ και $b!+a$ να είναι και οι δύο δυνάμεις του $5$. Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω $a \geq b$. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις. Περίπτωση 1: $a=b$. Τότε, $a!+a=5^k$ με $k \geq 1$. Αν $k=1$ τότε προφανώς η $...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιουν 26, 2023 10:10 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 3533

Re: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ

Πρόβλημα 4. Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο με περίκεντρο $O$. Έστω $D$ το ίχνος του ύψους από το $A$ στη $BC$ και έστω $Μ$ το μέσο του $OD$. Tα σημεία $O_b$ και $O_c$ είναι τα περίκεντρα των τριγώνων $AOC$ και $AOB$, αντίστοιχα. Αν $AO=AD$, να αποδείξετε ότι τα σημεία $A$, $O_b$, $M$ και $O_c$ είν...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση