Η αναζήτηση βρήκε 1603 εγγραφές

από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιούλ 04, 2020 3:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 666

Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!

Την έχουμε δει, εδώ, αλλά και εδώ :)
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιουν 29, 2020 4:40 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη τιμή!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 251

Re: Μέγιστη τιμή!

Από το (α), για κάθε $i \neq j$ έχουμε $\displaystyle x_i - x_j = 2020\left( \frac{1}{x_j} - \frac{1}{x_i}\right) = \frac{2020(x_i-x_j)}{x_ix_j}.$ Επομένως είτε $x_i = x_j$, είτε $x_ix_j = 2020$. Αν λοιπόν $x_1 = a$, τότε για κάθε $i$ έχουμε $x_i = a$ ή $x_i = \frac{2020}{a}$. Μπορούμε λοιπόν να υπ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιουν 28, 2020 2:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Διάμεσος πάντα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 395

Re: Διάμεσος πάντα

Πάντα διάμεσος.png Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα $BC = a$. Γράφω το κύκλο $\left( {B,3a} \right)$ και έστω τυχαίο του σημείο $A$ ( Τα $A,B,C$ όχι συνευθειακά ) Αν $BD$ διχοτόμος του $\vartriangle ABC$ και η κάθετος στην$DA$ στο $D$ τμήσει την $AB$ στο $M$, δείξετε ότι το $M$ είναι μέσο του $AB$. 24 ώρες...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιουν 27, 2020 8:38 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη τιμή!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 251

Μέγιστη τιμή!

Μια άσκηση που έφτιαξα :) : Έστω $n>3$ ένας θετικός ακέραιος, και $x_1,x_2,\ldots,x_n \in \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τις επόμενες ιδιότητες: α) $x_1-2020(\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}+\ldots+\dfrac{1}{x_n})=x_2-2020(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_3}+\ldots+\dfrac{1}{x_n})$$=\ldots=x_n-2020(\dfrac{1}{x_...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Ιουν 26, 2020 5:33 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης!
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 887

Re: Τεστ Εξάσκησης!

Πρόβλημα 2 Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του θετικού ακέραιου $x$, ώστε να ικανοποιούνται οι δύο παρακάτω συνθήκες: $\bullet$ $x>2021$ $\bullet$ υπάρχει θετικός ακέραιος $y$, σχετικά πρώτος με τον $x$ , ώστε ο $x^2-4xy+5y^2$ να είναι τέλειο τετράγωνο. Με επιφυλάξεις... Έστω $\rm k^2=x^2-4xy+5y^2=(x-2...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιουν 21, 2020 11:48 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο- ελάχιστο παράστασης
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 531

Re: Μέγιστο- ελάχιστο παράστασης

Για τους μη αρνητικούς αριθμούς $x,y,z$ που πληρούν την συνθήκη $x^2+y^2+z^2=2009$, να βρεθεί το μέγιστο ελάχιστο της παράστασης $\displaystyle S=\frac{x}{yz+2009}+\frac{y}{zx+2009}+\frac{z}{xy+2009}$ $\displaystyle S\ge\frac{1}{\sqrt{2009}}, \displaystyle S\le\sqrt{\frac{2}{2009}}$ Θέτοντας $a=\df...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιουν 06, 2020 12:42 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 284

Re: Ανισότητα

Έστω $a , b, c$ θετικοί αριθμοί τέτοια ώστε $a^2 + b^2 + c^2 =3$. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\sum_{\text{cyclic}} \frac{b}{\sqrt{a^2+3}} \leq \sqrt[4]{\frac{9 \left ( a + b + c \right )^2}{16abc}}}$ Άνευ λύσης. Σκέψη: Παρατηρούμε ότι η εφαπτομένη της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+3}}$ στ...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Μάιος 23, 2020 1:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πλευρά και διχοτόμος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 184

Re: Πλευρά και διχοτόμος

$\bigstar$ Σε τρίγωνο $ABC$ είναι $c=4, b=8.$ Να βρείτε την τρίτη πλευρά $a$ του τριγώνου και τη διχοτόμο $AD=d$ αν γνωρίζετε ότι $d=k\sqrt a$ όπου $a, k$ θετικοί ακέραιοι. Καλημέρα κ.Γιώργο. Από την τριγωνική ανισότητα, $c-b<a<c+b$, άρα $a \in (4,12)$. Επίσης, είναι $d=\sqrt{bc \cdot (1-\dfrac{a^2...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Μάιος 20, 2020 10:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Θάνατος Βαγγέλη Σπανδάγου
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1030

Re: Θάνατος Βαγγέλη Σπανδάγου

Ήταν Μάιος του 2015, όταν ο πατέρας μου με πήρε από το χέρι και μου είπε: ''Πάμε να μυρίσεις Αρχαία Ελλάδα!''. Φτάσαμε στο μικρό του μαγαζί, κοντά στη Σόλωνος, και εντυπωσιάστηκα από τα χιλιάδες στοιβαγμένα βιβλία (και τι βιβλία!), από το πάθος του, και τη ζωντάνια του για τα Μαθηματικά. Ένας άνθρωπ...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Μάιος 11, 2020 11:03 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σύστημα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 234

Re: Σύστημα

Να λύσετε στο $\mathbb{R}$ το σύστημα: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^3-3x=4-y & \\ y^3-3y=8-3z & \\ z^3-3z=10-4x &\end{matrix}\right.}$ Καλησπέρα κ.Γιώργο! Όμορφη! :) Γράφουμε τις τρεις δοσμένες σχέσεις ως: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} (x-2)(x+1)^2=2-y & \\ (y-2)(y+1)^2=3(2-z) & \\...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Μάιος 10, 2020 11:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μια παραλληλία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 205

Re: Μια παραλληλία

Σε μη ισοσκελές τρίγωνο $ABC$, $O$ είναι το περίκεντρο, $H$ το ορθόκεντρο, $G$ το κέντρο βάρους, $N$ το μέσο του $HO$, και $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Αν $G'$ το σημείο τομής των ευθειών $HO$ και $AN$, να αποδείξετε ότι $GG' \parallel AH$. paral.png Είναι, $HN=HO/2=\dfrac{3HG}{4}$, άρα $NG=HG-HN=...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Μάιος 05, 2020 7:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα σε κύκλο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 129

Re: Καθετότητα σε κύκλο

Καθετότητα σε κύκλο.png Το σημείο $M$ κινείται στο ύψος $AD$ τριγώνου $ABC.$ Οι $BM, CM$ τέμνουν τις $AC, AB$ στα $E, F$ αντίστοιχα. Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία $D, E, F$ επανατέμνει την $BC$ στο $K$ και το ύψος στο $L.$ Να δείξετε ότι $KL\bot EF.$ Ας το αφήσουμε ένα 24ωρο σε μαθητές. Όμορ...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Μάιος 05, 2020 12:55 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Η αντίστροφη πολυωνυμικής είναι.. πάντα πολυωνυμική;
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 438

Re: Η αντίστροφη πολυωνυμικής είναι.. πάντα πολυωνυμική;

Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση $f(x)=x^3+x^5+x^7, x\epsilon \mathbb{R}$ Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται και ότι η αντίστροφη συνάρτηση δεν είναι πολυωνυμική. Είναι $f'(x)=7x^6+5x^4+3x^2=x^2(7x^4+5x^2+3) \geqslant 0$ οπότε η $f$ είναι γνησίως αύξουσα (η $f'$ μηδενίζεται μόνο στο $0$) Οπότε η $f$ είναι...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Μάιος 04, 2020 3:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 248

Re: Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

Καλό βράδυ σε όλους. Ίσως αποδειχθεί ότι χωράει σε ..ελαφρύτερο φάκελο. Κατασκευή ισοσκελούς..PNG Το τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με δοσμένη ακτίνα $R$. Τα $M,N$ είναι τα μέσα των μικρών τόξων $AC$ και $BC$. Η κάθετη από το $M$ προς την $AN$ τέμνει τον κύκλο στο $E$ και η $CE$ τέμνει τ...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Μάιος 04, 2020 3:32 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συναρτησιακή
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 617

Re: Συναρτησιακή

Ας δούμε και την: Να βρείτε τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}^* \to \Bbb{R}^*$ ώστε για κάθε $x,y\in \Bbb{R}^*$ να ισχύει $\displaystyle{f\left(yf\left(\frac {x}{y}\right)\right)=\frac {x^4}{f(y)}}$ Αρχίζουμε όπως ο Αλέξανδρος: Για $y=1$ παίρνουμε $f(f(x))=\displaystyle\frac{x^4}{f(1)}$. Θέτουμε στην παρα...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Απρ 18, 2020 9:44 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 498

Re: Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα

Καλημέρα . Καθετότητα και ακεραιότητα.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC$ και $O$ είναι το μέσο του ύψους $AM$. Το $E \in AC$ ώστε $OE=OA=OM$ ενώ η $BO$ τέμνει την $AC$ στο $N$. Αν $AE=5EC$ τότε Να δειχθεί ότι το $\triangle NEO$ είναι ορθογώνιο και να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\lef...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Απρ 18, 2020 9:11 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παιχνίδι με x και y
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 288

Re: Παιχνίδι με x και y

Θεωρούμε την παράσταση $(2x-y)^2-2y^2-3y.$ Ο παίκτης $A$ επιλέγει πρώτος αριθμό $x\in \mathbb{R}$ και ο παίκτης $B$ επιλέγει μετά έναν $y\in \mathbb{R}$ O $A$ θέλει να ελαχιστοποιήσει την παράσταση ενώ ο $B$ να την μεγιστοποιήσει. Δεδομένου ότι ο $B$ παίζει βέλτιστα ποιον αριθμό $x$ πρέπει να επιλέ...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Απρ 11, 2020 4:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Πιο σφιχτή εκδοχή!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 633

Re: Πιο σφιχτή εκδοχή!

$2 \left ( a^2c+b^2a+c^2b \right) \geq 3abc+c^2a+a^2b+b^2c \quad $ $\quad$ ($ \bigstar$) Μια άλλη απόδειξη για αυτήν: Κάνουμε το Ravi Substitution, δηλαδή παίρνουμε $x,y,z>0$ ώστε $a=x+y, \, b=y+z, \, c=z+x$ (μπορούμε να το κάνουμε διότι τα $a,b,c$ είναι πλευρές τριγώνου). Μετά τις πράξεις, αρκεί ν...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Απρ 05, 2020 11:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γωνίες τριγώνου
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 420

Re: Γωνίες τριγώνου

βρείτε τις γωνίες του τριγώνου.png Στο $\vartriangle ABC$, η $AM$ είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$. Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$ Καλησπέρα! :) Φέρνω, $CQ \perp AM$, οπότε το $\vartriangle CMQ$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα $CQ=CM/\sqrt{2}$. Επίσης η συνθήκ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Απρ 05, 2020 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γωνίες τριγώνου
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 420

Re: Γωνίες τριγώνου

βρείτε τις γωνίες του τριγώνου.png Στο $\vartriangle ABC$, η $AM$ είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$. Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$ Καλησπέρα! :) Φέρνω, $CQ \perp AM$, οπότε το $\vartriangle CMQ$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα $CQ=CM/\sqrt{2}$. Επίσης η συνθήκ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση