Η αναζήτηση βρήκε 1436 εγγραφές

από Ορέστης Λιγνός
Δευ Αύγ 19, 2019 4:21 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 125
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 94

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 125

Μία λύση.

Είναι, 1-x^2-y^2-z^2=(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=2(xy+yz+zx) \geqslant 2\sqrt{3xyz(x+y+z)}=2\sqrt{3xyz} οπότε 1 \geqslant x^2+y^2+z^2+2\sqrt{3xyz} και τελειώσαμε.
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Αύγ 10, 2019 11:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 182

Re: Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα

Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα.PNG Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ και $E$ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Αν $K,L,M,N$ τα βαρύκεντρα των τριγώνων $AEB,BEC,ECD,EDA$ αντίστοιχα τότε : α)Να δείξετε ότι το $KLMN$ είναι παράλληλόγραμμο. β)Να υπολογίσετε τον λόγο $\dfrac{\left ( KLMN \right )}{\lef...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Αύγ 10, 2019 1:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Το τετράγωνο του λόγου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 210

Re: Το τετράγωνο του λόγου

Το τετράγωνο του λόγου.png Ο έγκυκλος κέντρου $I$, τριγώνου $ABC$ εφάπτεται των πλευρών $BC,\,\,CA,\,\,AB$ στα σημεία $D,\,\,E,\,\,F$ αντίστοιχα. Η ευθεία $EF$ τέμνει την ευθεία $BC$ στο $S$ και την ευθεία $DI$ στο $K$. Αν $M$ το σημείο τομής των ευθειών $AK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ δείξετε ό...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Αύγ 10, 2019 10:01 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα υπό συνθήκη
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 411

Re: Ανισότητα υπό συνθήκη

Προέκυψε κατά την διάρκεια ανεπιτυχούς προσπάθειας επίλυσης δυσκολώτερου προβλήματος : Αν $a+b+c=3$, $a, b, c$ μη αρνητικοί, τότε $(abc)^2(a^2+b^2+c^2)\leq 3$. Από Cauchy Schwarz, $a^2+b^2+c^2 \geqslant 3$, οπότε $a^2+b^2+c^2 \leqslant \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$. Οπότε, αρκεί να δείξω ότι $[abc(a^...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Αύγ 08, 2019 12:13 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κυκλική ανισότητα!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 467

Κυκλική ανισότητα!

Μία ιδιοκατασκευή :

Αν a,b,c>0 με a+b+c=3, να αποδείξετε ότι a^5b^3c^2+b^5c^3a^2+c^5a^3b^2 \leqslant 3.
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Αύγ 07, 2019 11:53 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Θέση για ομοκυκλικά
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 159

Re: Θέση για ομοκυκλικά

Θέση για ομοκυκλικά.png Έστω $M, N$ τα μέσα των πλευρών $AC, AB$ τριγώνου $ABC$ και $D$ σημείο της πλευράς $BC.$ Οι $DN, MD$ τέμνουν τις $CA, AB$ στα $E, F.$ Να βρείτε τη θέση του $D$ ώστε τα σημεία $A, E, F, D$ να είναι ομοκυκλικά. 24 ώρες για όσους μαθητές δεν λείπουν σε διακοπές :surfing: Καλησπ...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιούλ 27, 2019 10:52 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 2018

Re: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο

Διονύση συμφωνώ απόλυτα με αυτά που γράφεις. Είσαι μεγάλο Μαθηματικό ταλέντο και κάποια μέρα θα σε θαυμάσουμε Λαμπρό Επιστήμονα!

Ορέστης.
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιούλ 21, 2019 10:59 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Δύο και μία κάθετες
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 164

Re: Δύο και μία κάθετες

2+1 κάθετες.png Έστω $O$ το περίκεντρο τριγώνου $ABC$ και $D, E, F$ σημεία των πλευρών $BC, AC, AB$ αντίστοιχα, ώστε $DE\bot CO$ και $DF\bot BO.$ Αν $K$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου $AEF,$ να δείξετε ότι $KD\bot BC.$ Σε μία προσπάθεια να προλάβω τον Πρόδρομο ... :lol: Είναι $\angle FKE=2\angle ...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιούλ 20, 2019 2:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 3974

Re: IMO 2019

Θερμά συγχαρητήρια στα παιδιά της Ελλάδας, αλλά και στην Κύπρο, που κατέκτησε 3 εύφημες μνείες!
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιούλ 14, 2019 4:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Επιστροφή στις ρίζες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 215

Re: Επιστροφή στις ρίζες

Επιστροφή στις ρίζες της Γεωμετρίας.png Δίνεται κύκλος $(K,R)$ και δύο κάθετες μεταξύ τους ακτίνες $KA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB$. Οι εφαπτόμενες του $\left( K \right)$ στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ τέμνονται στο $O$. Θεωρώ την εφαπτομένη του $\left( K \right)$ σε τυχαίο σημείο του $T$ π...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιούλ 14, 2019 4:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Επιστροφή στις ρίζες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 215

Re: Επιστροφή στις ρίζες

Επιστροφή στις ρίζες της Γεωμετρίας.png Δίνεται κύκλος $(K,R)$ και δύο κάθετες μεταξύ τους ακτίνες $KA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB$. Οι εφαπτόμενες του $\left( K \right)$ στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ τέμνονται στο $O$. Θεωρώ την εφαπτομένη του $\left( K \right)$ σε τυχαίο σημείο του $T$ π...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιούλ 13, 2019 12:12 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ισοσκελές και λόγος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 260

Re: Ισοσκελές και λόγος

Ισοσκελές και λόγος.png Σε ισοσκελές τρίγωνο $ABC\left( {AB = AC} \right)$ η διχοτόμος $CD$ έχει διπλάσιο μήκος από το ύψος $AK$. Ο κύκλος $(A,D,C)$ τέμνει τη πλευρά $BC$ στο σημείο $E$ και οι ευθείες , $ED$ και $KA$ τέμνονται στο σημείο $T$ Βρείτε το λόγο : $\dfrac{{CD}}{{AT}}$. Καλησπέρα κ.Νίκο !...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Ιούλ 12, 2019 3:25 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Εξίσωση με ακέραιο και κλασματικό μέρος.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 200

Re: Εξίσωση με ακέραιο και κλασματικό μέρος.

Για μαθητές, διορία το Σαββατοκύριακο. Είναι αρκετά απλή ώστε να μην δυσκολέψει κανέναν μαθητή Γυμνασίου και πάνω. Να λυθεί στο $\mathbb R_+$ η εξίσωση $[x]= 5\{x\}$. To $[x]$ συμβολίζει το ακέραιο μέρος του $x$, και $\{x\}$ το κλασματικό. Για παράδειγμα αν $x=2,3$ τότε $[x]=2$ και $\{x\}=0,3$. Δεν...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιούλ 08, 2019 7:45 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Παράσταση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 227

Re: Παράσταση

Η παράσταση ισούται με -\dfrac{1009}{2020}. Αν δεν λυθεί θα δώσω τη λύση μου.
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιούλ 07, 2019 12:18 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 308

Re: Τέλειο τετράγωνο

Να βρεθούν όλες οι τιμές του φυσικού αριθμού $n$ , ώστε ο αριθμός : $\displaystyle{4^n +2^n +n^2}$ , να είναι τέλειο τετράγωνο Γεια σου Δημήτρη. Έστω, $4^n+2^n+n^2=k^2$ με $k$ θετικό ακέραιο. Προφανώς, το $n=0$ δεν επαληθεύει, έστω λοιπόν $n \geqslant 1$. Είναι, $k^2 =4^n+2^n+n^2 >4^n \Rightarrow k...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιούλ 07, 2019 12:11 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 308

Re: Τέλειο τετράγωνο

Να βρεθούν όλες οι τιμές του φυσικού αριθμού $n$ , ώστε ο αριθμός : $\displaystyle{4^n +2^n +n^2}$ , να είναι τέλειο τετράγωνο Γεια σου Δημήτρη. Έστω, $4^n+2^n+n^2=k^2$ με $k$ θετικό ακέραιο. Προφανώς, το $n=0$ δεν επαληθεύει, έστω λοιπόν $n \geqslant 1$. Είναι, $k^2 =4^n+2^n+n^2 >4^n \Rightarrow k...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιούλ 06, 2019 11:19 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Από ισοσκελές σε ισοσκελές
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 315

Re: Από ισοσκελές σε ισοσκελές

Από ισοσκελές... σε ισοσκελές.png Το $ABCD$ είναι ρόμβος με οξεία γωνία στο $A.$ Τα σημεία $M, N$ βρίσκονται πάνω στα τμήματα $AC, BC$ ώστε $MD=MN.$ Αν $P$ είναι το σημείο τομής των $AC, DN$ και $R$ το σημείο τομής των $AB, DM,$ να δείξετε ότι $PR=PD.$ Μέχρι τα πρώτα Exit Polls Και μία ερώτηση κρίσ...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Ιούλ 05, 2019 3:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Καθετότητα για κάθε γούστο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 545

Re: Καθετότητα για κάθε γούστο

Καθετότητα για κάθε γούστο.png Έστω τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $a$. Προεκτείνω την $AB$ προς το $B$ κατά τμήμα $BE = \dfrac{a}{2}$. Ας είναι δε $M$ το μέσο του$AE$ και $Z$ το σημείο τομής των $DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM$. Δείξετε ότι $AZ \bot CE$. Όλες οι λύσεις δεκτές( εντός ή εκτός φακέλου ) ...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Ιούλ 05, 2019 3:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Το ισοσκελές
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 401

Re: Το ισοσκελές

Καλησπέρα σε όλους! Μία άλλη λύση. Έστω $N$ το μέσο του $AB$. Τότε, αφού τα $A,B,D,P$ είναι ομοκυκλικά, προκύπτει $NB=NA=ND=NP$. Επίσης, είναι $MN \parallel AC$ και επίσης $\angle ADP=\angle ABP=90^\circ-\angle BAO=\angle C=90^\circ-\angle DAC \Rightarrow $ $\angle ADP+\angle DAC=90^\circ \Rightarro...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Ιούλ 05, 2019 2:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τυχαίο σημείο σε πολύγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 180

Re: Τυχαίο σημείο σε πολύγωνο

Έστω $n$-γωνο $A_1A_2...A_n$ και τυχαίο σημείο $K$ στο εσωτερικό του. Να δείξετε ότι $\dfrac{\sin\widehat{\theta _1}}{\sin\widehat{\varphi _1}}\cdot \dfrac{\sin\widehat{\theta _2}}{\sin\widehat{\varphi _2}}\cdot ....\cdot \dfrac{\sin\widehat{\theta _n}}{\sin\widehat{\varphi _n}}=1$ (η άσκηση είναι ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση