Σας ευχαριστώ πολύ όλους για τις ευχές και με την σειρά μου να ευχηθώ και εγώ στους υπόλοιπους εορτάζοντες!

Καλησπέρα, ο συμβολισμός είναι πράγματι ο συνήθης, φαντάζομαι κάνεις ΜΑΔΧ και ψάχνεις την στάσιμη, σωστά;

Θέλει λίγο προσοχή στην μορφή που γράφεις το σύστημα, ειδικότερα έχεις λάθος στον πολλαπλασιασμό πινάκων , οπότε αν το διορθώσεις υποθέτω τα πράγματα θα είναι σίγουρα καλύτερα.

Με προλάβατε, το μόνο που έχω να προσθέσω είναι ένα διαφορετικό τελείωμα, ειδικότερα συνεχίζω από εδώ: Ενδιαφέρουσα εξηντάρα.png Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle ABC\left( AB=AC \right)$ και σημείο $E$ της $AC$ ώστε $\angle CDE={{60}^{0}}$ , όπου $D$ το μέσο της $BC$ . Αν $P\equiv AN\cap BM$ ...

Ενδιαφέρον έχει γενικώς και το εξής: Έστω $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε για κάθε ακολουθία $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ πραγματικών αριθμών με $\sum a_{n}$ να συγκλίνει , να συγκλίνει και η: $\displaystyle{ \sum f(a_{n})}$ Να δειχθεί ότι υπάρχει $\varepsilon >0 $ τέτοιο ώστε $f(x...

Ισχύει ναι. Στοιχειώδη απόδειξη δεν μου έρχεται κατά νου απευθείας αλλά Ισχύει το ισχυρότερο, ότι οι ΑΒ και ΒΑ έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο και αυτό που λες προκύπτει με το φασματικό θεώρημα άμεσα. Αυτό με τα χαρακτηριστικά προκύπτει δείχνοντάς το πρώτα και αντιστρέψιμους και το περνάς για...

Η συνθήκη ότι η ακολουθία είναι αύξουσα δεν είναι απαραίτητη. Θα μπορούσε να διατυπωθεί και ως : Έστω ότι η ακολουθία $\left ( x_{n} \right ),n\epsilon \mathbb{N}$ ικανοποιεί $ x_{n+1}\leq x_{n}+\frac{1}{n^{2}}$ για κάθε $n\epsilon \mathbb{N}.$ Δείξτε ότι το $limx_{n}$ υπάρχει στο $\mathbb{R}\cup \...

Ευχαριστώ πάρα πολύ όλους για τις ευχές , εύχομαι να είστε όλοι καλά και οι οικείοι σας αυτή την δύσκολη περίοδο, τόσο με τις φωτιές όσο και με τον Covid.

Βάζω την λύση που έδωσα στον διαγωνισμό, είναι διαφορετική από την επίσημη, αλλά δεν έχει κάτι το κομψό πιστεύω, είναι απλά πράξεις. Αρχικά γνωρίζουμε ότι: $ \displaystyle{ \sum_{s \geq 0 } \binom{s+t}{t}x^{s} = \frac{1}{(1-x)^{t+1}} }$ Η απόδειξη είναι παραγωγίζοντας $t$ φορές την γεωμετρική και λί...

Με αφορμή το θέμα εδώ ας δούμε ένα διαφορετικό παράδειγμα. Δείξτε ότι $\displaystyle{2 \sqrt {2\sqrt [3] {2\sqrt [4] {2 \sqrt [5] {2...}}} }= 2^{e-1}}$ Ας την αφ'ησουμε $24$ ώρες για τους φοιτητές μας. Χάριν οικονομίας δεν χρειάζεται να κάνετε λεπτομερή απόδειξη και να διακαιολογήσετε κάθε βήμα (π....

Έστω $\mathbb{M}$ το σύνολο Borel όλων των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων $f:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{\int_0^\pi f(x) \sin x \, \mathrm{d}x = \int_0^\pi f(x) \cos x \, \mathrm{d}x = 1}$ Να βρεθεί το ελάχιστο του ολοκληρώματος $\displaystyle{\min_{f\in \mathbb{M}} \int...

$\displaystyle{ g'(z) = \lim_{n \rightarrow \infty } f^{(n+1)}(z) = g(z) \iff g(z) = Ce^{z}}$ Πρέπει να δικαιολογηθεί ότι $g'(z) = \lim_{n \rightarrow \infty } f^{(n+1)}(z)$, ότι επιτρέπεται να παραγωγίσεις δηλαδή. Αυτό έπεται από την ομοιόμορφη σύγκλιση από γνωστό θεώρημα. Η συνθήκη που πρέπει να ...

18) Μια από μιγαδική. Έστω $f$ ολόμορφη στο $|z| \leq R$ με $\lim_{n \rightarrow \infty}f^{(n)}(z) = g(z)$ ομοιόμορφα στο $|z| \leq R$. Δείξτε ότι $g(z) = c e^z$ στο $|z| \leq R$, όπου $c$ μιγαδική σταθερά. Εύκολη είναι αν τη δεις σωστά. Δίνω μία λύση και δίνω και μία γενίκευση, επίσης μου φαίνεται...

4) Έστω $X$ ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες $T_1,T_2$ στον $X$ με $T_1 \subset T_2$, έτσι ώστε ο $X$ με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf. Δείξτε ότι $T_1=T_2$. Διαφορετικά, έστω $id : (X, T_{2}) \rightarrow (X, T_{1} $ η ταυτοτική . Αφού $T_{1} \subset T_{2} $ η $ Id $ είνα...

Επανέρχομαι λοιπόν , μπορούμε να θέσουμε διαφορετικά: $\displaystyle{I_{n} = \{ i \in I : \mu(A_{i} \bigcap E_{n}) > 0 \}}$ Τότε $I = \bigcup_{n\in \mathbb{N} }I_{n} $ αφού για κάθε $A_{i}$ έχουμε $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \mu(A_{i}\bigcap \bigcup_{k=1}^{n}E_{k}) = \mu(A_{i}}) > 0 $ από την συνέ...

Συμπληρώνω αυτό που έλεγα προηγουμένως, συγκεκριμένα έστω: $ ( X , \mathcal{M}, \mu ) $ χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου και $ \{A_{i} \} , i \in I $ οικογένεια ξένων ανά δύο υποσυνόλων της $ \mathcal{M} $ θετικού μέτρου, θα δείξω πως το $I$ είναι το πολύ αριθμήσιμο. Αφού ο $ ( X , \mathcal{M}, \mu ) ...

Συμπληρώνω αυτό που έλεγα προηγουμένως, συγκεκριμένα έστω: $ ( X , \mathcal{M}, \mu ) $ χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου και $ \{A_{i} \} , i \in I $ οικογένεια ξένων ανά δύο υποσυνόλων της $ \mathcal{M} $ θετικού μέτρου, θα δείξω πως το $I$ είναι το πολύ αριθμήσιμο. Αφού ο $ ( X , \mathcal{M}, \mu ) $...

Θα βάλω απάντηση σε κάποιες το βραδάκι καθώς δεν προλαβαίνω να γράψω σε λατεχ, απλα να αναφέρω σχετικά με αυτό: Υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια ξένων ανά δυο υποσυνόλων του $\mathbb{R}$ που το καθένα από αυτά έχει θετικό μέτρο Lebesgue; Πως δεν υπάρχει τέτοια οικογένεια γενικά σε χώρο σ- πεπερασμέ...

Ευχαριστώ όλους για τις ευχές, με την σειρά μου να ευχηθώ και σε όλους όσους γιόρταζαν εχθές.

Βάζω την λύση που έκανα στον διαγωνισμό. Αρχικά από την δοσμένη η $f'$ βγαίνει άμεσα αύξουσα. Έστω πως υπάρχει κάποιο $c \in \mathbb{R} $ με $f'(c) > 0$. Τότε είναι $f'(x) >0, \forall x \geq c$. Ορίζουμε την συνάρτηση: $g(x) = \frac{f(x)} {f'(x)} + x, x \geq c$. Η οποία είναι καλώς ορισμένη. Από την...

Και του γυμνασίου, εφόσον κάποιος τα έχει.