Η αναζήτηση βρήκε 211 εγγραφές

από sot arm
Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:00 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Θέμα: Ασκήσεις Τοπολογίας
Απαντήσεις: 49
Προβολές: 1657

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

4) Έστω $X$ ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες $T_1,T_2$ στον $X$ με $T_1 \subset T_2$, έτσι ώστε ο $X$ με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf. Δείξτε ότι $T_1=T_2$. Διαφορετικά, έστω $id : (X, T_{2}) \rightarrow (X, T_{1} $ η ταυτοτική . Αφού $T_{1} \subset T_{2} $ η $ Id $ είνα...
από sot arm
Τρί Νοέμ 10, 2020 11:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 2068

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Επανέρχομαι λοιπόν , μπορούμε να θέσουμε διαφορετικά: $\displaystyle{I_{n} = \{ i \in I : \mu(A_{i} \bigcap E_{n}) > 0 \}}$ Τότε $I = \bigcup_{n\in \mathbb{N} }I_{n} $ αφού για κάθε $A_{i}$ έχουμε $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \mu(A_{i}\bigcap \bigcup_{k=1}^{n}E_{k}) = \mu(A_{i}}) > 0 $ από την συνέ...
από sot arm
Τρί Νοέμ 10, 2020 11:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 2068

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Συμπληρώνω αυτό που έλεγα προηγουμένως, συγκεκριμένα έστω: $ ( X , \mathcal{M}, \mu ) $ χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου και $ \{A_{i} \} , i \in I $ οικογένεια ξένων ανά δύο υποσυνόλων της $ \mathcal{M} $ θετικού μέτρου, θα δείξω πως το $I$ είναι το πολύ αριθμήσιμο. Αφού ο $ ( X , \mathcal{M}, \mu ) ...
από sot arm
Τρί Νοέμ 10, 2020 8:58 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 2068

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Συμπληρώνω αυτό που έλεγα προηγουμένως, συγκεκριμένα έστω: $ ( X , \mathcal{M}, \mu ) $ χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου και $ \{A_{i} \} , i \in I $ οικογένεια ξένων ανά δύο υποσυνόλων της $ \mathcal{M} $ θετικού μέτρου, θα δείξω πως το $I$ είναι το πολύ αριθμήσιμο. Αφού ο $ ( X , \mathcal{M}, \mu ) $...
από sot arm
Τρί Νοέμ 10, 2020 5:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 2068

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Θα βάλω απάντηση σε κάποιες το βραδάκι καθώς δεν προλαβαίνω να γράψω σε λατεχ, απλα να αναφέρω σχετικά με αυτό: Υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια ξένων ανά δυο υποσυνόλων του $\mathbb{R}$ που το καθένα από αυτά έχει θετικό μέτρο Lebesgue; Πως δεν υπάρχει τέτοια οικογένεια γενικά σε χώρο σ- πεπερασμέ...
από sot arm
Παρ Αύγ 07, 2020 2:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Του Σωτήρος
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 393

Re: Του Σωτήρος

Ευχαριστώ όλους για τις ευχές, με την σειρά μου να ευχηθώ και σε όλους όσους γιόρταζαν εχθές.
από sot arm
Κυρ Αύγ 02, 2020 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2020/2/5
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 547

Re: IMC 2020/2/5

Βάζω την λύση που έκανα στον διαγωνισμό. Αρχικά από την δοσμένη η $f'$ βγαίνει άμεσα αύξουσα. Έστω πως υπάρχει κάποιο $c \in \mathbb{R} $ με $f'(c) > 0$. Τότε είναι $f'(x) >0, \forall x \geq c$. Ορίζουμε την συνάρτηση: $g(x) = \frac{f(x)} {f'(x)} + x, x \geq c$. Η οποία είναι καλώς ορισμένη. Από την...
από sot arm
Δευ Ιουν 29, 2020 2:34 pm
Δ. Συζήτηση: Εξετάσεις Προτύπων και Πειραματικών Σχολείων
Θέμα: ΘΕΜΑΤΑ 2020
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 647

Re: ΘΕΜΑΤΑ 2020

Και του γυμνασίου, εφόσον κάποιος τα έχει.
από sot arm
Τρί Απρ 21, 2020 3:07 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: ΚΥΡΤΟΣ ΚΩΝΟΣ
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 746

Re: ΚΥΡΤΟΣ ΚΩΝΟΣ

Επαναφορά, είναι ωραία η λύση θεωρώ.
από sot arm
Παρ Απρ 17, 2020 2:59 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ασυνεχής Συνάρτηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 368

Re: Ασυνεχής Συνάρτηση

Με αφορμή μια άσκηση. Να δωθεί παράδειγμα ασυνεχούς συνάρτησης $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε: $\displaystyle{f(\frac{x+y}{2}) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} , \forall x,y \in \mathbb{R}}$ Είναι γνωστό ότι, με χρήση του Αξιώματος Επιλογής, υπάρχουν ασυνεχείς συναρτήσεις που ικανοποιού...
από sot arm
Παρ Απρ 17, 2020 12:18 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ασυνεχής Συνάρτηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 368

Ασυνεχής Συνάρτηση

Με αφορμή μια άσκηση.

Να δωθεί παράδειγμα ασυνεχούς συνάρτησης f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε:

\displaystyle{f(\frac{x+y}{2}) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} , \forall x,y \in \mathbb{R}}
από sot arm
Πέμ Μαρ 26, 2020 9:29 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Με δύο ακολουθίες
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 682

Re: Με δύο ακολουθίες

Κάποιες ιδέες ακόμα που θέλουν αρκετή αιτιολόγηση νομίζω για να αποτελέσουν πλήρη λύση, ας γράψουμε: $\displaystyle{\vec{a}=(a,b), \vec{z_{n}}=(\frac{x_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}},\frac{y_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}})}$ Τότε: $\displaystyle{\left \| z_{n} \right \|_{2} = 1}$ και $\displayst...
από sot arm
Τετ Μαρ 25, 2020 12:36 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Προετοιμασία για φοιτητικούς διαγωνισμούς
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1082

Re: Προετοιμασία για φοιτητικούς διαγωνισμούς

Προσθέτω και εγώ κάποια ακόμα, Για ανάλυση επίσης καλό αλλά με δυσκόλεψε αρκετά ειναι το problems in analysis, advanced calculus on the real axis. Αυτό που μου φάνηκε πολύ ωραίο βιβλίο είναι το Problems from 'the book', έχει πολύ όμορφες εφαρμογες θεωρίας Galois και γραμμικής άλγεβρας σε προβλήματα ...
από sot arm
Κυρ Μαρ 22, 2020 7:42 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 1599

Re: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές

Πρόβλημα 5: Έστω $G$ μια πεπερασμένη ομάδα και $f$ δεύτερης τάξης αυτομορφισμός της. Αν το μοναδικό σταθερό σημείο του $f$ είναι το μοναδιαίο στοιχείο της $G$, τότε να δείξετε ότι η $G$ είναι αβελιανή ομάδα. Μου φάνηκε ωραίο πρόβλημα: Ισχυρισμός: $\forall g \in G , \exists x \in G, g=x^{-1}f(x)$ Γι...
από sot arm
Δευ Μαρ 16, 2020 8:36 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Μια Ισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 731

Re: Μια Ισότητα

Μετά την ωραία λύση του κυρίου Δημήτρη, βάζω και την δικιά μου. Θεωρούμε τον πίνακα $A$ με $(a_{ij}) = x^{|i-j|}$ , τότε: $\displaystyle{det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n}}\epsilon(\sigma)x^{|1-\sigma(1)|}\cdot...x^{|n-\sigma(n)|}=\sum_{\sigma \in A_{n}}x^{\sum_{i=1}^{n}|i-\sigma(i)|} - \sum_{\sigma \in ...
από sot arm
Κυρ Μαρ 15, 2020 11:54 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Μια Ισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 731

Re: Μια Ισότητα

Καλησπέρα Σωτήρη. Νομίζω βρήκα κάτι στοιχειώδες με επαγωγή: Για $n=3$ το ζητούμενο προφανώς ισχύει. Έστω ότι ισχύει για $n=k-1$. Ας είναι $A'_{k}$ το σύνολο των άρτιων μεταθέσεων για τις οποίες ισχύει πως τα στοιχεία $1,2$ βρίσκονται από τη θέση $2$ και πάνω. Ας είναι και $B'_{k}$ το αντίστοιχο σύν...
από sot arm
Κυρ Μαρ 15, 2020 8:23 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Μια Ισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 731

Μια Ισότητα

Έστω n \geq 3 και A_{n}, B_{n} τα σύνολα των άρτιων και περιττών μεταθέσεων του  \{1,2,...,n \} αντίστοιχα.
Να δειχθεί πως:

\displaystyle{\sum_{\sigma \in A_{n}} \sum_{i=1}^{n}|i-\sigma(i)|=\sum_{\sigma \in B_{n}} \sum_{i=1}^{n}|i-\sigma(i)|}
από sot arm
Κυρ Μαρ 15, 2020 8:06 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Γνησίως φθίνουσα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1440

Re: Γνησίως φθίνουσα

Ίσως λέω τα ίδια με τα προηγούμενα λίγο η πολύ, ας δούμε: Αν $g(t)= x^{t}+k-1$ προκύπτει με απλές πράξεις ότι: $g''(t)g(t) > (g'(t))^{2}$ , είναι ισοδύναμο με το $ k >1$ , συνεπώς η $g(t)$ είναι αυστηρά λογαριθμικώς κυρτή, άρα από το λήμμα των τριών χορδών (μόνο τις δύο χορδές θέλουμε) η συνάρτηση: ...
από sot arm
Τρί Μαρ 10, 2020 11:39 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2807

Re: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)

Καλημέρα! Είδα τα θέματα με καθυστέρηση μερικών ημερών, και μπορώ να πω πως μου άρεσαν. Αν και απουσίαζε το ιδιαίτερα δύσκολο πρόβλημα, που κατ' εμέ πρέπει να υπάρχει σε κάθε υψηλού επιπέδου διαγωνισμό, και τα 4 ήταν προβλήματα αξιοπρεπούς δυσκολίας για έναν διαγωνισμό που απευθύνεται σε ταλαντούχο...
από sot arm
Σάβ Φεβ 29, 2020 5:17 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 767

Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

Εστω πολυώνυμα $P(x),K(x)\in Q[x]$ με το $P(x)$ ανάγωγο. Αν τα $P(x),K(x)$ εχουν μία κοινή ρίζα τότε υπάρχει πολυώνυμο $R(x)\in Q[x] $ ώστε $K(x)=P(x)R(x)$ Μέχρι 29-2-2020 Γράφω λίγο περιληπτικά γιατί είμαι από κινητό. Έστω $a$ η κοινή ρίζα και $m_{a} (x) $ το ελάχιστο πολυώνυμο του $a$ υπεράνω του...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση