Η αναζήτηση βρήκε 466 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Τρί Αύγ 28, 2018 12:39 am
- Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Ανισότητα με συνάρτηση και ολοκληρώματα
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1023
Re: Ανισότητα με συνάρτηση και ολοκληρώματα
Επίσης επειδή είμαστε σε μαθητικό φάκελλο καλό θα ήταν να εξηγήσουμε γιατί υπάρχει το $a$. (είναι όλα τα λεφτά της απόδειξης) Θα μπορούσαμε να πούμε ότι το $a$ είναι ένα σημείο που η $\left | f \right |$ παίρνει ελάχιστη τιμή.(λόγω συνέχειας υπάρχει) Αλλιώς: Αν δεν υπάρχει τέτοιο $a$ τότε $\display...
- Δευ Αύγ 27, 2018 10:52 pm
- Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Ανισότητα με συνάρτηση και ολοκληρώματα
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1023
Re: Ανισότητα με συνάρτηση και ολοκληρώματα
Καλησπέρα.
Υπάρχει τέτοιο ώστε . Τότε
.
Υπάρχει τέτοιο ώστε . Τότε
.
- Τετ Απρ 25, 2018 2:02 am
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1252
Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II
Γράφουμε την εξίσωση ως $\displaystyle{8^x-2^x=17^x-11^x}$. Παρατηρούμε ότι η εξίσωση έχει λύσεις $x=0,x=1$. Δείχνουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες. Έστω $x \neq 0,x \neq 1$ μια πραγματική λύση της εξίσωσης. Θεωρούμε την συνάρτηση $T(a)=(8+a)^x-(2+a)^x$ με πεδίο ορισμού $(-1,+\infty)$. Εφόσον η εξίσωση έχ...
- Κυρ Απρ 01, 2018 12:47 am
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1334
Re: Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα
Πολύ ωραίες αποδείξεις. Η απόδειξη μου: Θεωρούμε ''απλά'' $\displaystyle{f(t)=A^{1-t}B^t}$. Το θέμα είναι ότι η συνάρτηση αυτή χρειάζεται να οριστεί καλά, και αυτό θέλει αρκετή δουλειά. Η ερμηνεία του $\displaystyle{A^{1-t}B^t}$ είναι ως $\displaystyle{e^{(1-t)\log A}e^{t \log B}}$. Όταν ένας πίνακα...
- Παρ Μαρ 30, 2018 10:10 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1334
Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα
Έστω δύο πίνακες με ορίζουσα . Αποδείξτε ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε , και για κάθε .
- Τρί Μαρ 27, 2018 11:30 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ανισότητα για διωνυμικό συντελεστή
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1080
Re: Ανισότητα για διωνυμικό συντελεστή
Γράφω την απόδειξη μου. Ισχύει ότι $\displaystyle{\binom{n}{k}=\frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma}\frac{(1+z)^n}{z^{k+1}} \mathrm{d}z}$ όπου $\gamma$ είναι οποιαδήποτε απλή, κλειστή καμπύλη στο μιγαδικό επίπεδο που περικλείει το $z=0$. Η απόδειξη της σχέσης αυτής είναι άμεση από το διωνυμικό θεώρημα και...
- Τρί Μαρ 27, 2018 9:02 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 629
Re: Τέλειο τετράγωνο
Όπως γράφει και ο Αχιλλέας, το πρόβλημα αυτό είναι τόσο διάσημο στα μαθηματικά των διαγωνισμών που έχει και δική του σελίδα στην Wikipedia!
- Τρί Μαρ 27, 2018 2:46 am
- Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- Θέμα: Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1225
Re: Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς
Επίσης και άρα .
- Τρί Μαρ 27, 2018 2:39 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ανισότητα για διωνυμικό συντελεστή
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1080
Ανισότητα για διωνυμικό συντελεστή
Για φυσικούς να αποδειχθεί η ανισότητα
Μάλλον υπάρχουν καλύτερα άνω φράγματα αλλά για το συγκεκριμένο έχω μια πολύ ωραία απόδειξη.
Μάλλον υπάρχουν καλύτερα άνω φράγματα αλλά για το συγκεκριμένο έχω μια πολύ ωραία απόδειξη.
- Κυρ Μαρ 25, 2018 1:54 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Συνδυαστική στα πολυώνυμα
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 926
Re: Συνδυαστική στα πολυώνυμα
Ένα πολυώνυμο $P(x)$ n-οστού βαθμού ικανοποιεί τη συνθήκη $P(k)=2^{k}$ για $k=0,1,2,....,n.$ Βρείτε το $P(n+1)$ . Μια άλλη λύση. Ένα πολυώνυμου βαθμού $n$ καθορίζεται πλήρως από $n+1$ τιμές του και μάλιστα από το θεώρημα παρεμβολής του Lagrange έχουμε και τύπο. Άμα το χρησιμοποιήσουμε στο πρόβλημα ...
- Πέμ Μαρ 15, 2018 9:12 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ανισότητα με αρμονικό αριθμό
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 949
Re: Ανισότητα με αρμονικό αριθμό
Αυτή το πρόβλημα μου θύμισε το παρακάτω. Το διατυπώνω έτσι για πλάκα: Έστω $S(n)$ το άθροισμα των διαιρέτων του φυσικού αριθμού $n$. Ειναι εφικτό να αποδείξουμε την ανισότητα $\displaystyle{S(n) \leq H_n+e^{H_n}\ln (H_n)}$ για κάθε $n$ με ισότητα μόνο για $n=1$ με στοιχειώδη μαθηματικά? Θα γράψω με...
- Πέμ Μαρ 15, 2018 7:46 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ανισότητα με αρμονικό αριθμό
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 949
Re: Ανισότητα με αρμονικό αριθμό
Αυτή το πρόβλημα μου θύμισε το παρακάτω. Το διατυπώνω έτσι για πλάκα: Έστω $S(n)$ το άθροισμα των διαιρέτων του φυσικού αριθμού $n$. Ειναι εφικτό να αποδείξουμε την ανισότητα $\displaystyle{S(n) \leq H_n+e^{H_n}\ln (H_n)}$ για κάθε $n$ με ισότητα μόνο για $n=1$ με στοιχειώδη μαθηματικά? Θα γράψω μετ...
- Κυρ Ιαν 28, 2018 12:22 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
- Θέμα: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1541
Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών
Με απλές στροφές βρίσκουμε ότι $P(x,y)=P(y,x)$ και $P(x,y)=P(x,-y)$. Από την πρώτη σχέση το πολυώνυμο είναι συμμετρικό και άρα από το θεμελιώδες θεώρημα των συμμετρικών πολυωνύμων , μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο των απλών συμμετρικών πολυωνύμων $x+y$ και $xy$. Όπου βλέπουμε το $xy$ το γράφουμε $xy=\...
- Τετ Ιαν 10, 2018 12:49 am
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: Σειρές από μηδενική-φθίνουσα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1075
- Κυρ Ιαν 07, 2018 5:26 am
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: Από τοπικά σταθερή σταθερή
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 1195
- Κυρ Ιαν 07, 2018 2:57 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ελάχιστη τιμή δεύτερης παραγώγου
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 794
Ελάχιστη τιμή δεύτερης παραγώγου
Έστω . Να δείξετε ότι
Την είδα στο AoPS και μου άρεσε πολύ.
Την είδα στο AoPS και μου άρεσε πολύ.
- Σάβ Ιούλ 15, 2017 11:11 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Ανισότητα με δυνάμεις
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1838
Re: Ανισότητα με δυνάμεις
Μια λύση με Διαφορικό Λογισμό.
Έστω . Είναι και
Άρα . Άρα η είναι αύξουσα.
Έστω . Είναι και
Άρα . Άρα η είναι αύξουσα.
- Τετ Μάιος 10, 2017 10:37 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Vojtech Jarnik 2017/1 Category I
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1245
Re: Vojtech Jarnik 2017/1 Category I
Η παρακάτω λύση δεν συγκρίνεται με την απλότητα των προηγούμενων. Έχουμε $\displaystyle{2f(x)f(y+z)=f(x+2(y+z))=f(x+2y+2z)=2f(x+2y)f(z)=4f(x)f(y)f(z)}$ Είτε η $f$ είναι ταυτοτικά $0$ ή $\displaystyle{2f(y+z)=4f(y)f(z)}$. Από εδώ κλασικά μέσω της συναρτησιακής εξίσωσης του Cauchy βρίσκουμε $\displays...
- Παρ Απρ 21, 2017 10:40 pm
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: Διαγωνιστική
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 1311
Re: Διαγωνιστική
Δείτε και εδώ.
- Παρ Απρ 21, 2017 10:38 pm
- Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Η f είναι περιττή
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1622
Re: Η f είναι περιττή
Έστω $g(x)=f(x)+f(-x)$. Τότε $\int_{-1}^1 x^ng(x) dx =0 \quad (*)$ για κάθε $n$ φυσικό διότι αν $n$ άρτιος το παίρνουμε από την υπόθεση ενώ αν $n$ περιττός είναι άμεσο διότι η $g$ είναι άρτια. Είναι γνωστό ότι μέσω του Θεωρήματος του Weierstrass η $(*)$ δίνει $g(x)=0$ για κάθε $x$ και άρα η $f$ είνα...