Η αναζήτηση βρήκε 466 εγγραφές

από AlexandrosG
Τρί Αύγ 28, 2018 12:39 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ανισότητα με συνάρτηση και ολοκληρώματα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 368

Re: Ανισότητα με συνάρτηση και ολοκληρώματα

Επίσης επειδή είμαστε σε μαθητικό φάκελλο καλό θα ήταν να εξηγήσουμε γιατί υπάρχει το $a$. (είναι όλα τα λεφτά της απόδειξης) Θα μπορούσαμε να πούμε ότι το $a$ είναι ένα σημείο που η $\left | f \right |$ παίρνει ελάχιστη τιμή.(λόγω συνέχειας υπάρχει) Αλλιώς: Αν δεν υπάρχει τέτοιο $a$ τότε $\display...
από AlexandrosG
Δευ Αύγ 27, 2018 10:52 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ανισότητα με συνάρτηση και ολοκληρώματα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 368

Re: Ανισότητα με συνάρτηση και ολοκληρώματα

Καλησπέρα.

Υπάρχει 0\leq a \leq 1 τέτοιο ώστε \displaystyle{\int_0^1 |f(t)| dt \geq |f(a)|}. Τότε

\displaystyle{\int_0^1 |f(t)| dt+\int_0^1 |f'(t)| dt \geq |f(a)|+\int_a^x |f'(t)| dt \geq |f(a)|+\left|\int_a^x f'(t) dt\right|=|f(a)|+|f(x)-f(a)|\geq |f(x)|}.
από AlexandrosG
Τετ Απρ 25, 2018 2:02 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 404

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

Γράφουμε την εξίσωση ως $\displaystyle{8^x-2^x=17^x-11^x}$. Παρατηρούμε ότι η εξίσωση έχει λύσεις $x=0,x=1$. Δείχνουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες. Έστω $x \neq 0,x \neq 1$ μια πραγματική λύση της εξίσωσης. Θεωρούμε την συνάρτηση $T(a)=(8+a)^x-(2+a)^x$ με πεδίο ορισμού $(-1,+\infty)$. Εφόσον η εξίσωση έχ...
από AlexandrosG
Κυρ Απρ 01, 2018 12:47 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 566

Re: Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα

Πολύ ωραίες αποδείξεις. Η απόδειξη μου: Θεωρούμε ''απλά'' $\displaystyle{f(t)=A^{1-t}B^t}$. Το θέμα είναι ότι η συνάρτηση αυτή χρειάζεται να οριστεί καλά, και αυτό θέλει αρκετή δουλειά. Η ερμηνεία του $\displaystyle{A^{1-t}B^t}$ είναι ως $\displaystyle{e^{(1-t)\log A}e^{t \log B}}$. Όταν ένας πίνακα...
από AlexandrosG
Παρ Μαρ 30, 2018 10:10 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 566

Συνεχής παρεμβολή μεταξύ πινάκων με σταθερη ορίζουσα

Έστω A,B\in M_n(\mathbb{C}) δύο n\times n πίνακες με ορίζουσα 1. Αποδείξτε ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση \displaystyle{f:[0,1] \to M_n(\mathbb{C})} τέτοια ώστε f(0)=A, f(1)=B και \det (f(t))=1 για κάθε 0 \leq t \leq 1.
από AlexandrosG
Τρί Μαρ 27, 2018 11:30 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ανισότητα για διωνυμικό συντελεστή
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 533

Re: Ανισότητα για διωνυμικό συντελεστή

Γράφω την απόδειξη μου. Ισχύει ότι $\displaystyle{\binom{n}{k}=\frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma}\frac{(1+z)^n}{z^{k+1}} \mathrm{d}z}$ όπου $\gamma$ είναι οποιαδήποτε απλή, κλειστή καμπύλη στο μιγαδικό επίπεδο που περικλείει το $z=0$. Η απόδειξη της σχέσης αυτής είναι άμεση από το διωνυμικό θεώρημα και...
από AlexandrosG
Τρί Μαρ 27, 2018 9:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 289

Re: Τέλειο τετράγωνο

Όπως γράφει και ο Αχιλλέας, το πρόβλημα αυτό είναι τόσο διάσημο στα μαθηματικά των διαγωνισμών που έχει και δική του σελίδα στην Wikipedia!
από AlexandrosG
Τρί Μαρ 27, 2018 2:39 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ανισότητα για διωνυμικό συντελεστή
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 533

Ανισότητα για διωνυμικό συντελεστή

Για φυσικούς n\geq k να αποδειχθεί η ανισότητα

\displaystyle{\binom{n}{k}\leq \frac{n^n}{k^k(n-k)^{n-k}}}

Μάλλον υπάρχουν καλύτερα άνω φράγματα αλλά για το συγκεκριμένο έχω μια πολύ ωραία απόδειξη.
από AlexandrosG
Κυρ Μαρ 25, 2018 1:54 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Συνδυαστική στα πολυώνυμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 399

Re: Συνδυαστική στα πολυώνυμα

Ένα πολυώνυμο $P(x)$ n-οστού βαθμού ικανοποιεί τη συνθήκη $P(k)=2^{k}$ για $k=0,1,2,....,n.$ Βρείτε το $P(n+1)$ . Μια άλλη λύση. Ένα πολυώνυμου βαθμού $n$ καθορίζεται πλήρως από $n+1$ τιμές του και μάλιστα από το θεώρημα παρεμβολής του Lagrange έχουμε και τύπο. Άμα το χρησιμοποιήσουμε στο πρόβλημα ...
από AlexandrosG
Πέμ Μαρ 15, 2018 9:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ανισότητα με αρμονικό αριθμό
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 459

Re: Ανισότητα με αρμονικό αριθμό

Αυτή το πρόβλημα μου θύμισε το παρακάτω. Το διατυπώνω έτσι για πλάκα: Έστω $S(n)$ το άθροισμα των διαιρέτων του φυσικού αριθμού $n$. Ειναι εφικτό να αποδείξουμε την ανισότητα $\displaystyle{S(n) \leq H_n+e^{H_n}\ln (H_n)}$ για κάθε $n$ με ισότητα μόνο για $n=1$ με στοιχειώδη μαθηματικά? Θα γράψω με...
από AlexandrosG
Πέμ Μαρ 15, 2018 7:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ανισότητα με αρμονικό αριθμό
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 459

Re: Ανισότητα με αρμονικό αριθμό

Αυτή το πρόβλημα μου θύμισε το παρακάτω. Το διατυπώνω έτσι για πλάκα: Έστω $S(n)$ το άθροισμα των διαιρέτων του φυσικού αριθμού $n$. Ειναι εφικτό να αποδείξουμε την ανισότητα $\displaystyle{S(n) \leq H_n+e^{H_n}\ln (H_n)}$ για κάθε $n$ με ισότητα μόνο για $n=1$ με στοιχειώδη μαθηματικά? Θα γράψω μετ...
από AlexandrosG
Κυρ Ιαν 28, 2018 12:22 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 877

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Με απλές στροφές βρίσκουμε ότι $P(x,y)=P(y,x)$ και $P(x,y)=P(x,-y)$. Από την πρώτη σχέση το πολυώνυμο είναι συμμετρικό και άρα από το θεμελιώδες θεώρημα των συμμετρικών πολυωνύμων , μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο των απλών συμμετρικών πολυωνύμων $x+y$ και $xy$. Όπου βλέπουμε το $xy$ το γράφουμε $xy=\...
από AlexandrosG
Τετ Ιαν 10, 2018 12:49 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Σειρές από μηδενική-φθίνουσα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 538

Re: Σειρές από μηδενική-φθίνουσα

Και εδώ.
από AlexandrosG
Κυρ Ιαν 07, 2018 5:26 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Από τοπικά σταθερή σταθερή
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 661

Re: Από τοπικά σταθερή σταθερή

Και εδώ.
από AlexandrosG
Κυρ Ιαν 07, 2018 2:57 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ελάχιστη τιμή δεύτερης παραγώγου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 393

Ελάχιστη τιμή δεύτερης παραγώγου

Έστω f\in C^2([0,1]). Να δείξετε ότι

\displaystyle{8 \, (\max f-\min f) \geq \min f''}

Την είδα στο AoPS και μου άρεσε πολύ.
από AlexandrosG
Σάβ Ιούλ 15, 2017 11:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με δυνάμεις
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1052

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Μια λύση με Διαφορικό Λογισμό.

Έστω f(t)=a^t+b^t+c^t. Είναι \displaystyle{f'(t)=a^t \ln a+b^t \ln b+c^t \ln c} και

\displaystyle{f''(t)=a^t (\ln a)^2+b^t (\ln b)^2+c^t (\ln c)^2 \geq 0.}

Άρα f'(t) \geq f'(0)=\ln a+\ln b+\ln c=\ln (abc)=\ln 1=0. Άρα η f είναι αύξουσα.
από AlexandrosG
Τετ Μάιος 10, 2017 10:37 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Vojtech Jarnik 2017/1 Category I
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 662

Re: Vojtech Jarnik 2017/1 Category I

Η παρακάτω λύση δεν συγκρίνεται με την απλότητα των προηγούμενων. Έχουμε $\displaystyle{2f(x)f(y+z)=f(x+2(y+z))=f(x+2y+2z)=2f(x+2y)f(z)=4f(x)f(y)f(z)}$ Είτε η $f$ είναι ταυτοτικά $0$ ή $\displaystyle{2f(y+z)=4f(y)f(z)}$. Από εδώ κλασικά μέσω της συναρτησιακής εξίσωσης του Cauchy βρίσκουμε $\displays...
από AlexandrosG
Παρ Απρ 21, 2017 10:40 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Διαγωνιστική
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 840

Re: Διαγωνιστική

Δείτε και εδώ.
από AlexandrosG
Παρ Απρ 21, 2017 10:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Η f είναι περιττή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1074

Re: Η f είναι περιττή

Έστω $g(x)=f(x)+f(-x)$. Τότε $\int_{-1}^1 x^ng(x) dx =0 \quad (*)$ για κάθε $n$ φυσικό διότι αν $n$ άρτιος το παίρνουμε από την υπόθεση ενώ αν $n$ περιττός είναι άμεσο διότι η $g$ είναι άρτια. Είναι γνωστό ότι μέσω του Θεωρήματος του Weierstrass η $(*)$ δίνει $g(x)=0$ για κάθε $x$ και άρα η $f$ είνα...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση