Η αναζήτηση βρήκε 773 εγγραφές

από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δευ Μάιος 20, 2019 4:20 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Πρωτάθλημα σκακιού υπολογιστών
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 674

Re: Πρωτάθλημα σκακιού υπολογιστών

Energy Engineer έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 3:46 pm

Πλέον σήμερα στην εποχή της Leela και του AlphaZero, δύο engines που με reinforcement learning με παιχνίδια με τον εαυτό τους έμαθαν να παίζουν καλά, τήνουν να μοιάσουν στον άνθρωπο.
Όταν μια chess engine παίζει με τον εαυτό της, ποιο είναι το αποτέλεσμα;
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Σάβ Μάιος 18, 2019 12:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ισεμβαδικότητα !
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 282

Re: Ισεμβαδικότητα !

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι η $BB''$ είναι διάμεσος του $ABC$. Έστω $M$ το μέσο του $AC$. Εύκολα προκύπτει ότι το $E'MQ'$ είναι ισοσκελές (απλά συγκρίνουμε τα $CMQ'$ και $AME'$). Έστω $E''$ και $Q''$ τα συμμετρικά των $E', Q'$ ως προς τo $M$. Αφού $E''M=ME'=MQ'=Q''M$, παρατηρού...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Πέμ Μάιος 16, 2019 5:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Της νύχτας τα καμώματα!!!...
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 2482

Re: Της νύχτας τα καμώματα!!!...

Της νύχτας τα καμώματα!!!.png Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ και ο εγγεγραμμένος του κύκλος $\displaystyle{ \left( I \right) }$. Ας είναι $\displaystyle{ A',B',C' }$ τα σημεία επαφής του $\displaystyle{ \left( I \right) }$ με τις πλευρές $\displaystyle{ BC,CA,AB }$ αντ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Πέμ Μάιος 09, 2019 2:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συνθήκη για διάμεσο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 196

Re: Συνθήκη για διάμεσο

Έστω $ABCD$ ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ώστε $AD^2 + BC^2 = AB^2$. Οι διαγώνιοί του τέμνονται στο $E$ και $P$ είναι σημείο της πλευράς $\overline{AB}$ ώστε $\angle APD = \angle BPC$. Να αποδείξετε ότι η $PE$ διχοτομεί το τμήμα $\overline{CD}$. Καταρχάς φέρνοντας τους κύκλους $(A, AD)$ και $(B, BC)$, ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δευ Μάιος 06, 2019 11:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Καλή από RMM
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 264

Re: Καλή από RMM

Καλή! Έστω $D, E, F$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις $BC, CA, AB$ αντίστοιχα. Έστω $I_a$ το παράκεντρο της κορυφής $A$. Έστω ότι η πολική του $I_a$ στον εγγεγραμμένο κύκλο τέμνει την $BC$ στο $S$, ενώ η $EF$ τέμνει την $BC$ στο $T$. Είναι γνωστό ότι το $S$ είναι το μέσο του $DT$. Απ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τετ Απρ 24, 2019 7:21 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άλλη μία όμορφη καθετότητα
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 776

Re: Άλλη μία όμορφη καθετότητα

Διαφορετικά: Έστω $K$ το σημείο τομής της $CD$ με τον περιγεγραμμένο κύκλο του $ABC$. Προφανώς είναι $KD=DH$ και $\widehat{KAD}=\widehat{KCB}=\widehat{HFD}$, άρα $AK//FH$. Έπεται λοιπόν από Θαλή πως $FD=DA$. Έστω πως η $DE$ τέμνει την $AK$ στο $L$. Τότε πάλι από Θαλή είναι $DE=DL$. Από Θεώρημα πεταλ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τρί Μαρ 05, 2019 10:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ομοκυκλικότητες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 445

Re: Ομοκυκλικότητες

Έστω $K$ και $L$ τα μέσα των $BE$ και $CD$ αντίστοιχα. Θα δείξουμε ότι τα σημεία $A, K, I, L$ είναι ομοκυκλικά ($I$ είναι το έγκεντρο). Αφού $CD+BE=2BC$, ισχύει ότι $CL+BK=BC$. Άρα υπάρχει σημείο $N$ στην $BC$, ώστε $BK=BN$ και $CL=CN$. Από τα ισοσκελή τρίγωνα $KBN$ και $LCN$, έχουμε πως οι διχοτόμο...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τρί Φεβ 26, 2019 12:07 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: U466 από το MR
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 418

U466 από το MR

Επισυνάπτω την τρίτη δημοσίευσή μου από το τελευταίο τεύχος του Mathematical Reflections.
(δεν είμαι σίγουρος για την κατηγορία)
U466.png
U466.png (221.34 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Φεβ 17, 2019 2:12 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τέλειος κύβος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 345

Re: Τέλειος κύβος

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $2^n + 3^n$ δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού $n$. Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου. Για $n=1$ πράγματι δεν έχουμε κύβο. Για $n\geq 2$, παίρνοντας $\pmod{9}$, προκύπτει ότι $2^n\equiv \pm 1 \pmod{9}$, άρα εύκολα προκύπτει ότι το $n$ διαιρείται με το ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τετ Φεβ 13, 2019 5:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχεια
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 318

Re: Συντρέχεια

Έστω πως η $EK$ και $AO$ τέμνονται στο $Q$. Θα αποδείξουμε πως τα σημεία $T, Q, M$ είναι συνευθειακά. Έστω πως η $KO$ τέμνει την $AB$ στο $J$. Ισχύει πως η δέσμη $T(A, E, Q, J)$ είναι αρμονική (από το πλήρες τετράπλευρο $TKQO.AE$). Αρκεί λοιπόν η δέσμη $T(A, E, M, J)$ να είναι αρμονική, με άλλα λόγι...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δευ Φεβ 11, 2019 1:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 1110

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019

Πρόβλημα 2 Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς $\displaystyle{p}$, ώστε ο αριθμός $\displaystyle{1^{p^3+p+1}+2^{p^3+p+1}+\cdots+2019^{p^3+p+1}}$ να είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{p}$. Από μικρό θεώρημα $Fermat$: $a^{p^3}\equiv a^{p^2} \equiv a^p \equiv a$ Άρα $a^{p^3+p+1}\equiv a^3 \pmod{p}...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δευ Φεβ 11, 2019 12:51 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Του Αγίου Χαραλάμπους
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 504

Re: Του Αγίου Χαραλάμπους

Χρόνια πολλά στους εορτάζοντες και ειδικά στον κύριο Στεργίου και στον Χάρη Τιούριγκ.
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δευ Φεβ 11, 2019 12:48 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 1110

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019

Πρόβλημα 1 Ορίζουμε τις ακολουθίες $\displaystyle{(\alpha_\nu), (\beta_\nu), (\gamma_\nu)}$ με $\displaystyle{\nu\in\{1, 2, 3, \ldots\}}$ ως εξής: $\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\alpha_1=2}$ και $\displaystyle{\alpha_{\nu+1}=2^{\alpha_\nu}, \forall\nu\in\{1, 2, 3, \ldots\}}$ $\displaystyle...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Φεβ 10, 2019 7:12 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 1110

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019

Πρόβλημα 4 Σε μια τάξη $\displaystyle{10}$ μαθητών δόθηκε ένα διαγώνισμα $\displaystyle{15}$ προβλημάτων. Γνωρίζουμε ότι κάθε πρόβλημα λύθηκε σωστά από τουλάχιστον $\displaystyle{7}$ μαθητές. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ζεύγος $\displaystyle{\{x, y\}}$ μαθητών, ώστε κάθε πρόβλημα να λύθηκε σωστά από ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Φεβ 10, 2019 5:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 1110

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019

Πρόβλημα 2 Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς $\displaystyle{p}$, ώστε ο αριθμός $\displaystyle{1^{p^3+p+1}+2^{p^3+p+1}+\cdots+2019^{p^3+p+1}}$ να είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{p}$. Από μικρό θεώρημα $Fermat$: $a^{p^3}\equiv a^{p^2} \equiv a^p \equiv a$ Άρα $a^{p^3+p+1}\equiv a^3 \pmod{p}...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Φεβ 03, 2019 8:00 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απλή και Ωραία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 344

Re: Απλή και Ωραία

Έστω $y>2$. Θα είναι προφανώς $x>y$. Κάνοντας τις πράξεις έχουμε: $y\cdot y!=(x-1)(x-2)(x-3)\cdot...\cdot (x-y+1)$ Το πολυώνυμο $(x-1)(x-2)(x-3)\cdot...\cdot (x-y+1)$ για $x\geq y$ δεν έχει άλλες ρίζες, άρα είναι αύξουσα συνάρτηση. Αν $x\geq y+3$, τότε $y\cdot y!=(x-1)(x-2)(x-3)\cdot...\cdot (x-y+1)...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Φεβ 03, 2019 4:17 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 1167

Re: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Και επειδή μάλλον δεν μπορούμε να ελέγξουμε τους πρώτους που να διαιρούν όρους της μορφής 2^a+3^a ..και επειδή αυτοί,από zsigmondy είναι άπειροι και δεν υπακούν σε κάποιο γνωστό pattern.. Ναι ακριβώς. Βασικά το $a$ πρέπει να διαιρείται με το 5, αλλά και πάλι το Zsigmondy αποδεικνύει ότι το πρόβλημα...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Φεβ 03, 2019 3:03 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 1167

Re: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Φεβ 03, 2019 2:57 pm
οπότε ακόμα ανοιχτό το πρόβλημα ...
Δεν νομίζω ότι μπορεί να λυθεί, αλλά τέλος πάντων...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Φεβ 03, 2019 2:39 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 1167

Re: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Η συγκεκριμένη άσκηση μάλιστα είναι αδύνατον να λυθεί: Πρακτικά θέλουμε όλα τα $x$, ώστε $11x|2^x+3^x$. Εκτός του ότι επαληθεύουν όλα τα $x$, τέτοια ώστε $x=5^l$, $l>0$ (από LTE αποδεικνύεται εύκολα), ταυτόχρονα επαληθεύουν όλα τα $x$ της μορφής $x=11^k\cdot 5^l$, $k\geq 0$, $l>0$. Και όχι μόνο! Επε...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση