Δείξτε ότι για κάθε σύστημα με αντιστρέψιμο πίνακα συντελεστών υπάρχει μια λύση και μάλιστα μοναδική. Σκεφτόμουνα μια διαφορετική προσέγγιση. Έστω $c_i$ η $i-$ στήλη. Βλέπω ότι αν ένα $\vec{x}$ είναι λύση τότε $\sum_{1}^{n}c_i x_i =$$\vec{b}$ με $b_i$ την i-οστη συντεταγμένη του σταθερού διανύσματος...

Εννοω οτι
Θ.Μ.Τ στο
ώστε να ορίσω επαγωγικά την .

Εστω
Θ.Μ.Τ στο λόγω Α.Μ. Σωστά?

Έστω $f(x) : [a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγισιμη , Ν.Δ.Ο $\exists (\xi _n)\in (a,b)\Rightarrow \lim_{n}f'(\xi _n)=f'(a)$ Λίγη βοήθεια εδω. Σκεφτηκα το θεώρημα νταρμπου,μιας και αν η f'(x) ήταν συνεχής από Α.Μ θα χα με εύκολα το ζητούμενο αλλά ίσως μια ιδιότητα της συνέχειας να είναι αρκετή. Κ...

Ευχαριστώ πολύ για την βοήθεια,θα συνεχίσω αύριο γιατί δεν με κρατάνε τα μάτια μου αλλο. Καλο σας βράδυ!

Έστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής στο [a,b],παραγωγισιμη στο (a,b) με $f(a)=f(b)$. Ν.Δ.Ο $\exists x_1\neq x_2\in (a,b) \Rightarrow f'(x_1)+f'(x_2)= 0$ Θ.Μ.Τ στα $\left [ a,\frac{a+b}{2} \right ] ,\left [ \frac{a+b}{2},b \right ]\Rightarrow \exists x_1,x_2 \Rightarrow f'(x_1)+f'(x_2)=\frac...

Έστω $\epsilon = 1 > 0$ τότε $\exists \delta >0$ ώστε αν $x\in (b -\delta ,b)\Rightarrow \alpha -1<f'(x)<\alpha +1$ Θ.Μ.Τ στο $\left [ b-\delta ,x \right ]\Rightarrow \alpha -1<\frac{f(x)-f(b-\delta )}{x-b+\delta }<\alpha +1$ $f(x)<(1+\alpha)(x-b+\delta )+f(b-\delta )<(1+\alpha )(2\delta -b)+f(b-\de...

Εστω $f:(a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ ,παραγωγισιμη με $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)= +\infty$. Ν.Δ.Ο αν $\alpha \in \mathbb{R}$ τότε $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x)\neq \alpha$. Έστω ότι $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f'(x)= \alpha$ για κάποιο α. Εστω ε=1>0,τότε υπάρχει δ>0 ώστε αν $x\in(b-\delta,\delt...

Θα ήθελα να μου επισημάνετε τυχόν λάθη στις παρακάτω ασκήσεις. Ν.Δ.Ο αν $x\in \left ( 0,\pi /2 \right )$ $sin(x)\geq \frac{2x}{\pi }$. Θέτω $f(x)= sin(x)- \frac{2x}{\pi } ,f :\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]\rightarrow \Re$ Παρατηρώ ότι $f(0)=f(\frac{\pi }{2})=0$ Αν υπήρχε ρίζα της f στο (0,π/2) τό...

Αρχικά $0\leq n \Leftrightarrow 2m \leq 2m + n \Leftrightarrow \frac{m}{2m+n} \leq \frac{1}{2}$ - Άνω φράγμα. Έστω $\epsilon > 0$ $\frac{1}{2} - \epsilon < \frac{m}{2m+n} \Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{m}{2m+n} < \epsilon \Leftrightarrow \frac{n}{4m+n} < \epsilon \Leftrightarrow \frac{1-\epsilo...

Στο σύνολο $\Gamma = \left \{ \frac{m}{2m+n}: m,n\in \mathbb{N} \right \}$ να βρω το supremum. Αρχικά σταθεροποιώ το m και βλέπω ότι $\lim_{n} \frac{m}{2m+n} = 0$. Έπειτα σταθεροποιώ το n και βλέπω ότι $\lim_{m}\frac{m}{2m+n}=1/2$ Άρα το supremum είναι το $\frac{1}{2}$.Καθώς αν ήταν το 0 θα μπορούσα...

Η απόδειξη που λέτε έχει ως ενώ εδώ το είναι το . Περδευτικα


Απλα εφαρμόζω στο 2n υποθέτω.

Αυτό εννοείται ?

Αν $\alpha_n$ θετική ακολουθία πραγματικών αριθμών και φθίνουσα.Ν.δ.ο $\chi_n = \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 - \alpha_4 + ... + \alpha_{2n-1} - \alpha_{2n}$ είναι αύξουσα και άνω φραγμένη. Εύκολα δειχνουμαι πως είναι αύξουσα. Το θέμα μου είναι στο άνω φραγμένη. Σκέφτηκα μια λύση αλλά δεν ξέρω κατά...

Οφείλω να ομολογήσω οτι κάποιες φορές πρέπει να μην παρασήρομαι απο που βρίσκω τις ασκήσεις και να σκεύτομαι πιο απλά!
Ευχαριστώ πολύ!

Αν και , τότε ή και ή είναι τετράγωνα ρητών αριθμών.
Παρατηρώ επίσης οτι

Σας ευχαριστώ πολύ. Είχα προσπαθήσει μια απόδειξη με επαγωγή και τριγωνική ιδιότητα του Pascal . Η παρατήρηση σας μου έλειπε.

Ευχαριστώ για την απόδειξη.
Προσπαθώ να κάνω και μια διαφορετική.

$\binom {n} {1} - \frac{1}{2} \binom {n} {2} + \frac {1} {3} \binom {n}{3} - ... +(-1)^{n+1}\frac{1}{n} \binom{n}{n}= 1+ \frac{1}{2} + ... +\frac{1}{n}$ Έχω αποδείξει ήδη $\binom{n}{1} - \binom{n}{2} + \binom{n}{3} - ... + (-1)^{n+1}\binom{n}{n} = 1$ Δεν πρέπει με κάποιο τρόπο να εμφανίσω τους συντε...

Αποδείξτε ότι