Επανέρχομαι στο προηγούμενο σχόλιο διότι μόλις είδα οτι με την επιπλέον υπόθεση της παραγωγισιμότητας στο $0$ έχουμε ενδιαφέρον τύπο για την $f.$ To αφήνω σαν άσκηση όπως και την απόδειξη της παραγωγιμότητας για την $f$ σε όλο το $\mathbb{R}.$ Προφανώς ενδιαφερόμαστε για μη σταθερή $\displaystyle{f...

Χάριν της πολυφωνίας: Μπορούμε επίσης να αντιμετωπίσουμε το θέμα με χρήση συντεταγμένων. Έστω $\displaystyle{A(a_1,a_2)}$ και $\displaystyle{B(b_1,b_2)}$ σταθερά και διακεκριμένα σημεία, και $\displaystyle{ M(x,y)}$. Είναι: $\displaystyle{ \overrightarrow{AB}= (b_1-a_1,b_2-a_2) \neq (0,0) }$ και $\d...

Aυτό που θα βρεθεί με κλειστό τύπο είναι το άθροισμα $\displaystyle A={ 1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^{n-1}}$ Καλησπέρα, σε όλους. Ένας άλλος πολύ γνωστός και εύκολος τρόπος υπολογισμού του $A$, για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R} }$, πέραν της μεικτής προόδου, είναι ο εξής: α) Για $\displaystyle{x=1}...

Β2. Δίνονται οι μιγαδικοί z , w για τους οποίους ισχύουν : $\displaystyle{\left| {{{\rm{z}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 5z + 4}}} \right| = 2{\left| {{\rm{z - 1}}} \right|^2} + 3{\left| {\rm{z}} \right|^2} - 12}$ και $\displaystyle{\left| {{w^{\rm{2}}}} \right| + \left| {{{\rm{w}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 9}}} \right...

Υπάρχουν και άλλες λύσεις εκτός της τετριμμένης και της $\displaystyle{r=s=t=1}$. Για παράδειγμα, αν $\displaystyle{r=0}$, τότε προκύπτει $\displaystyle{t+s^2=t^2=2st}$, και αν ζητήσουμε $\displaystyle{s,t>0 }$, τότε : $\displaystyle{t=4/3, s=2/3, r=0}$. Αντίστοιχα (αν κάνω σωστά τις πράξεις) προκύπ...

Ο εγγεγραμμένος κύκλος σε τραπέζιο $ABCD$ με $AB//DC$ έχει ακτίνα $45cm$.Οι εγγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα $ABC$ και $ADC$ έχουν αντίστοιχα ακτίνες $20cm$ και $30cm$.Να υπολογίσετε τις πλευρές του τραπεζίου αν οι γωνίες $A$ και $D$ είναι ορθές . file.php.png Στο σχήμα του Doloros : Είναι $\displa...

Στο παραλληλόγραμμο $ABCD$ του σχήματος , το σημείο $P$ της πλευράς $DC$ είναι τέτοιο ώστε : $MB = MC = MP$ , όπου $M$ το μέσο της $BC$. Έστω ακόμα $N$ το μέσο του $AP$. Δείξετε ότι $(ABCD) = 2(BMPDN)$. parallhlogrammo.png Είναι $MP=MB = MC = \frac{BC}{2}$, άρα το τρίγ. $PBC$ είναι ορθογώνιο στο $P...

Εντός τετραγώνου $ABCD$ , πλευράς $a$ , βρίσκεται τυχαίο σημείο $S$ . Το τετράπλευρο $KLMN$ έχει ως κορυφές τα βαρύκεντρα των τριγώνων $SAB,SBC,SCD,SDA$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του $KLMN$ . Τι είδους τετράπλευρο είναι ? tetragwno.png Χρησιμοποιώ το αρχικό σχήμα: Προεκτείνουμε τις $SM, SN$ και αυτές...

Ας δειχθεί ότι: $\displaystyle{\dfrac{2n}{2^{2n}} = \left(\prod_{r=1}^{n} \sin \frac{r\pi}{2n+1}\right)^2}$. Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο $\boxed{ \prod^{n-1}_{r=1}{\sin \frac{r \pi}{n }} = \frac{ n } {2^{n-1}}}$ Είναι: $\displaystyle{ \prod^{2n}_{r=1}{\sin \frac{r \pi}{2n+1 }} = \frac{ 2n+1 } {2^{...

Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο $\boxed{ \prod^{n-1}_{r=1}{\cos \frac{r \pi}{n }} = \frac{ \sin (\pi n/2) } {2^{n-1}}}$ Για $n=15$ είναι: $\displaystyle{ \prod^{14}_{r=1}{\cos \frac{r \pi}{15 }} = \frac{ \sin ( \frac{15}{2}\pi) } {2^{14}} \Leftrightarrow \boxed{ \left( \prod^{7}_{r=1}{\cos \frac{r \pi}...

Συντεταγμένη σχέση.png Τμήμα $AB$ , το οποίο διέρχεται από το $S(4,3)$ , έχει τα άκρα του στους ημιάξονες $Ox,Oy$ . Για το σημείο $N$ του τμήματος $OS$ , ισχύει $ON=\dfrac{OS}{4}$ . Η $AN$ τέμνει τον $Oy$ στο $P$ . Φέρω $PT\parallel OS$ , ( $T \in AB$ ) . Βρείτε σχέση που συνδέει τις συντεταγμένες ...

Καλημέρα :logo: Έστω $a,b,c,d$ θετικοί πραγματικοί ώστε$a+b+c+d=4$ Nα δείξετε ότι $\frac {4} {abcd} \geq \frac {a}{b}+ \frac {b}{c}+ \frac {c}{d}+ \frac {d}{a}$ Ξεκινώντας όπως και στην λύση του Αλέξανδρου, αρκεί (μετά την απαλοιφή) να δείξουμε ισοδύναμα ότι: $a^2cd+ b^2da + c^2ab + d^2 bc \leq 4 \...

file.php.png Χρησιμοποιώ το σχήμα του Doloros : Στο τετράπλευρο $ABCD$ είναι: $\displaystyle{ \widehat{DCB} = 360^0-90^0-70^0-80^0= 120^0 \quad }$, άρα $\displaystyle { \hat{C_1}= 120^0-90^0= 30^0$ και ${ \hat{C_2}= 180^0-\widehat{DCB}= 60^0$. Το τρίγωνο $DOC$ είναι ισοσκελές με $OD=OC$ (ακτίνες), ...

Προφανώς έχεις δίκιο...

Φιλικά,
Χρήστος

Κατ' αρχάς υπάρχει το ερώτημα αν υπάρχουν άπειρες τριάδες διαδοχικών πρώτων. Αυτό, απ' όσο ξέρω, είναι ακόμα εικασία, αν και μάλλον φαίνεται να ισχύει.

http://mathworld.wolfram.com/PrimeTriplet.html

file.php.png Καλημέρα, στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο $APKB$ είναι $\displaystyle{ \hat{P} + \hat{B} =180^0 \Leftrightarrow \boxed{\hat{B} =70^0 } }$. Είναι $\widehat{AKB } = 90^0$ ως εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο, οπότε $\hat{A_2}=90^0 - \hat{B} = 20^0$, άρα και $\hat{A_1}= \hat{A_2}= 20^0$ (ίσες ως εγγ...

guest1987 έγραψε: scale-invariant equations.

"Εξισώσεις αμετάβλητες ως προς την ανακλιμάκωση", ακριβέστερα εννοείται : "εξισώσεις αμετάβλητες ως προς τον μετασχηματισμό ανακλιμάκωσης"

file.php.png Καλησπέρα, στο ορθογώνιο τρίγωνο $EAM$ είναι: $\displaystyle{ \frac{\hat{E}}{2} + \hat{x} + \frac{\hat{A}}{2} = 90^{0} \Leftrightarrow \hat{E} + 2 \hat{x} + \hat{A} =180^{0} \quad (1) }$ Στο τρίγωνο $EAC$ είναι: $\displaystyle{ \hat{E} + \hat{x} + \hat{A} + \hat{C} =180^{0} \quad (2) }...

Περιληπτικά: Ο κύκλος $(Q,4)$ έχει εξίσωση $(x-q)^2+(y-q)^2 =16, \quad (1)$. Αφαιρώντας την (1) από την εξίσωση του $(C_{K})$ (κύκλος κέντρου $K$), δηλ. την $x^2 + (y-2)^2 = 4$, παίρνουμε την εξίσωση της κοινής χορδής αυτών των δυο κύκλων. Επειδή όμως τα σημεία τομής είναι αντιδιαμετρικά στον $(C_{K...

Ευχαριστώ πάρα πολύ για τις απαντήσεις σας. Τείνω να υιοθετήσω το "αρχέτυπο" αλλά για να έχετε μια καλύτερη εικόνα επικολλώ το μέρος του κειμένου που περιέχει τον όρο. Thus we see that every one-parameter family of functions y(x) satisfies a first order differential equation. This y(x) is the primi...