Δίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα με και .
Δείξτε χωρίς την βοήθεια του Θεωρήματος του Πυθαγόρα ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα.

Στο παραπάνω σχήμα το σημείο είναι σημείο επαφής για τον ημίκυκλο διαμέτρου .
Υπολογίστε το λόγο .

Καλημέρα.

Βρείτε το μήκος του τμήματος .

Το τετράπλευρο είναι τετράγωνο και τα χρωματιστά τρίγωνα ισόπλευρα.
Βρείτε το μέτρο της γωνίας .

1.png Αν $\angle PBA=\theta$ , τότε και $\angle PKA=\theta$ (ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο τόξο $AP$). Αλλά $\angle NKA=2\angle NBA$ (σχέση επίκεντρης-εγγεγραμμένης)$\Rightarrow \angle NKA=2\theta \Rightarrow$ $\Rightarrow \angle NKP=\theta$ .Άρα στο ισοσκελές τρίγωνο $NKA$ η $KP$ είναι διχοτόμο...

Από την ομοιότητα των τριγώνων έχω ότι .
Αλλά .

Από τις μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα βρίσκω ότι και .
Αλλά και .
Η και μου δίνει ότι .

1.png Από το $\triangle PCA$ έχω $PC=7, PA=7\sqrt{3}$. Από το Π. Θ. στο τρίγωνο $PCB$ παίρνω $CB=14\sqrt{2+\sqrt{3}}$. Προφανώς $CE=12$. Η ομοιότητα των τριγώνων $CDE, PCB$ μου δίνει $DE=\frac{6}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$. Από το Π. Θ. στο τρίγωνο $CDE$ έχω $CD=6\sqrt{6+\sqrt{3}}$. Αλλά $BD=CB-CD\Rightar...

14.png Γράφω τον περίκυκλο του τριγώνου $AB\Gamma$ , του οποίου το κέντρο καλώ $O$ και $P$ το συμμετρικό του ως προς την $AB$. Φέρνω όλα τα κόκκινα τμήματα. Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν εύκολα. Παρατηρώ ότι το $A$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου $KP\Delta$ . Αλλά $\angle P\Delta B=36^{0}$. Άρα $\an...

Καλησπέρα.

Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται πάνω στο κύκλο . Επίσης .
Από τυχαίο σημείο του φέρνω τα τμήματα . Αν ,
να δείξετε ότι η είναι μεσοκάθετος του .

Στο παραπάνω σχήμα είναι .

Βρείτε το μέτρο της γωνίας .

1.png Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $MPD$. Προφανώς $\angle DMN=30^{0}$. Οπότε η $MN$ είναι μεσοκάθετος του $DP$. Άρα $ND=NP$. Αλλά $ND=NB$ (η διαγώνιος είναι άξονας συμμετρίας στα τετράγωνα). Επομένως $\triangle PND=\triangle DNB$. Συνεπώς $\angle NDP=\angle NDB=15^{0}\Rightarrow \angle DPN=15^...

Στο παραπάνω σχήμα το είναι κάντρο του τετραγώνου .

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας .

Το τρίγωνο του παραπάνω σχήματος είναι ισόπλευρο πλευράς .

Δείξτε ότι .

Στο παραπάνω σχήμα το είναι μέσο του .

Βρείτε το μέτρο της γωνίας .

21.png Καλησπέρα σ' όλους . Γράφω τον περίκυκλο του $\triangle AB\Gamma$ του οποίου το κέντρο ονομάζω $O$, φέρνω τα τμήματα $OB, OA, O\Gamma$ και κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $O\Gamma E$. Επίσης φέρνω τα τμήματα $AE, BE$. Είναι $\angle EOA=\angle AOB=36^{0}\Rightarrow $ $\Rightarrow OA$ μεσοκάθ...

Υπολογίστε την ακτίνα του παραπάνω ημικύκλιου.

Δίνεται τρίγωνο με και .
Βρείτε το εμβαδόν του.

Καλησπέρα.

Το τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος, είναι ορθογώνιο.

Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

1.png Με πλευρά την $AD$ κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $APD$ και φέρνω το τμήμα $PC$. Προφανώς $\angle DAC=15^{0}\Rightarrow \angle CAP=45^{0}$. Επειδή $\angle ACD=30^{0}$, έπεται ότι το $P$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου $ACD$. Οπότε $PA=PC$. Ονομάζω τη $K$ τη προβολή του $P$ στην $AC$. Το $K...