1.png Με πλευρά την $AC$ κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $ACP$ και φέρνω τα τμήματα $PB, PM$. Προφανώς $\angle PAB=15^{0}$. Έστω $N\equiv AM\cap PC$. Η $AM$ είναι μεσοκάθετος του $PC$. Οπότε $PM=MC$. Αλλά $BM=MC$. Άρα $\angle BPC=90^{0}$. Από το τρίγωνο $BPA$ εύκολα προκύπτει ότι $\angle ABP=15^{0...

Φέρνω τα κόκκινα τμήματα.

Παρατηρώ ότι το είναι το περίκεντρο του τριγώνου .

Οπότε .

Άρα .

Αλλά .

Συνεπώς .

1.png Καλησπέρα . Στο παραπάνω σχήμα σχεδίασα το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $AB\Gamma \Delta$ με κέντρο βάρους το $O$. Στη συνέχεια με πλευρά τη $\Delta O$ κατασκεύασα το τετράγωνο $OEZ\Delta$ και από τη κορυφή του $E$ έφερα κάθετη στη $B\Gamma$ με την οποία τέμνονται στο $K$. Αν $M\equiv KO\cap A\D...

Καλησπέρα.

Δίνονται οι παραπάνω κύκλοι .

Δείξτε ότι .

1.png Καλησπέρα . Γράφω τον κύκλο $(B, BA)$ ο οποίος τέμνει τη $BC$ στο $P$. Επίσης κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $BAN$ και φέρνω τα τμήματα $AP, PN$. Έστω $BD=a, DP=b$. Οπότε $BP=a+b\Rightarrow BA=a+b\Rightarrow DC=a+b\Rightarrow PC=a$. Προφανώς $\angle NBP=40^{0}\Rightarrow \angle NAP=20^{0}$....

Χρόνια πολλά και καλά στους εορτάζοντες.

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα υπάρχει κύκλος και το τετράγωνο πλευράς .

Αν για το εφαπτόμενο τμήμα ισχύει ότι , να υπολογίσετε το .

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μέτρο της γωνίας .

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το εμβαδόν του ισοσκελούς τριγώνου .

(: διάμετρος του ημικύκλιου
: σημείο επαφής).

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο .

Αν τα σημεία είναι μέσα των αντίστοιχα,

να υπολογίσετε το λόγο .

Στο παραπάνω σχήμα ψάχνω τη γωνία .

Χρόνια πολλά και καλά σ΄όλους τους εορτάζοντες.
Ιδιαίτερες ευχές στου διαδικτυακούς φίλους Γιώργο Βισβίκη, Γιώργο Μήτσιο (προηγούνται οι γεωμέτρες)
και στον Γιώργο Ρίζο.

1.png Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $BDP$ και φέρνω το τμήμα $CP$. Προφανώς $\angle ADB=20^{0}, \angle PDC=20^{0}$. Το σημείο $B$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου $DCP$. Άρα $\angle CPD=10^{0}$. Παρατηρώ ότι τα τρίγωνα $BAD, DCP$ είναι ίσα. Οπότε $DA=DC\Rightarrow \angle DCA=40^{0}$. Συνεπώς $x=...

Χρόνια πολλά, Χριστός Ανέστη.

Στο τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος, βρείτε το μέτρο της γωνίας .

Στο παραπάνω σχήμα το είναι κέντρο του κύκλου.

Δείξτε ότι .

Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο με βαρύκεντρο το σημείο .

Αν το συμμετρικό του ως προς την , το μέσο της

και , να υπολογίσετε το λόγο .

Καλησπέρα.

Δίνεται τετράγωνο πλευράς .

Στη προέκταση της , προς το , θεωρώ σημείο τέτοιο ώστε .

Βρείτε το μέτρο της γωνίας .

Στο παραπάνω σχήμα το είναι τετράγωνο και το σημείο κέντρο του

έγκυκλου του τριγώνου . Αν , να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας .

2.png Γράφω τον περίκυκλο του τριγώνου $ABC$ του οποίου το κέντρο ονομάζω $O$. Εύκολα βρίσκω ότι $\angle OBC=\angle BCO=20^{0}$. Οπότε τα τρίγωνα $BSC, COB$ είναι ίσα. Άρα $OB=BS (1)$. Όμως το τρίγωνο $OBA$ είναι ισόπλευρο (αφού $\angle ACB=30^{0}$). Συνεπώς $OB=BA (2)$. Από την $(1)$ και $(2)$ έχω...