Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με και το ύψος του .
Αν για τυχαίο σημείο του ύψους ισχύει ότι ,
δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

50 (2).png Η απόδειξη του λήμματος. Στο ισοσκελές τρίγωνο $DOB$ θα δείξω ότι $\angle KDO=18^{0}$. Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $DPO$. Το τρίγωνο $POB$ είναι ισοσκελές με $\angle OBP=36^{0}$. Οπότε η $BK$ εάν προεκταθεί θα διέλθει από το $P$. Επειδή $\angle BPO=36^{0}$ και το τρίγωνο $KPO$ είναι...

49.png Ο πατέρας μου έλεγε: <<οι καλύτερες δουλειές αγόρι μου είναι οι δύσκολες δουλειές>> . Γράφω τον περίκυκλο του $\triangle BDC$ του οποίου το κέντρο ονομάζω $O$ και φέρνω τα τμήματα $OB, OD, OC$. Οι μπλέ γωνίες προκύπτουν εύκολα. Στη συνέχεια γράφω τον περίκυκλο του $\triangle BCO$ του οποίου ...

Δεν νομίζω Μπάμπη να υπάρχει στις δημοσιεύσεις του Μιχάλη.
Απ' ότι βλέπω στο fb παραμένει άλυτη.

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας .

Κύκλος εφάπτεται των πλευρών τετραγώνου πλευράς και
διέρχεται από την κορυφή του ισόπλευρου τριγώνου .
Να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου.

Το τετράπλευρο του σχήματος είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
και μάλιστα τέτοιο ώστε . Αν τα σημεία είναι σημεία επαφής
του ημικύκλιου διαμέτρου , να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας .

Το τετράπλευρο του σχήματος είναι τετράγωνο και το μέσο της .
Δείξτε ότι .

Στο παραπάνω ημικύκλιο διαμέτρου , τα μπλε τμήματα είναι ίσα.
Δείξτε ότι τα κόκκινα τμήματα είναι επίσης ίσα.

Από την ισότητα των τριγώνων έπεται ότι .

Καλησπέρα . Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες $(\varepsilon )$ και $(\eta )$, σημείο $A$ της $(\varepsilon )$ και σημείο $B$ στο ημιεπίπεδο της $(\varepsilon )$ που δεν περιέχει την $(\eta )$. Φέρτε ευθεία από το $B$ που τέμνει τις $(\varepsilon ), (\eta )$ στα $C, D$ αντίστοιχα ώστε $AC=CD$ ή ώστε $...

Είναι , ,
αφού διάμεσοι των τριγώνων .
Αλλά
.

Το τρίγωνο του σχήματος είναι ισοσκελές .
Βρείτε το μέτρο της γωνίας .

10.png Φέρνω τα κόκκινα τμήματα. Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν εύκολα. Παρατηρώ ότι το $ADPZ$ είναι εγγράψιμο$\Rightarrow \angle APZ=58^{0}\Rightarrow ZPCB$ εγγράψιμο. Έστω $\angle PBZ=\theta$ . Από το εγγράψιμο $ADCB$ έπεται ότι $\angle DCA=\theta$ . Αλλά και από το εγγράψιμο $PCBZ$ έπεται ότι $\a...

Από το τρίγωνο έχω .
Επίσης από το ίδιο τρίγωνο έχω .
Προφανώς .
Όμως .

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω τετράπλευρο , ζητείται το μέτρο της γωνίας .

Χρόνια πολλά και καλά σ΄όλους τους εορτάζοντες.

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα είναι και .
Δείξτε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Σημείωση: Το παρόν προέκυψε από την επίλυση άλλου θέματος.