Η αναζήτηση βρήκε 2722 εγγραφές

από achilleas
Δευ Μάιος 23, 2022 9:30 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Seemous 2014
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1388

Re: Seemous 2014

Δείτε εδώ.
από achilleas
Τετ Μάιος 18, 2022 7:47 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Γινόμενο ριζών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 216

Re: Γινόμενο ριζών

20 Μαρία- Ελένη, καλώς όρισες στο mathematica. Σύμφωνα με τον κανονισμό μας , "Διαδικτυακός τόπος mathematica Οδηγίες-Δεοντολογία", σελ. 8: "16. Κάθε άσκηση περιμένει μία ολοκληρωμένη απάντηση. Μη στέλνετε ελλιπείς απαντήσεις, υποδείξεις ή μόνο το αποτέλεσμα ....." Θα χαρούμε να διαβάσουμε την αναλ...
από achilleas
Τετ Μάιος 11, 2022 7:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών
Θέμα: Ἐξίσωση χωρὶς λύσεις
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 201

Re: Ἐξίσωση χωρὶς λύσεις

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δείξατε ὅτι δὲν ὑπάρχουν θετικοὶ ἀκέραιοι $m,n$ γιὰ τοὺς ὁποίους νὰ ἰσχύει ὅτι $\displaystyle{ \lfloor m\sqrt{2}\rfloor =\lfloor n\sqrt{2}\rfloor +2n. }$ Η εξίσωση γράφεται $\lfloor m\sqrt{2}\rfloor =\lfloor n(\sqrt{2}+2)\rfloor $. Ο ισχυρισμός έπεται από το Θεώρημα Beatty με $a=\sqrt{2}$...
από achilleas
Τετ Μάιος 11, 2022 12:04 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Παραλλαγή!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 237

Re: Παραλλαγή!

Demetres έγραψε:
Τρί Μάιος 10, 2022 11:34 pm
... Θεωρώ ότι η μορφή που επιλέχθηκε είναι πιο δύσκολη από αυτή.
Ναι, Δημήτρη, συμφωνώ.

Η τελική επιλογή σας αντί της παραπάνω εκδοχής ήταν σοφή επιλογή.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Δευ Μάιος 09, 2022 9:34 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2022
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1938

Re: BMO 2022

Θερμά συγχαρητήρια σε ολόκληρη την αποστολή! Μπράβο στα παιδιά! Μπράβο στο Θάνο και τον Αλέξανδρο! Η ομάδα αυτή έχει λαμπρό μέλλον, αφού τα περισσότερα μέλη της θα έχουν τη δυνατότητα να εκπροσωπήσουν τη χώρα μας και σε επόμενους μαθηματικούς διαγωνισμούς. Στην 40η Βαλκανιάδα του χρόνου, θα πιάσουν ...
από achilleas
Δευ Μάιος 09, 2022 9:13 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Παραλλαγή!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 237

Re: Παραλλαγή!

Έστω $P(x,y)$ η δοθείσα σχέση. H $P(1,0)$ δίνει $f(1)=f(0)+f(1)$, οπότε $\boxed{f(0)=0}$. Αν υπάρχει $a\ne 0$ τέτοιο ώστε $f(a)=0$ , τότε η $P(a,y)$ δίνει $0=f(a)=a^3f(y)$, οπότε $f(y)=0$ για κάθε $y\in \mathbb{R}$. Η μηδενική συνάρτηση αποτελεί λύση της δοθείσας εξίσωσης. Έστω $f(a)\ne 0$ για κάθε ...
από achilleas
Σάβ Μάιος 07, 2022 9:25 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2022
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1938

Re: BMO 2022

Μέχρι να δούμε περισσότερες λύσεις, ας σημειώσουμε ότι τα θέματα στο AoPS είναι διαθέσιμα εδώ για εύκολη μετάβαση και σύγκριση των ιδεών. Δύο από Ελλάδα :) και δύο από UK. Ας μου επιτραπεί να πω ότι τα θέματα του Σιλουανού και του Ιάσονα είναι τα καλύτερα. :) Τα άλλα δύο, όπως προκύπτει, είναι "γνωσ...
από achilleas
Παρ Μάιος 06, 2022 9:00 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2022
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1938

Re: BMO 2022

Πρόβλημα 1. Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο τέτοιο, ώστε $CA \neq CB$ με περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$ κέντρου $O$. Έστω $t_A$ και $t_B$ οι εφαπτομένες του $\omega$ στα σημεία $A$ και $B$ αντίστοιχα, οι οποίες τέμνονται στο $X$. Έστω $Y$ το ίχνος της καθέτου από το σημείο $O$ στο ευθύγραμμο τμήμα $...
από achilleas
Τετ Απρ 27, 2022 8:51 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Προετοιμασία για φοιτητικούς διαγωνισμούς
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 2311

Re: Προετοιμασία για φοιτητικούς διαγωνισμούς

Ένα ακόμα βιβλίο που ίσως να είναι χρήσιμο για προβλήματα και ιδέες για διαγωνισμούς: "Problems in Mathematical Analysis" από τους Biler, Witkowski Έχει πολύ μεγάλο εύρος δυσκολίας και δεν είναι αποκλεισικά και μόνο για διαγωνισμούς. Το μόνο αρνητικό... ακόμα κλαίω τα λεφτά που έδωσα το 93 στους Ma...
από achilleas
Παρ Απρ 22, 2022 4:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Απώλεια εκλεκτού συναδέλφου
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 2911

Re: Απώλεια εκλεκτού συναδέλφου

Η πρώτη μου επικοινωνία με τον Βαγγέλη ήταν ένα μήνυμα του στις 9 Απριλίου 2016 στο messenger. Η τελευταία ήταν ακριβώς έξι χρόνια μετά, στις 9 Απριλίου 2022, πάλι μέσω messenger. Θα θυμάμαι με εκτίμηση τις συζητήσεις μας, όπως αυτές στην Λεπτοκαρυά, οι οποίες ήταν πάντοτε ενδιαφέρουσες. Ντόμπρος άν...
από achilleas
Σάβ Μαρ 12, 2022 8:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουσες ευθείες
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 196

Συντρέχουσες ευθείες

Έστω $\triangle ABC$ ένα τρίγωνο με $AB\ne BC$ και έστω $\omega$ o περιγεγραμμένος κύκλος του. Έστω $N$ σημείο του $\omega$ ώστε η ευθεία $AN$ να διχοτομεί την πλευρά $AC$, έστω $H$ το ορθόκεντρο του $\triangle ABC$ και $D$ σημείο του $\omega$ ώστε $B\widehat{D}H=90^\circ$. Έστω σημείο $K$ τέτοιο ώσ...
από achilleas
Πέμ Μαρ 10, 2022 9:28 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σύστημα εξισώσεων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 178

Σύστημα εξισώσεων

Να λυθεί το σύστημα

\displaystyle  
\begin{cases} 
3a+7b+14c=252,\\ 
abc-d^2=2016\\ 
\end{cases}

για μη-αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c,d.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Πέμ Μαρ 10, 2022 9:14 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 311

Τέλειο τετράγωνο

Έστω ότι ο n είναι θετικός ακέραιος ώστε n^2+(4\lambda-1)n+\lambda^2=0 για κάποιο ακέραιο αριθμό \lambda. Να δειχθεί ότι ο n είναι τέλειο τετράγωνο.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Πέμ Μαρ 10, 2022 9:03 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ταυτότητα υπό συνθήκη
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 280

Ταυτότητα υπό συνθήκη

Έστω πραγματικοί αριθμοί a,b τέτοιοι ώστε a^2+b^2=a^2b^2. Να δειχθεί ότι

\displaystyle  
\frac{a^7}{(1-a)^2}-\frac{a^7}{(1+a)^2}=\frac{b^7}{(1-b)^2}-\frac{b^7}{(1+b)^2}.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Μαρ 09, 2022 8:24 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Αριθμός δυνατών τιμών όρου ακολουθίας
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 286

Αριθμός δυνατών τιμών όρου ακολουθίας

Έστω μια ακολουθία (a_n) θετικών αριθμών με a_1=1 και

\displaystyle  
a_{n+1}+a_n=\left(a_{n+1}-a_n\right)^2,

για κάθε n\geq 1. Να προσδιορισθεί το πλήθος των δυνατών τιμών του a_{2021}.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Κυρ Μαρ 06, 2022 8:07 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Μία εξίσωση με τρεις αγνώστους
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 127

Re: Μία εξίσωση με τρεις αγνώστους

Αν $\displaystyle{(x+ay)(ax+y)(x^2 y^2 +a^2 )=8a^2 x^2 y^2}$, με $\displaystyle{a , x , y > 0}$, να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{a , x , y}$ Από την ανισότητα Αριθμητικού Μέσου-Γεωμετρικού Μέσου έχουμε $8a^2 x^2 y^2=(x+ay)(ax+y)(x^2 y^2 +a^2)\geq 2\sqrt{xay}\cdot 2\sqrt{axy}\cdot 2xya=8a^2x^2y...
από achilleas
Παρ Μαρ 04, 2022 8:49 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 216

Ανισότητα

Να βρεθούν όλες οι τιμές του ακέραιου αριθμού $n\geq 3$ για τις οποίες αληθεύει ο παρακάτω ισχυρισμός: Αν $x_1,x_2,\dots,x_n$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $x_1+x_2+\cdots+x_n=n$, τότε ισχύει $\displaystyle \frac{x_2}{\sqrt{x_1+2x_3}}+\frac{x_3}{\sqrt{x_2+2x_4}}+\cdots+\frac{x_n}{\sqrt{x_{n-1...
από achilleas
Παρ Μαρ 04, 2022 8:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 207

Συναρτησιακή εξίσωση

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} για τις οποίες ισχύει f(xf(y)+y^2)=f((x+y)^2)-xf(x) για κάθε x, y\in \mathbb{R}.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Παρ Μαρ 04, 2022 8:39 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τιμή συνάρτησης
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 184

Τιμή συνάρτησης

Έστω συνάρτηση f: \mathbb{N}\to\mathbb{N} τέτοια ώστε για οποιουσδήποτε ακέραιους αριθμούς a,b\geq 4 να ισχύει f(ab)=f(a+b). Αν f(2021)=2022, να βρεθεί η τιμή f(2022).

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Παρ Μαρ 04, 2022 12:21 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τριγωνομετρική ανίσωση από τριγωνομετρική ανίσωση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 117

Re: Τριγωνομετρική ανίσωση από τριγωνομετρική ανίσωση

Αν $a,b,c $ γωνίες στο πρώτο τεταρτημόριο και αν $\cos a \cos b \ge \cos ^2 c$ δείξτε ότι ισχύει $\sin a \sin b \le \sin ^2 c$. Η άσκηση είναι με αφορμή το θρεντ εδώ . Ας υποθέσουμε, με απαγωγή σε άτοπο, ότι $\sin a \sin b > \sin ^2 c$. Τότε, θα είναι $\cos a \cos b + \sin a \sin b >\cos ^2 c+\sin^...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση