Δείτε εδώ.

20 Μαρία- Ελένη, καλώς όρισες στο mathematica. Σύμφωνα με τον κανονισμό μας , "Διαδικτυακός τόπος mathematica Οδηγίες-Δεοντολογία", σελ. 8: "16. Κάθε άσκηση περιμένει μία ολοκληρωμένη απάντηση. Μη στέλνετε ελλιπείς απαντήσεις, υποδείξεις ή μόνο το αποτέλεσμα ....." Θα χαρούμε να διαβάσουμε την αναλ...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δείξατε ὅτι δὲν ὑπάρχουν θετικοὶ ἀκέραιοι $m,n$ γιὰ τοὺς ὁποίους νὰ ἰσχύει ὅτι $\displaystyle{ \lfloor m\sqrt{2}\rfloor =\lfloor n\sqrt{2}\rfloor +2n. }$ Η εξίσωση γράφεται $\lfloor m\sqrt{2}\rfloor =\lfloor n(\sqrt{2}+2)\rfloor $. Ο ισχυρισμός έπεται από το Θεώρημα Beatty με $a=\sqrt{2}$...

Demetres έγραψε: ↑

Τρί Μάιος 10, 2022 11:34 pm

... Θεωρώ ότι η μορφή που επιλέχθηκε είναι πιο δύσκολη από αυτή.

Ναι, Δημήτρη, συμφωνώ.

Η τελική επιλογή σας αντί της παραπάνω εκδοχής ήταν σοφή επιλογή.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Θερμά συγχαρητήρια σε ολόκληρη την αποστολή! Μπράβο στα παιδιά! Μπράβο στο Θάνο και τον Αλέξανδρο! Η ομάδα αυτή έχει λαμπρό μέλλον, αφού τα περισσότερα μέλη της θα έχουν τη δυνατότητα να εκπροσωπήσουν τη χώρα μας και σε επόμενους μαθηματικούς διαγωνισμούς. Στην 40η Βαλκανιάδα του χρόνου, θα πιάσουν ...

Έστω $P(x,y)$ η δοθείσα σχέση. H $P(1,0)$ δίνει $f(1)=f(0)+f(1)$, οπότε $\boxed{f(0)=0}$. Αν υπάρχει $a\ne 0$ τέτοιο ώστε $f(a)=0$ , τότε η $P(a,y)$ δίνει $0=f(a)=a^3f(y)$, οπότε $f(y)=0$ για κάθε $y\in \mathbb{R}$. Η μηδενική συνάρτηση αποτελεί λύση της δοθείσας εξίσωσης. Έστω $f(a)\ne 0$ για κάθε ...

Μέχρι να δούμε περισσότερες λύσεις, ας σημειώσουμε ότι τα θέματα στο AoPS είναι διαθέσιμα εδώ για εύκολη μετάβαση και σύγκριση των ιδεών. Δύο από Ελλάδα :) και δύο από UK. Ας μου επιτραπεί να πω ότι τα θέματα του Σιλουανού και του Ιάσονα είναι τα καλύτερα. :) Τα άλλα δύο, όπως προκύπτει, είναι "γνωσ...

Πρόβλημα 1. Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο τέτοιο, ώστε $CA \neq CB$ με περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$ κέντρου $O$. Έστω $t_A$ και $t_B$ οι εφαπτομένες του $\omega$ στα σημεία $A$ και $B$ αντίστοιχα, οι οποίες τέμνονται στο $X$. Έστω $Y$ το ίχνος της καθέτου από το σημείο $O$ στο ευθύγραμμο τμήμα $...

Ένα ακόμα βιβλίο που ίσως να είναι χρήσιμο για προβλήματα και ιδέες για διαγωνισμούς: "Problems in Mathematical Analysis" από τους Biler, Witkowski Έχει πολύ μεγάλο εύρος δυσκολίας και δεν είναι αποκλεισικά και μόνο για διαγωνισμούς. Το μόνο αρνητικό... ακόμα κλαίω τα λεφτά που έδωσα το 93 στους Ma...

Η πρώτη μου επικοινωνία με τον Βαγγέλη ήταν ένα μήνυμα του στις 9 Απριλίου 2016 στο messenger. Η τελευταία ήταν ακριβώς έξι χρόνια μετά, στις 9 Απριλίου 2022, πάλι μέσω messenger. Θα θυμάμαι με εκτίμηση τις συζητήσεις μας, όπως αυτές στην Λεπτοκαρυά, οι οποίες ήταν πάντοτε ενδιαφέρουσες. Ντόμπρος άν...

Έστω $\triangle ABC$ ένα τρίγωνο με $AB\ne BC$ και έστω $\omega$ o περιγεγραμμένος κύκλος του. Έστω $N$ σημείο του $\omega$ ώστε η ευθεία $AN$ να διχοτομεί την πλευρά $AC$, έστω $H$ το ορθόκεντρο του $\triangle ABC$ και $D$ σημείο του $\omega$ ώστε $B\widehat{D}H=90^\circ$. Έστω σημείο $K$ τέτοιο ώσ...

Να λυθεί το σύστημα



για μη-αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Έστω ότι ο είναι θετικός ακέραιος ώστε για κάποιο ακέραιο αριθμό . Να δειχθεί ότι ο είναι τέλειο τετράγωνο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Έστω πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε . Να δειχθεί ότι



Φιλικά,

Αχιλλέας

Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών με και



για κάθε . Να προσδιορισθεί το πλήθος των δυνατών τιμών του .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αν $\displaystyle{(x+ay)(ax+y)(x^2 y^2 +a^2 )=8a^2 x^2 y^2}$, με $\displaystyle{a , x , y > 0}$, να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{a , x , y}$ Από την ανισότητα Αριθμητικού Μέσου-Γεωμετρικού Μέσου έχουμε $8a^2 x^2 y^2=(x+ay)(ax+y)(x^2 y^2 +a^2)\geq 2\sqrt{xay}\cdot 2\sqrt{axy}\cdot 2xya=8a^2x^2y...

Να βρεθούν όλες οι τιμές του ακέραιου αριθμού $n\geq 3$ για τις οποίες αληθεύει ο παρακάτω ισχυρισμός: Αν $x_1,x_2,\dots,x_n$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $x_1+x_2+\cdots+x_n=n$, τότε ισχύει $\displaystyle \frac{x_2}{\sqrt{x_1+2x_3}}+\frac{x_3}{\sqrt{x_2+2x_4}}+\cdots+\frac{x_n}{\sqrt{x_{n-1...

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει για κάθε .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Έστω συνάρτηση τέτοια ώστε για οποιουσδήποτε ακέραιους αριθμούς να ισχύει . Αν , να βρεθεί η τιμή .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αν $a,b,c $ γωνίες στο πρώτο τεταρτημόριο και αν $\cos a \cos b \ge \cos ^2 c$ δείξτε ότι ισχύει $\sin a \sin b \le \sin ^2 c$. Η άσκηση είναι με αφορμή το θρεντ εδώ . Ας υποθέσουμε, με απαγωγή σε άτοπο, ότι $\sin a \sin b > \sin ^2 c$. Τότε, θα είναι $\cos a \cos b + \sin a \sin b >\cos ^2 c+\sin^...