EGMO 2024 - Tskaltubo, Γεωργία 2η μέρα - 14 Απριλίου 2024 Πρόβλημα 4. Για μια ακολουθία $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ ακέραιων αριθμών, ένα ζεύγος $(a_i, a_j)$ με $1 \le i < j \le n$ ονομάζεται ενδιαφέρον εάν υπάρχει ζεύγος $(a_k, a_\ell)$ με $1 \le k < \ell \le n$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{\frac {a...

Πρόβλημα 2. Δίνεται ένα τρίγωνο $ABC$ με $AC>AB$, ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\Omega$ και το έγκεντρο του $I$. Έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές του $BC,CA,AB$ στα σημεία $D,E,F$, αντίστοιχα. Έστω $X$ και $Y$ δύο σημεία στα μικρά τόξα $\wideparen{DF}$ και $\widep...

Πρόβλημα 1. Δύο διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί $u$ και $v$ είναι γραμμένοι σε έναν πίνακα. Εκτελούμε μια ακολουθία βημάτων. Σε κάθε βήμα κάνουμε μια από τις ακόλουθες δύο ενέργειες: (i) Εάν οι $a$ και $b$ είναι διαφορετικοί αριθμοί στον πίνακα, τότε μπορούμε να γράψουμε τον $a+b$ στον πίνακα, αν δεν...

EGMO 2024 - Tskaltubo, Γεωργία 1η μέρα - 13 Απριλίου 2024 Πρόβλημα 1. Δύο διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί $u$ και $v$ είναι γραμμένοι σε έναν πίνακα. Εκτελούμε μια ακολουθία βημάτων. Σε κάθε βήμα κάνουμε μια από τις ακόλουθες δύο ενέργειες: (i) Εάν οι $a$ και $b$ είναι διαφορετικοί αριθμοί στον πίνακ...

Αποτελέσματα Μικρών εδώ.

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους!

Αποτελέσματα Μεγάλων εδώ.

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους!

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο με και . Έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζίου και έστω το μέσο της πλευράς . Έστω το δεύτερο σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με την πλευρά (). Να δείξετε ότι .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Τα θέματα και οι επίσημες λύσεις έχουν δημοσιευθεί στο τεύχος 128 (Μάιος-Ιούνιος-Ιούλιος 2023) του Ευκλείδη Α . ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ 18 ΜΑΡΤΙΟΥ 2023. Πρόβλημα 1 Μία τάξη έχει 24 μαθητές. Κάθε τριάδα μαθητών συνεδριάζει και αποφασίζει να πάρει ένα δώρο σε κάποιον μαθητή Α από τους υπόλοιπους. Τότε ο Α ...

Δίνεται παραλληλόγραμμο $ABCD$ και σημείο $E$ στην προέκταση της πλευράς $AB$ προς το $B$ τέτοιο ώστε $BE=BC$. Έστω $X$ το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του τμήματος $AE$ με την ευθεία που διέρχεται από το $A$ και είναι κάθετη στην ευθεία $CE$. Να δείξετε ότι τα σημεία $A$, $B$, $D$, και $X$ είναι ομ...

Έστω $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ μια γνησίως αύξουσα ακολουθία μη αρνητικών πραγματικών αρθμών τέτοια ώστε να ισχύει η ανισότητα $\displaystyle{ a_n(a_n-2a_{n-1})+a_{n-1}(a_{n-1}-2a_{n-2})\geq 0 }$ για κάθε $n\geq 3$. Να δειχθεί ότι για κάθε $n\geq 2$ ισχύει η ανισότητα $\displaystyle{ a_n \geq a_{n-1}+a...

Δείτε τα αποτελέσματα εδώ.

alex009 έγραψε: ↑

Τετ Φεβ 28, 2024 10:22 am

Καλημέρα. Οι λύσεις θα ανακοινωθούν μαζί με τα αποτελέσματα?

Δείτε τις ενδεικτικές λύσεις της ΕΜΕ εδώ.

Δείτε, επίσης, τα θέματα του Λυκείου και προτεινόμενες λύσεις σε αυτά στο AoPS εδώ.

mick7 έγραψε: ↑

Τρί Φεβ 27, 2024 2:25 pm

Εαν για τους μη αρνητικούς αριθμούς ισχύει δείξτε ότι

Έχουμε , απ'όπου έπεται το συμπέρασμα.

Σχετικά με το 4ο θέμα του Γυμνασίου: Παρακαλώ δείτε αν η παρακάτω λύση είναι σωστή, δεν είμαι μαθηματικός οπότε δείξτε επιείκεια! ... Η ιδέα είναι σωστή, η λύση έχει κάποιες ελλείψεις για να θεωρηθεί πλήρης (π.χ. γιατί $\Delta\geq 0$ κτλ). Να επισημάνω ότι δεν ψάχνουμε όλες τις ακέραιες λύσεις της ...

Λύση 4ου θέματος Γυμνασίου: x²+y²+z²+xy+yz+zx=6xyz→x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz-xy-yz-zx=6xyz→(x+y+z)²=6xyz+xy+yz+zx (1) Επειδή (x+y+z)²≥3(xy+yz+zx) (2) Από την (1) και (2) συνεπάγεται ότι 6xyz+xy+yz+zx≥3(xy+yz+zx)→6xyz≥2(xy+yz+zx)→3xyz≥xy+yz+zx→3≥(1/x)+(1/y)+(1/z) το οποίο αληθεύει για άπειρες τριάδες θετ...

SmbdTLv έγραψε: ↑

Κυρ Φεβ 25, 2024 7:42 pm

Εντέλει το 4 των μικρών πως λύνεται;

Δες μια λύση στο #11.

Καλησπέρα! Μπορεί κάποιος να μου πει εάν στέκει μαθηματικά η λύση μου στο 3ο πρόβλημα των μεγάλων; Πρόβλημα 3ο ....Έτσι, προκύπτει ότι $p = \lvert A \rvert * \lvert B \rvert * \lvert B \rvert = \lvert A \rvert * {\lvert B \rvert}^{2}$. ... Όχι, δεν ισχύει η παραπάνω σχέση. Φιλικά, Αχιλλέας

Παπαδόπουλος Κώστας έγραψε: ↑

Τρί Φεβ 06, 2024 3:57 pm

Καλησπέρα! Υπάρχει κάποια ενημέρωση για το πότε θα βγουν τα αποτελέσματα;

Δείτε εδώ.

Μια λύση για το 4ο Πρόβλημα της Β Λυκείου , εμπνευσμένη από ημιτελή λύση διαγωνιζόμενου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4. Από όλα τα ζεύγη θετικών ακέραιων $(m,n)$ που ικανοποιούν τη εξίσωση $\displaystyle{\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{2024}}$, να βρείτε το ζεύγος με το μικρότερο δυνατό $m$. Λύση . Έστω το ζητούμε...

Σωτήρη, τυγχάνει να γνωρίζω πολύ καλά ότι γνώριζαν τη γενίκευση στην οποία παραπέμπει ο Κώστας παραπάνω με χρήση του Θ. Μενελάου, γι'αυτό και υπήρχε ο 3ος τρόπος λύσεων. Οι ενδεικτικές λύσεις ετοιμάστηκαν πριν την ημέρα του διαγωνισμού. Η επιλογή ενός απλούστερου προβλήματος για το διαγωνισμό δεν έγ...