Η αναζήτηση βρήκε 2847 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Κυρ Απρ 14, 2024 12:59 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: EGMO2024
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 678
Re: EGMO2024
EGMO 2024 - Tskaltubo, Γεωργία 2η μέρα - 14 Απριλίου 2024 Πρόβλημα 4. Για μια ακολουθία $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ ακέραιων αριθμών, ένα ζεύγος $(a_i, a_j)$ με $1 \le i < j \le n$ ονομάζεται ενδιαφέρον εάν υπάρχει ζεύγος $(a_k, a_\ell)$ με $1 \le k < \ell \le n$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{\frac {a...
- Σάβ Απρ 13, 2024 5:47 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: EGMO2024
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 678
Re: EGMO2024
Πρόβλημα 2. Δίνεται ένα τρίγωνο $ABC$ με $AC>AB$, ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\Omega$ και το έγκεντρο του $I$. Έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές του $BC,CA,AB$ στα σημεία $D,E,F$, αντίστοιχα. Έστω $X$ και $Y$ δύο σημεία στα μικρά τόξα $\wideparen{DF}$ και $\widep...
- Σάβ Απρ 13, 2024 5:32 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: EGMO2024
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 678
Re: EGMO2024
Πρόβλημα 1. Δύο διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί $u$ και $v$ είναι γραμμένοι σε έναν πίνακα. Εκτελούμε μια ακολουθία βημάτων. Σε κάθε βήμα κάνουμε μια από τις ακόλουθες δύο ενέργειες: (i) Εάν οι $a$ και $b$ είναι διαφορετικοί αριθμοί στον πίνακα, τότε μπορούμε να γράψουμε τον $a+b$ στον πίνακα, αν δεν...
- Σάβ Απρ 13, 2024 1:09 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: EGMO2024
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 678
EGMO2024
EGMO 2024 - Tskaltubo, Γεωργία 1η μέρα - 13 Απριλίου 2024 Πρόβλημα 1. Δύο διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί $u$ και $v$ είναι γραμμένοι σε έναν πίνακα. Εκτελούμε μια ακολουθία βημάτων. Σε κάθε βήμα κάνουμε μια από τις ακόλουθες δύο ενέργειες: (i) Εάν οι $a$ και $b$ είναι διαφορετικοί αριθμοί στον πίνακ...
- Τετ Απρ 10, 2024 9:33 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Προκριματικός 2024
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 1652
- Δευ Απρ 08, 2024 10:39 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Προκριματικός 2024
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 1652
- Τρί Απρ 02, 2024 8:41 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Παραλληλία σε ισοσκελές τραπέζιο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 248
Παραλληλία σε ισοσκελές τραπέζιο
Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο με και . Έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζίου και έστω το μέσο της πλευράς . Έστω το δεύτερο σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με την πλευρά (). Να δείξετε ότι .
Φιλικά,
Αχιλλέας
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Δευ Απρ 01, 2024 9:08 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Προκριματικός 2023
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 2023
Re: Προκριματικός 2023
Τα θέματα και οι επίσημες λύσεις έχουν δημοσιευθεί στο τεύχος 128 (Μάιος-Ιούνιος-Ιούλιος 2023) του Ευκλείδη Α . ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ 18 ΜΑΡΤΙΟΥ 2023. Πρόβλημα 1 Μία τάξη έχει 24 μαθητές. Κάθε τριάδα μαθητών συνεδριάζει και αποφασίζει να πάρει ένα δώρο σε κάποιον μαθητή Α από τους υπόλοιπους. Τότε ο Α ...
- Δευ Μαρ 25, 2024 9:53 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 512
Ομοκυκλικά σημεία
Δίνεται παραλληλόγραμμο $ABCD$ και σημείο $E$ στην προέκταση της πλευράς $AB$ προς το $B$ τέτοιο ώστε $BE=BC$. Έστω $X$ το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του τμήματος $AE$ με την ευθεία που διέρχεται από το $A$ και είναι κάθετη στην ευθεία $CE$. Να δείξετε ότι τα σημεία $A$, $B$, $D$, και $X$ είναι ομ...
- Δευ Μαρ 18, 2024 9:41 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Ανισότητα και ακολουθία
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 295
Ανισότητα και ακολουθία
Έστω $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ μια γνησίως αύξουσα ακολουθία μη αρνητικών πραγματικών αρθμών τέτοια ώστε να ισχύει η ανισότητα $\displaystyle{ a_n(a_n-2a_{n-1})+a_{n-1}(a_{n-1}-2a_{n-2})\geq 0 }$ για κάθε $n\geq 3$. Να δειχθεί ότι για κάθε $n\geq 2$ ισχύει η ανισότητα $\displaystyle{ a_n \geq a_{n-1}+a...
- Τρί Μαρ 05, 2024 9:21 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 17706
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Δείτε τα αποτελέσματα εδώ.
- Τετ Φεβ 28, 2024 7:49 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 17706
- Τρί Φεβ 27, 2024 3:08 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
- Θέμα: Ανισότητα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 189
- Τρί Φεβ 27, 2024 7:59 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 17706
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Σχετικά με το 4ο θέμα του Γυμνασίου: Παρακαλώ δείτε αν η παρακάτω λύση είναι σωστή, δεν είμαι μαθηματικός οπότε δείξτε επιείκεια! ... Η ιδέα είναι σωστή, η λύση έχει κάποιες ελλείψεις για να θεωρηθεί πλήρης (π.χ. γιατί $\Delta\geq 0$ κτλ). Να επισημάνω ότι δεν ψάχνουμε όλες τις ακέραιες λύσεις της ...
- Δευ Φεβ 26, 2024 10:34 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 17706
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Λύση 4ου θέματος Γυμνασίου: x²+y²+z²+xy+yz+zx=6xyz→x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz-xy-yz-zx=6xyz→(x+y+z)²=6xyz+xy+yz+zx (1) Επειδή (x+y+z)²≥3(xy+yz+zx) (2) Από την (1) και (2) συνεπάγεται ότι 6xyz+xy+yz+zx≥3(xy+yz+zx)→6xyz≥2(xy+yz+zx)→3xyz≥xy+yz+zx→3≥(1/x)+(1/y)+(1/z) το οποίο αληθεύει για άπειρες τριάδες θετ...
- Κυρ Φεβ 25, 2024 8:34 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 17706
- Σάβ Φεβ 24, 2024 8:29 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 17706
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Καλησπέρα! Μπορεί κάποιος να μου πει εάν στέκει μαθηματικά η λύση μου στο 3ο πρόβλημα των μεγάλων; Πρόβλημα 3ο ....Έτσι, προκύπτει ότι $p = \lvert A \rvert * \lvert B \rvert * \lvert B \rvert = \lvert A \rvert * {\lvert B \rvert}^{2}$. ... Όχι, δεν ισχύει η παραπάνω σχέση. Φιλικά, Αχιλλέας
- Τρί Φεβ 06, 2024 10:25 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
- Απαντήσεις: 87
- Προβολές: 8213
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Δείτε εδώ.Παπαδόπουλος Κώστας έγραψε: ↑Τρί Φεβ 06, 2024 3:57 pmΚαλησπέρα! Υπάρχει κάποια ενημέρωση για το πότε θα βγουν τα αποτελέσματα;
- Τρί Ιαν 30, 2024 9:51 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
- Απαντήσεις: 87
- Προβολές: 8213
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Μια λύση για το 4ο Πρόβλημα της Β Λυκείου , εμπνευσμένη από ημιτελή λύση διαγωνιζόμενου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4. Από όλα τα ζεύγη θετικών ακέραιων $(m,n)$ που ικανοποιούν τη εξίσωση $\displaystyle{\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{2024}}$, να βρείτε το ζεύγος με το μικρότερο δυνατό $m$. Λύση . Έστω το ζητούμε...
- Σάβ Ιαν 27, 2024 5:58 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Πρόβλημα Γεωμετρίας
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 658
Re: Πρόβλημα Γεωμετρίας
Σωτήρη, τυγχάνει να γνωρίζω πολύ καλά ότι γνώριζαν τη γενίκευση στην οποία παραπέμπει ο Κώστας παραπάνω με χρήση του Θ. Μενελάου, γι'αυτό και υπήρχε ο 3ος τρόπος λύσεων. Οι ενδεικτικές λύσεις ετοιμάστηκαν πριν την ημέρα του διαγωνισμού. Η επιλογή ενός απλούστερου προβλήματος για το διαγωνισμό δεν έγ...