Η αναζήτηση βρήκε 2653 εγγραφές

από achilleas
Παρ Ιούλ 23, 2021 11:38 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Σύστημα στους ακέραιους και αναζήτηση λύσεων !
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 202

Re: Σύστημα στους ακέραιους και αναζήτηση λύσεων !

.... Μου έδωσε μάλιστα μια τέτοια λύση $(41,12,39,31)$ που και αυτού την έδωσε ο συντάκτης του προβλήματος, αλλά και αυτός αναρωτιέται πώς και με πόσες δοκιμές μπορεί να φτάσει κανείς σε αυτή. ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΟ $\mathbb Z$ (a) $x^2+5y^2=z^2 $ (b) $x^2-5y^2=w^2$ ... Μια σωστή λύση είναι η $(x,y,z,w)=(41,1...
από achilleas
Παρ Ιούλ 23, 2021 9:16 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2021
Απαντήσεις: 79
Προβολές: 8410

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2021

Πρόβλημα 4. Έστω $\mathbb{N}$ το σύνολο των φυσικών αριθμών και $\mathbb{N}^*=\mathbb{N}-\{0\}$ το σύνολο των μη μηδενικών φυσικών αριθμών. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}$ οι οποίες ικανοποιούν και τις τρεις συνθήκες: (α) $f(n)\ne 0$ για ένα τουλάχιστον $n\in \m...
από achilleas
Παρ Ιούλ 23, 2021 8:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ 2021
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 886

Re: ΙΜΟ 2021

Επικροτώ και επαυξάνω! [Ο δεύτερος Ρώσος είναι αυτός που πήρε 5 μονάδες -- ο μόνος διαγωνιζόμενος μ' αυτό το αποτέλεσμα στο P2! (Είδα λίγο και τα σχόλια, το τέχνασμα με τον συζυγή το είχα σκεφθεί αλλά δεν το 'πίστεψα'. Το μυαλό μου έφυγε σε άλλες κατευθύνσεις, όπως διακρίνουσα (!) κάποιας μυστηριώδ...
από achilleas
Παρ Ιούλ 23, 2021 7:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ 2021
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 886

Re: ΙΜΟ 2021

Θερμά συγχαρητήρια, στον δικό μας Ορέστη ιδίως, για την προσπάθεια και το αποτέλεσμα! [Πανέμορφο το δεύτερο πρόβλημα, μια πρώτη επιπόλαιη ματιά δείχνει επαγωγή, είναι όμως πολύ βαθύτερο -- δεν έχω ιδέα πως λύνεται, και βλέπω ότι ήταν ο 'φονιάς' της υπόθεσης (το έλυσαν δύο Ρώσοι, ένας Κινέζος, κανέν...
από achilleas
Πέμ Ιούλ 22, 2021 2:45 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2021
Απαντήσεις: 79
Προβολές: 8410

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2021

.. Πρόβλημα 2. Έστω $AB\Gamma\Delta$ κυρτό τετράπλευρο με $A\widehat{B}\Gamma>90^\circ$, $\Gamma\widehat{\Delta}A>90^\circ$ και $\Delta\widehat{A}B=B\widehat{\Gamma}\Delta$. Έστω $E$ και $Z$ τα συμμετρικά του $A$ ως προς τις ευθείες $B\Gamma$ και $\Gamma\Delta$, αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι τα τμήματ...
από achilleas
Πέμ Ιούλ 22, 2021 2:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2021
Απαντήσεις: 79
Προβολές: 8410

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2021

petrosmani έγραψε:
Πέμ Ιούλ 22, 2021 2:23 pm
Στο 1 πρόβλημα των μικρών 8 είναι η απάντηση όπως και στους μεγάλους ?
Ναι. Δείτε μια παραλλαγή εδώ.
από achilleas
Πέμ Ιούλ 22, 2021 2:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2021
Απαντήσεις: 79
Προβολές: 8410

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2021

... Πρόβλημα 1. Έστω $a,b,c,d$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $(a+c)(b+d)=ac+bd$. Να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή της παράστασης $\displaystyle A=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}. $ Λύση: Θέτουμε $x=\dfrac{a}{b}$ και $y=\dfrac{c}{d}$. Τότε $a=bx$ και $c=dy$, και η...
από achilleas
Πέμ Ιούλ 22, 2021 4:21 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2021
Απαντήσεις: 79
Προβολές: 8410

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2021

Μπορεί κάποιος να ανεβάσει τα θέματα ή να αναφέρει ποια από την sortlist ήταν; Έχει περάσει η προθεσμία. Καλά αποτελέσματα στις ελληνικές εθνικές ομάδες. Ανεβάζω τα πρώτα δύο των μεγάλων προς το παρόν που τα έχω έτοιμα: Πρόβλημα 1. Έστω $a,b,c,d$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $(a+c)(b+d)...
από achilleas
Τετ Ιούλ 14, 2021 11:34 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσες γωνίες
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 263

Ίσες γωνίες

Έστω ABC ένα τρίγωνο με περιγεγγραμμένο κύκλο (O) και εγγεγραμμένο κύκλο (I). Έστω M το μέσο της πλευράς AC, και έστω N το μέσο του τόξου AC που περιέχει το B. Να δειχθεί ότι I\widehat{M}A=I\widehat{N}B.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Κυρ Ιούλ 04, 2021 9:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1199

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Θερμά συγχαρητήρια στις ομάδες της Ελλάδος και της Κύπρου! Μπράβο Σωτήρη! Χαρήκαμε όλοι με το χρυσό του Αρά, τα δύο αργυρά και το χάλκινο! :) Θερμά συγχαρητήρια Δημήτρη και για το Θέμα 4. Αποδείκτηκε σκληρό καρύδι, αφού το έλυσαν πλήρως μόνο 4 διαγωνιζόμενοι στους 128. Όπως, έγραψε παραπάνω ο Δημήτρ...
από achilleas
Παρ Ιούλ 02, 2021 12:24 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1199

Re: JBMO 2021 - ΘΕΜΑΤΑ

Πρόβλημα 3 Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο με περίκεντρο $O$ και $D$ το ίχνος του ύψους από την κορυφή $A$ στην πλευρά $BC$. Οι ευθείες $BC$ και $AO$ τέμνονται στο σημείο $E$ και έστω $s$ η ευθεία που περνά από το σημείο $E$ και είναι κάθετη στην ευθεία $AO$. Η ευθεία $s$ τέμνει τις $AB$ κα...
από achilleas
Παρ Ιουν 11, 2021 11:15 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Σταθερό σημείο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 337

Re: Σταθερό σημείο

Πρόκειται για το πρόβλημα 2052 του Mathematics Magazine, που προτάθηκε τον Οκτώβριο 2018 από τον Michel Bataillle , με λύση στο τ. 4, σελ. 313, τον Οκτώβριο, 2019. Ακολουθεί η λύση που είχα στείλει: Λύση : Παρατηρούμε ότι $\angle DO_1B=2\angle DAB=2\angle CAE=\angle CO_2E$, οπότε τα ισοσκελή τρίγωνα...
από achilleas
Πέμ Ιουν 10, 2021 10:02 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Σταθερό σημείο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 337

Σταθερό σημείο

Έστω $\triangle ABC$ ένα σκαληνό τρίγωνο. Έστω $D$ ένα μεταβλητό σημείο στην ευθεία $\overset{\longleftrightarrow}{BC}$ τέτοιο ώστε $D\ne B$ και $D\ne C$. Έστω σημείο $E$ στην $\overset{\longleftrightarrow}{BC}$ ώστε η $\overset{\longleftrightarrow}{AE}$ να είναι η ανάκλαση της $\overset{\longleftri...
από achilleas
Δευ Ιουν 07, 2021 12:12 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 205

Re: Ανισότητα

Δημήτρη, Θάνο και Αχιλλέα, παρατηρώ ότι αυτή η άσκηση είναι στον φάκελο "Μηνύματα προς Αναμονή". Υπάρχει κάποιος λόγος γι' αυτό ή μήπως μπήκε κατά λάθος; Φιλικά και με εκτίμηση, Μιχάλης Καλησπέρα, κ. Μιχάλη, Το θέμα αυτό σχετίζεται άμεσα με το Πρόβλημα 1 του ΑΡΧΙΜΗΔΗ των μικρών. Το μετακίνησα εδώ ώ...
από achilleas
Τρί Μάιος 18, 2021 10:22 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Απαντήσεις: 29
Προβολές: 2810

Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021

Οι επίσημες λύσεις έγιναν διαθέσιμες εδώ.
από achilleas
Δευ Μάιος 17, 2021 4:16 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Απαντήσεις: 29
Προβολές: 2810

Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Μάιος 16, 2021 11:02 pm
...
Ο Ν.Ημιτόνων στο BCD δίνει \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{\eta \mu 45^0}{\eta \mu 30^0}=\sqrt{2}. Τότε BD^2=2DC^2=DC\cdot DE

..
Οπότε τα τρίγωνα DCB και DBE είναι όμοια. Ωραία!

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Κυρ Μάιος 16, 2021 12:54 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Απαντήσεις: 29
Προβολές: 2810

Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021

ΘΕΜΑ 3 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ ... Η περίπτωση που το Δ είναι εξωτερικό της πλευράς ΑΓ δεν πρέπει να μελετηθεί; (Η αλήθεια είναι ότι η λύση δεν προχωρά «ομαλά»σε αυτή την περίπτωση :roll: ) Κάνουμε το σχήμα παίρνοντας τα σημεία κάθε φορά με τον ίδιο προσανατολισμό: είτε κυκλικά με τη φορά των δεικτών του ρολογ...
από achilleas
Σάβ Μάιος 15, 2021 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Απαντήσεις: 29
Προβολές: 2810

Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021

ΘΕΜΑ 3 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ Παρατηρούμε ότι η διάμεσος $AM$ είναι διχοτόμος της $B\widehat{A}\Gamma$ και ύψος στο ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$. Άρα το $E$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου $AB\Gamma$ και ισαπέχει από τiς πλευρές της γωνίας $\widehat{B}$. Έτσι, $ZE=EM$. Έστω $E'$ το συμμετρικό του $E$ ως προς το...
από achilleas
Σάβ Μάιος 15, 2021 7:21 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Απαντήσεις: 29
Προβολές: 2810

Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021

ΘΕΜΑ 3 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ωραία λύση Αχιλλέα! Έχω υπόψη μου άλλες δύο συνθετικές λύσεις. Θα δώσω hint για την πιο απρόσμενη (κατά την άποψή μου). Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή άσκηση https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=20&t=16341&p=84868&hilit=%CF%84%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%AC%CE%B3%CF%...
από achilleas
Σάβ Μάιος 15, 2021 1:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Απαντήσεις: 29
Προβολές: 2810

Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021

ΘΕΜΑ 3 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ (2ος τρόπος - με συνθετική γεωμετρία - Ο 1ος τρόπος με τριγωνομετρία είναι εδώ ) Έστω ότι $H, F, G$ είναι τα σημεία τομής της $B\Delta$, της διχοτόμου της $\Delta\widehat{B}\Gamma$, και της $B\Gamma$ με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $ABE$. Έστω $\omega=A\widehat{E}B$ και $...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση