Η αναζήτηση βρήκε 2576 εγγραφές

από achilleas
Τρί Ιουν 02, 2020 10:05 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Εύκολο ελάχιστο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 163

Re: Εύκολο ελάχιστο

Έστω $r$ η ζητούμενη ελάχιστη απόσταση. Τότε το σύστημα των εξισώσεων $x^2+y^2=r^2$ και $y=\dfrac{2}{x^2}$ έχει λύση. Είναι $r^2-3=x^2+\dfrac{4}{x^4} -3=\dfrac{(x^2+1)(x^2-2)^2}{x^4}\geq 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ με $x\ne 0$, με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν $x=\pm \sqrt{2}$. Έτσι, η ζητο...
από achilleas
Πέμ Απρ 30, 2020 7:46 pm
Δ. Συζήτηση: Εκπαιδευτικά Θέματα
Θέμα: ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΤΟΥ mathematica.gr ΓΙΑ ΤΟ ΠΟΛΥΝΟΜΟΣΧΕΔΙΟ
Απαντήσεις: 226
Προβολές: 6104

Re: ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΤΟΥ mathematica.gr ΓΙΑ ΤΟ ΠΟΛΥΝΟΜΟΣΧΕΔΙΟ

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση.

Αχιλλέας Συνεφακόπουλος
Μαθηματικός
από achilleas
Δευ Απρ 27, 2020 1:00 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (ΥΛΗ ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 2154

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (ΥΛΗ ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ)

Παρακαλούμε τα προτεινόμενα θέματα και οι λύσεις τους να ακολουθούν τους κανόνες του forum και να είναι γραμμένα σε \LaTeX.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Κυρ Απρ 19, 2020 6:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2020
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1421

Re: EGMO 2020

Πρόβλημα 5. Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ με $\angle BCA > 90^\circ$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος $\Gamma$ του $ABC$ έχει ακτίνα $R$. Υπάρχει σημείο $P$ στο εσωτερικό του τμήματος $AB$ τέτοιο ώστε $PB=PC$ και το μήκος του $PA$ ισούται με $R$. Η μεσοκάθετος του $PB$ τέμνει τον $\Gamma$ στα σημεία $D$ και $E$....
από achilleas
Κυρ Απρ 19, 2020 5:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2020
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1421

Re: EGMO 2020

Πρόβλημα 1. Οι θετικοί ακέραιοι $a_0$, $a_1$, $a_2,\ldots, a_{3030}$ ικανοποιούν τη συνθήκη $\displaystyle 2a_{n+2} = a_{n+1} + 4a_n, $ για $n=0,1,2,\ldots,3028.$ Να αποδειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots, a_{3030}$ διαιρείται με το $2^{2020}$. ... Θα αποδείξ...
από achilleas
Κυρ Απρ 19, 2020 5:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2020
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1421

Re: EGMO 2020

ΔΕΥΤΕΡΗ ΗΜΕΡΑ Πρόβλημα 4. Μια μετάθεση των ακεραίων $1$, $2, \ldots, m$ ονομάζεται φρέσκια εάν δεν υπάρχει θετικός ακέραιος $k<m$ τέτοιος ώστε οι πρώτοι $k$ αριθμοί στη μετάθεση να είναι οι $1$, $2, \ldots, k$ σε κάποια σειρά. Έστω $f_m$ το πλήθος των φρέσκων μεταθέσεων των ακεραίων $1$, $2, \ldots...
από achilleas
Κυρ Απρ 19, 2020 9:28 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2020
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1421

Re: EGMO 2020

ΔΕΥΤΕΡΗ ΗΜΕΡΑ Πρόβλημα 4. Μια μετάθεση των ακεραίων $1$, $2, \ldots, m$ ονομάζεται φρέσκια εάν δεν υπάρχει θετικός ακέραιος $k<m$ τέτοιος ώστε οι πρώτοι $k$ αριθμοί στη μετάθεση να είναι οι $1$, $2, \ldots, k$ σε κάποια σειρά. Έστω $f_m$ το πλήθος των φρέσκων μεταθέσεων των ακεραίων $1$, $2, \ldots...
από achilleas
Κυρ Απρ 19, 2020 9:25 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2020
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1421

Re: EGMO 2020

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά! ΠΡΩΤΗ ΗΜΕΡΑ Πρόβλημα 1. Οι θετικοί ακέραιοι $a_0$, $a_1$, $a_2,\ldots, a_{3030}$ ικανοποιούν τη συνθήκη $\displaystyle 2a_{n+2} = a_{n+1} + 4a_n, $ για $n=0,1,2,\ldots,3028.$ Να αποδειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots, a_{3030}$ διαιρ...
από achilleas
Σάβ Φεβ 22, 2020 5:03 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2020
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 6653

Re: Αρχιμήδης 2020

Θέμα 3/Μεγάλων Θα αποδείξουμε ότι δεν γίνεται. Για το (β) Στο προτελευταίο βήμα θα έχουμε μείνει με δυο αριθμούς (1) Το $a^{2020}$ και το $b^{2020}$ (ενδεχομένως $b=1$), ή (2) Το $a^{2020}$ και το 2030. Η περίπτωση (1) σημαίνει ότι η εξίσωση $x^4-y^4=2021$ Θα έχει ακέραιες λύσεις. Δηλαδή, ότι η $(x-...
από achilleas
Δευ Φεβ 17, 2020 8:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 1492

Re: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών

Το περίμενα με ανυπομονησία καιρό! Δεν έχω αμφιβολία ότι είναι εξαιρετικά! Ανυπομονώ να τα πιάσω στα χέρια μου και να τα ξεφυλλίσω, γι' αυτό μόλις τα παρήγγειλα online! ... Καλησπέρα σας! Σήμερα το μεσημέρι έφτασαν τα παραπάνω βιβλία, οπότε είχα την ευκαιρία να τα ξεφυλλίσω. Πρόκειται, όπως αναμένα...
από achilleas
Παρ Φεβ 14, 2020 2:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 1492

Re: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών

Το περίμενα με ανυπομονησία καιρό! Δεν έχω αμφιβολία ότι είναι εξαιρετικά!

Ανυπομονώ να τα πιάσω στα χέρια μου και να τα ξεφυλλίσω, γι' αυτό μόλις τα παρήγγειλα online!

Η συγγραφική ομάδα αποτελεί εγγύηση ποιότητας και εύχομαι να ετοιμάζουν ήδη την επόμενη προσφορά τους.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Φεβ 12, 2020 9:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 76
Προβολές: 8490

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους τους επιτυχόντες του διαγωνισμού!

Τα αποτελέσματα ανακοινώθηκαν.

Καλή συνέχεια στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ! :)

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Φεβ 12, 2020 12:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνθήκη Παραλληλίας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 196

Συνθήκη Παραλληλίας

Να δειχθεί ότι αν η ευθεία που διέρχεται από το περίκεντρο O και το έγκεντρο I οξυγώνιου τριγώνου ABC είναι παράλληλη στην BC, τότε \cos B+\cos C=1.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τρί Φεβ 11, 2020 6:53 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2004 - ΛΥΚΕΙΟ
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1770

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2004 - ΛΥΚΕΙΟ

2. Δίνεται η ακολουθία $\displaystyle{(\alpha_{\nu}), \nu \in\mathbb{N}^*}$ με $\displaystyle{\alpha_1 = 1}$ και $\displaystyle{\alpha_{\nu} = \alpha_{\nu -1} + \frac{1}{\nu^3} \, , \nu = 2, 3,...}$ . α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\alpha_{\nu}<\frac{5}{4}}$ , για κάθε $\displaystyle{ \nu \in\...
από achilleas
Κυρ Φεβ 02, 2020 9:08 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 347

Re: Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές

Δύο λόγια για το προτεινόμενο πρόβλημα: Το πρόβλημα αυτό το συνάντησα ως ΘΕΜΑ #6 της 62ης Πολωνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας (2011) με λύσεις εδώ . Αφού το πρότεινα στο forum, ξεφυλλίζοντας παλιά τεύχη του Crux Mathematicorum, είδα ότι το εξής παρόμοιο πρόβλημα τέθηκε στη Βρετανία σε τεστ επιλογής για...
από achilleas
Κυρ Φεβ 02, 2020 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 347

Re: Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές

Μία σκέψη για αυτό το πρόβλημα. Έστω ότι υπάρχουν. Τότε, τα πολυώνυμα στο δεξί μέλος είναι το πολύ πρωτοβάθμια με ρητούς συντελεστές οπότε το $p_1(x)$ έχει κοινό σημείο είτε με την $y=x$ είτε με την $y=-x$. Ας πούμε ότι έχει με την $y=x$ και έστω $k$ ώστε $p_1(k)=k$. Τότε για $x=k$ στην σχέση παίρν...
από achilleas
Σάβ Φεβ 01, 2020 5:01 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ρητή παράσταση με παραμέτρους.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 360

Re: Ρητή παράσταση με παραμέτρους.

Να ορίσετε τους $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ έτσι ώστε το κλάσμα $\frac{x^{2}+\alpha x+\beta}{x^{2}+1}$ να λαμβάνει όλες τις τιμές του διαστήματος $\left [ -3,4 \right ]$, και μόνον αυτές, όταν $x\epsilon \mathbb{R}$. Έστω $a,b$ οι ζητούμενοι αριθμοί. Από την $-3\leq \dfrac{x^2+ax+b}{x^2+1}\leq 4...
από achilleas
Παρ Ιαν 31, 2020 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Τρίγωνο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 107

Re: Τρίγωνο

Υπάρχει γωνία $x$ για την οποία οι τριγωνομετρικοί αριθμοί $\displaystyle sinx$ , $\displaystyle cosx$ , $\displastyle tanx$ αποτελούν πλευρές τριγώνου ? Προφανώς! H $x=\frac{\pi}{4}$ δίνει τους αριθμούς $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, και $1$, αντίστοιχα που αποτελούν πλευρές (ισοσκελο...
από achilleas
Παρ Ιαν 31, 2020 11:00 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άθροισμα τετραγώνων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 331

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Καλημέρα σας! Πρόκειται για το πρόβλημα 2027 του Mathematics Magazine . Μια λύση στο πρόβλημα δημοσιεύθηκε στο τεύχος Οκτωβρίου 2018. Μετά την ωραία λύση του Δημήτρη, γράφω αυτή που είχα στείλει στο περιοδικό. **************************************** Λύση . Παρατηρούμε ότι $n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+3)(n...
από achilleas
Πέμ Ιαν 30, 2020 9:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μηδενική ακολουθία από μηδενική
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 399

Re: Μηδενική ακολουθία από μηδενική

Καλησπέρα σας!

'Ενα ωραίο άρθρο με ενδιαφέροντα προβλήματα που συνδέεονται με το θέμα του αρχικού ποστ δημοσιεύθηκε στο εξαιρετικό περιοδικό Gazeta Matematica εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση