Η αναζήτηση βρήκε 1399 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Δευ Σεπ 05, 2022 1:02 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Ρίζες πολυωνύμου
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1154
Re: Ρίζες πολυωνύμου
Ευχαριστώ για τις λύσεις/προσεγγίσεις, βάζω και την δική μου λύση για πληρότητα. Θα αποδείξουμε ότι το $P_n$ έχει $n$ πραγματικές ρίζες. Χρησιμοποιούμε επαγωγή στο $n$. Για $n=1$, από τη διαφορική εξίσωση προκύπτει ότι ο σταθερός όρος είναι $0$, οπότε $P_1(x) = x$ (ισχύει). Παραγωγίζοντας τη διαφορι...
- Σάβ Σεπ 03, 2022 12:46 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Ρίζες πολυωνύμου
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1154
Ρίζες πολυωνύμου
Το μονικό πολυώνυμο , βαθμού , ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση
Να αποδειχθεί ότι το έχει όλες του τις ρίζες πραγματικές.
(Από φιλική ιταλική μαθηματική ομάδα).
Να αποδειχθεί ότι το έχει όλες του τις ρίζες πραγματικές.
(Από φιλική ιταλική μαθηματική ομάδα).
- Τρί Αύγ 30, 2022 6:41 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Ευχές
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 993
Re: Ευχές
Χρόνια πολλά στους εορτάζοντες, ιδιαίτερα στον Αλέξανδρο Συγκελάκη.
- Δευ Αύγ 29, 2022 8:28 pm
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Όριο
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1197
Re: Όριο
Νομίζω αν γράψουμε τη συνάρτηση ως
ξεπερνιούνται οι δυσκολίες.
ξεπερνιούνται οι δυσκολίες.
- Δευ Αύγ 29, 2022 1:04 am
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Αλλόκοτο πολυώνυμο
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 416
Re: Αλλόκοτο πολυώνυμο
Το πολυώνυμο γράφεται ως $(3a+1)(5b+1)(7c+3) - (7c+3)$. Θέτοντας $p$ οποιονδήποτε από τους (άπειρους, σύμφωνα με το γνωστό θεώρημα του Dirichlet) πρώτους της μορφής $7c+3$, έχουμε άπειρες επιλογές (πάντα σύμφωνα με το ίδιο θεώρημα) για τα $a, b$ έτσι ώστε οι $3a+1, 5b+1$ να είναι πρώτοι. Έτσι, $P(a,...
- Σάβ Αύγ 27, 2022 10:30 am
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Όριο ολοκληρώματος
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1280
Re: Όριο ολοκληρώματος
Λάμπρο, μια χαρά είναι η λύση σου. Απλά, στο αρχικό λήμμα, δεν μπαίνει το ολοκλήρωμα της περιοδικής συνάρτησης
αλλά η μέση τιμή της
Καλημέρα και συγχαρητήρια.
αλλά η μέση τιμή της
Καλημέρα και συγχαρητήρια.
- Παρ Αύγ 26, 2022 5:54 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Προστατέψτε τον τόπο σας
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 356
Re: Προστατέψτε τον τόπο σας
Στο ορθογώνιο τραπέζιο $STOK$ έχουμε $d^2 = 16 - (r-1)^2 = 15 + 2r - r^2$. Αν ισχύει $d=r$, τότε έχουμε την δευτεροβάθμια $2r^2 - 2r - 15 = 0$ με θετική λύση $\displaystyle r = \frac{1 + \sqrt{31}}{2}$. Ισχύει $OS^2 = d^2 + 1 = 16 + 2r - r^2$. Με νόμο συνημιτόνων στο $\triangle{OSK}$ έχουμε $\displa...
- Πέμ Αύγ 25, 2022 10:37 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Όριο ολοκληρώματος
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1280
Όριο ολοκληρώματος
Καλησπέρα, συνεχίζουμε με τα θέματα των Invariants.
Να υπολογιστεί το
(Ελεγμένο, δεν υπάρχει τυπογραφικό!)
Να υπολογιστεί το
(Ελεγμένο, δεν υπάρχει τυπογραφικό!)
- Τρί Αύγ 23, 2022 11:29 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Αριθμητική ακολουθία
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1067
Re: Αριθμητική ακολουθία
Τέλεια Κώστα.
- Τρί Αύγ 23, 2022 11:06 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Αριθμητική ακολουθία
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1067
Re: Αριθμητική ακολουθία
Προσοχή Κώστα, υπάρχει λαθάκι ακριβώς στο τέλος. Μετά το δεν έχουμε (διορθώθηκε).
- Τρί Αύγ 23, 2022 9:26 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Αριθμητική ακολουθία
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1067
Αριθμητική ακολουθία
Καλησπέρα σε όλους, το παρόν από το Invariants Society του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης. Για φυσικό $n \geqslant 2$ ορίζουμε το $f(n)$ ως τον μέγιστο πρώτο διαιρέτη του $n$. Έστω η ακολουθία $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ με $a_1 = 2, \ \ a_{n+1} = a_n + f(a_n)$. Να βρεθεί ο μέγιστος $n$ με $a_n < 10^4$.
- Παρ Αύγ 19, 2022 12:13 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Κυκλικό τρισορθογώνιο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 904
Re: Κυκλικό τρισορθογώνιο
Καλημέρα Γιώργο και καλό υπόλοιπο καλοκαιριού. Έστω $L, l$ η μεγάλη και η μικρή πλευρά του ορθογωνίου. Στο σχήμα η γωνία $\angle{DAE} = 2 \pi / 3$, οπότε $DE = \sqrt{3} l$. Για τη μεγιστοποίηση του εμβαδού, έστω $\theta, \phi$ οι επίκεντρες γωνίες όπως φαίνονται στο σχήμα ($\theta + \phi = 2 \pi / 3...
- Κυρ Αύγ 18, 2019 4:51 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: IMC 2019/1/5
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 902
Re: IMC 2019/1/5
Εύκολα αποδεικνύεται το Λήμμα: Για κάθε $A, B \in M_m (\mathbb{Z})$ και $n \in \mathbb{Z}$ ισχύει $\det(A+nB) \equiv \det(A) \mod n$. Λαμβάνοντας υπόψη την αντιμεταθετικότητα, η αρχική συνθήκη γράφεται ως $MN = 2019I$, όπου $M = A^2 + 2AB + 4B^2, \ N = A^2 - 2AB + 4B^2$. Έτσι, $M-N = 4 A B$ και, από...
- Σάβ Αύγ 17, 2019 7:50 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Περίεργη Ανισότητα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 1571
Re: Περίεργη Ανισότητα
Έστω οι θετικοί πραγματικοί $a_1,...,a_n$ με $n\geq 2$. Να εξετάσετε αν ισχύει η: $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2+a_1a_2\cdots a_n+2n-1\geq 3(a_1+a_2+\cdots+a_n)$ (Περιλαμβάνω το $0$ στις πιθανές τιμές των όρων χωρίς βλάβη, λόγω συνέχειας). Το μέρος της παράστασης που περιέχει τους όρους $a_1, a_2$ γράφε...
- Πέμ Αύγ 15, 2019 5:41 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
- Θέμα: Άλλη μία ορίζουσα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 1064
Re: Άλλη μία ορίζουσα
Η αρχική συνθήκη γράφεται $(P+I)(Q+I)=I \implies Q+I = (P+I)^{-1}$. Έχουμε $I + 2P + 3Q = 2(P+I) - 4I + 3(Q+I) = (Q+I) [ 2(P+I)^2 -4(P+I) + 3I]$. Οι πίνακες $P, Q$, ως μηδενοδύναμοι, έχουν μοναδική ιδιοτιμή το $0$. Άρα και οι $P+kI, Q + kI$ έχουν μοναδική ιδιοτιμή το $k$ και η ορίζουσα ισούται με (θ...
- Πέμ Αύγ 15, 2019 2:42 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Ανισότητα από Mathematical Inequalities
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 1122
Re: Ανισότητα από Mathematical Inequalities
Για το πρώτο σκέλος μπορούμε εναλλακτικά να παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση έχει μοναδικό σημείο καμπής (από κυρτή σε κοίλη) και έτσι η παράσταση ελαχιστοποιείται για ισότητα των δύο μικρότερων από τα .
- Τρί Αύγ 13, 2019 9:08 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
- Θέμα: Εύρεση διψήφιου mod
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1594
Re: Εύρεση διψήφιου mod
Παρατήρησε ότι χρησιμοποιείς συνεπαγωγές και όχι ισοδυναμίες. Το τελικό σου αποτέλεσμα λέει ότι το πρέπει να είναι περιττό, που διαφωνεί με το δεύτερο δεδομένο.
- Τρί Αύγ 13, 2019 7:08 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Σειρά με λογάριθμο και ζήτα
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 928
Re: Σειρά με λογάριθμο και ζήτα
Ονομάζουμε $\displaystyle a_{k,n} \equiv \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) - \sum_{i=1}^n \frac{1}{(k+1)i^{k+1}}$. Η οικογένεια ακολουθιών $(a_k)_n$ συγκλίνει μονότονα κατά σημείο στην $\displaystyle b_k \equiv \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) - \frac{\zeta(k+1)}{k+1}$. Επίσης, για κάθε $n \in \m...
- Σάβ Αύγ 10, 2019 12:38 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: Ανισότητα υπό συνθήκη
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 2152
Re: Ανισότητα υπό συνθήκη
Εναλλακτικά, η παράγωγος της στο είναι η (ετερόσημη του ), από όπου συνάγεται εύκολα ότι η παράσταση μεγιστοποιείται για .
- Τετ Αύγ 07, 2019 3:33 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: IMC 2019/1/4
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 881
Re: IMC 2019/1/4
Ορίζουμε την ακολουθία $a_0, a_1, \ldots$ με την ακόλουθη αναδρομική σχέση: $\displaystyle a_0 = 1, a_1 = 2 $ και $\displaystyle (n + 3)a_{n+2} = (6n + 9)a_{n+1} − na_n$ για $\displaystyle n \geqslant 0$. Να αποδειχθεί ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι ακέραιοι. Θα δουλέψουμε με τη γεννήτρια συ...