Η αναζήτηση βρήκε 228 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Σάβ Μάιος 05, 2012 12:35 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
- Θέμα: Άθροισμα ημιτόνων
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1573
Άθροισμα ημιτόνων
Αποδείξτε ότι υπάρχει ώστε .
- Σάβ Μάιος 05, 2012 12:31 am
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: IMC 1997/2/3
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 473
Re: IMC 1997/2/3
Είναι γνωστό το εξής λήμμα τύπου Leibniz: Λήμμα. Έστω $(x_n)$ ακολουθία φραγμένης κύμανσης (δηλ. $\sum_{n=1}^\infty |x_n-x_{n+1}|<\infty$) με $x_n\to 0$. Τότε, η σειρά $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n x_n$ συγκλίνει. Εδώ έχουμε $x_n=f(n)$, όπου $f(x)=\frac{\sin (\log x)}{x^\alpha} , \, x>0$. Εύκολα βλέπουμ...
- Τρί Απρ 24, 2012 6:18 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: IMC 1996/2/1
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 536
Re: IMC 1996/2/1
Έστω ότι $x_{n+1}-x_n\to 0$. Τότε $f(x_n)-x_n\to 0$. Παρατηρούμε ότι κάθε οριακό σημείο της $(x_n)$ είναι σταθερό σημείο της $f$. Έστω ότι η $(x_n)$ δεν είναι συγκλίνουσα. Τότε, $0\leq a=\liminf x_n<\limsup x_n=b\leq 1$. Άρα, το διάστημα $[a,b]$ είναι μη τετριμμένο. Από το θεώρημα Baroni έπεται ότι ...
- Δευ Απρ 23, 2012 1:29 pm
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: Υπάρχει θετικός αριθμός;
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 389
Re: Υπάρχει θετικός αριθμός;
Φαντάζομαι ότι αυτό θα είχατε στο μυαλό σας: Έστω $(X,\rho)$ μετρικός χώρος με την ιδιότητα: Για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει αριθμήσιμη κάλυψη $\{C_n\}$ του $X$ με ${\rm diam}(C_n)\leqslant \varepsilon$. Τότε, για κάθε $\varepsilon>0$ και για κάθε συνάρτηση $F:\mathbb R\to X$ υπάρχουν $x,y \in \mat...
- Κυρ Απρ 22, 2012 10:50 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ολοκλήρωμα πολυωνύμου
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1213
Ολοκλήρωμα πολυωνύμου
Έστω $f(x)$ πολυώνυμο βαθμού $n\geqslant 2$ το οποίο έχει τις εξής ιδιότητες: (α) Όλες οι ρίζες του είναι πραγματικές. (β) Είναι $f(-1)=f(1)=0$ και $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in (-1,1)$. (γ) Είναι $\max_{x\in (-1,1)}f(x)=1$. Αποδείξτε ότι ισχύει $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\, dx \leqslant \frac{4}{...
- Κυρ Απρ 22, 2012 12:58 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: SEEMOUS 2007/2
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 996
Re: SEEMOUS 2007/2
Ωραίος Σιλουανέ. Κομψός και σύντομος!
- Σάβ Απρ 21, 2012 1:44 am
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: SEEMOUS 2007/2
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 996
Re: SEEMOUS 2007/2
Γράφουμε $T=T_A$ για τον γραμμικό τελεστή που αντιστοιχεί στον πίνακα $A$. Επίσης, γράφουμε $\ell_\infty^n$ για τον $\mathbb R^n$ εφοδιασμένο με την supremum νόρμα $\|\cdot\|_\infty$ και $B_\infty^n$ για τη μοναδιαία μπάλα αυτού του χώρου, δηλαδή τον $n$-διάστατο κύβο $[-1,1]^n$. Η υπόθεση μας λέει ...
- Σάβ Απρ 21, 2012 12:55 am
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 670
Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ
1. To $f(\mathbb R)$ είναι μη τετριμμένο διάστημα. Δείχνουμε ότι το $f(\mathbb R)$ δεν είναι άνω φραγμένο. Πράγματι, αν είναι $b=\sup f(\mathbb R)<+\infty$ τότε επειδή, $F(f(x))=(f(x))^2/2$ θα έχουμε $f(y)=y$ για κάθε $y\in f(\mathbb R)$. Λόγω του ότι η $f$ είναι συνεχής και ισχύει $f(y)=y$ για κάθε...
- Σάβ Απρ 21, 2012 12:20 am
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: IMC 1995/1/3
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 487
Re: IMC 1995/1/3
Έστω $\delta>0$ ώστε $f''(x)>1$ και $f'(x)<0$ για κάθε $0<x<\delta$. Έστω $0<x<\delta$. Από το θεώρημα του Taylor στο $[x,\delta]$ παίρνουμε: $f(x)-f(\delta)=(x-\delta)f'(\delta)+\frac{(x-\delta)^2}{2}f''(t)>(x-\delta)f'(\delta)+\frac{(x-\delta)^2}{2}.$ Πολλαπλασιάζοντας με $\frac{1}{f'(x)}<0$ προκύ...
- Παρ Απρ 20, 2012 11:59 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Συνάρτηση ολοκληρώσιμη
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 687
Re: Συνάρτηση ολοκληρώσιμη
Έστω ότι η $f$ είναι αύξουσα και έστω $x\in \mathbb R$. Τότε, για $x<t<s$ έχουμε $\displaystyle \frac{F(s)-F(t)}{s-t}=\frac{1}{s-t}\int_t^s f\geq f(t)$. Αφήνοντας το $t\downarrow x$ παίρνουμε $\displaystyle \frac{F(s)-F(x)}{s-x}\geq f(x+)$. Όμοια δείχνουμε ότι $\displaystyle \frac{F(s)-F(x)}{s-x}\le...
- Τρί Απρ 17, 2012 11:26 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Άθροισμα αντιστρόφων ΙΙ
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 772
Άθροισμα αντιστρόφων ΙΙ
(Erdos) Έστω σημεία του . Δείξτε ότι .
- Τρί Απρ 17, 2012 3:38 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Μια ανισότητα του Steffensen
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 793
Re: Μια ανισότητα του Steffensen
Ωραία Χρήστο! Αν δεν κάνω λάθος αυτή είναι η προσέγγιση του Pecaric και μάλιστα οι συνθήκες αυτές είναι ισοδύναμες. Να γράψω κανά δυο προσεγγίσεις ακόμη, έτσι για να το διασκεδάσουμε. 2. Το επιχείρημα του Davie: Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle S(x)=\int_a^{a+G(x)} f(t)\, dt - \int_a^x f(t)g(t)\...
- Δευ Απρ 16, 2012 11:23 pm
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: Εύρεση συνάρτησης
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 395
Re: Εύρεση συνάρτησης
Αν η $f$ είναι σταθερή, τότε $f\equiv 0$ που επαληθεύει την εξίσωση. Έστω ότι δεν είναι σταθερή και έστω $J=f(\mathbb R)$. Αν $J=\mathbb R$ τότε έχουμε $F(y)=\frac{y^2}{2}$, όπου $F(y)=\int_0^y f$ κι άρα $f(t)=t, \ t\in \mathbb R$. Έστω ότι $\sup J=b<\infty$ (όμοια η άλλη περίπτωση). Θα καταλήξουμε ...
- Δευ Απρ 16, 2012 8:45 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
- Θέμα: Rendezvous value
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 2826
Rendezvous value
1. Έστω $(X,\rho)$ συμπαγής και συνεκτικός μετρικός χώρος. Αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός $r=r(X,\rho)>0$ με την ιδιότητα: Για κάθε $n \in \mathbb N$ και για κάθε $x_1,\ldots, x_n\in X$ υπάρχει $z\in X$ ώστε $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \rho(z,x_i)=r$. 2. Έστω $S^1=\{x : |x|=1 \}$...
- Δευ Απρ 16, 2012 4:45 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Άθροισμα αντιστρόφων
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 559
Άθροισμα αντιστρόφων
Έστω και διακεκριμένοι αριθμοί του . Για κάθε θέτουμε .
Δείξτε ότι .
Δείξτε ότι .
- Δευ Απρ 16, 2012 4:39 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Μια ανισότητα του Steffensen
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 793
Μια ανισότητα του Steffensen
(Steffensen, 1918) Έστω ολοκληρώσιμη συνάρτηση και . Τότε, για κάθε φθίνουσα συνάρτηση ισχύει:
.
.
- Δευ Απρ 16, 2012 4:31 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 3
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 707
Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 3
4. Έστω ακολουθία αριθμών και για . Για κάθε ισχύει: , όπου είναι μια απόλυτη σταθερά.
- Δευ Απρ 16, 2012 3:23 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 2
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 729
Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 2
3. Έστω φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών αριθμών με για και κάποια σταθερά . Δείξτε ότι για κάθε και για κάθε ισχύει: .
- Δευ Απρ 16, 2012 2:27 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ανισοτική σχέση
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 925
Re: Ανισοτική σχέση
Έστω $a\in (0,1)$ και $\varepsilon>0$ ώστε $\varepsilon<a<1-\varepsilon$. Με θεώρημα Taylor (η $f'$ είναι συνεχής στο $[\varepsilon,1-\varepsilon]$): Υπάρχει $x_1^\varepsilon\in (\varepsilon,a)$ ώστε $f(\varepsilon)-f(a)=(\varepsilon-a)f'(a)+\frac{(\varepsilon-a)^2}{2}f''(x_1^\varepsilon)$. Όμοια υπ...
- Σάβ Απρ 14, 2012 4:06 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Μια ανισότητα του Favard
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 855
Μια ανισότητα του Favard
Έστω $f:[a,b]\to \mathbb R^+$ κοίλη συνάρτηση, συνεχής και $f\neq 0$. Θέτουμε $\displaystyle \overline{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf$. Τότε, ισχύουν τα εξής: (α) $0\leq f(x)\leq 2\overline{f}$, για κάθε $x\in [a,b]$. (β) ( Favard, 1933 ) Για κάθε κυρτή συνάρτηση $\phi:[0,2\overline{f}]\to \mathbb R$ έχο...