Γ΄Γυμνασίου
4.β.ΜΕΓ όμοιο ΑΒΓ άρα

4.$x\neq \frac{\kappa \pi }{2},\frac{\lambda \pi }{10},\kappa ,\lambda \epsilon \mathbb{Z}$ $\Leftrightarrow sin4x\cdot sin5x\cdot cos5x=-sin4x\cdot cosx\cdot sinx\Leftrightarrow sin4x(sin5x\cdot cos5x+cosx\cdot sinx)=0\Leftrightarrow sin4x=0$ ή $sin10x=-sin2x\Leftrightarrow 4x=\kappa \pi$ ή $x=\fra...

1.ggb Η συνάρτηση του ημικυκλίου είναι $y=10-\sqrt{-x^{2}+10x},0<x<10.$ Eπίσης θεωρώντας Μ(x,y) είναι $f(x)=tan\theta =\frac{y}{x}=\frac{10-\sqrt{-x^{2}+10x}}{x},0<x<10.$ $f'(x)=\frac{5}{x^{2}}(x-2\sqrt{-x^{2}+10x})=0\Leftrightarrow x=8,$ με την παράγωγο αρνητική στο (0,8) και θετική στο (8,10), οπ...

Η προέκταση της GM τέμνει την DC στο Κ και τα τρίγωνα DKM,MFG είναι ίσα (ΓΠΓ), άρα DK=FG=>KC=CG=>γωνία MGC=45=>γωνία MGO=180.

H δύναμη του Α:
H διχοτόμος της ορθής τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο Ζ. Δημιουργώ τμήμα
(διαγώνιος τετραγώνου πλευράς 10) και για το ζητούμενο κέντρο Ζ, κατασκευάζω τη διαφορά του 10
απ' αυτό, το ZH-ΛH=ZΛ.

Με ισοδύναμα κλάσματα και αφού το χωρίζω σε 3 ισομήκη διαστήματα πολλαπλασιάζοντας επί 3 τους όρους των κλασμάτων έχουμε
, άρα πρόκειται για το

με την αντικατάσταση u=π-x στο 2ο και τη χρήση αρτιότητας της f.
Mε u=π/2-x στο 2ο ολοκλήρωμα
και ο ζητούμενος λόγος είναι ίσος με 2.

Και για Β΄ Γυμνασίου με εφΑ.

α)
β)Από ομοιότητα
άρα ΓΛ=60μ.

Αν $x_{1},x_{2}$ οι ρίζες του P είναι $\left | x_{1}-x_{2} \right |=\frac{\sqrt{\Delta }}{\left | \alpha \right |}$, άρα $\Delta =16\alpha ^{2}.$ Όμοια ${\Delta }'=64\alpha ^{2}$, με ${\Delta }'=\Delta -24\alpha \Leftrightarrow \alpha =-\frac{1}{2}.$ Ζητάμε το $\frac{\sqrt{{\Delta }''}}{\left | \alp...

Αρχικά Α=χ, Β=y
1η φάση Α=x-3, B=y+3 με όρθιο 1, άρα καθήμενοι 20, δηλαδή αρχικά y=18.
Aπό τους 21 της Β έμειναν 14 και στην Α έγιναν x+4, από τους οποίους κάθονταν 15=x+2. Άρα x=13 και τελικά η Α ήταν γεμάτη και η Β είχε 16.

Αν k ο 4ψήφιος είναι , άρα , x διαιρέτης του 118, δηλαδή x=1,59,118. Eπειδή δεχόμαστε το 59, ενώ απορρίπτουμε και το 118, αφού ο k 4ψήφιος. Τότε έχουμε με αποδεκτές τις τιμές k=3623, 7104.

444-10=434
868-10=858
1716-10=1706
3412-1=3411
και αφαιρώ 10άδες μέχρι το 1.

Από τη σχέση και την προκύπτει .

O α=0 δίνει β=0, άτοπο.

B΄Λυκείου 1 Oι αριθμοί $\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}}$ και $3\cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}\cdot \frac{1}{y^{3}}\cdot \frac{1}{x^{3}}}$ είναι ίσοι με $\frac{1}{9}$, άρα από την ανισότητα ΑGM πρέπει να ισχύει $\frac{1}{x^{3}}=\frac{1}{y^{3}}=\frac{1}{z^{3}}\Leftrightarrow \frac{1}{x...

3.Γ΄ Γυμνασίου
Α-1=πολλ.63 και Α-1=64π+2=63π+π+2, άρα π+2 πολλ.63, π=πολλ.63-2. Επίσης 35000<64π+3<40000 άρα 546,...<π<624,...
Το μόνο πολλ.63 στο εν λόγω διάστημα είναι το 567 άρα π=565 και Α=64*565+3=36163.

Χωρίζω τους 2022 προσθετέους σε ζεύγη, 1ο με τελευταίο, 2ο με προτελευταίο κλπ. Δημιουργούνται έτσι 1011 εξισώσεις με κοινή ρίζα το 2022. Πχ

Έτσι ως πρωτοβάθμια έχει μοναδική ρίζα το 2022.

O όρος με περιττό αφαιρετέο έχει πρόσημο +. Ο τελευταίος;